Ableitung + Koordinatentransformation

hi,

ich steh' hier gerade auf dem schlauch: angenommen ich habe die koordinatensysteme (x,y) und (r, $\theta$ ).
wenn ich nun die funktion f(x,y) kenne, wie berechne ich
$\frac{ \partial F( x( r, \theta), y(r,\theta)) }{ \partial r }$ :

und wie berechne ich
$\frac{ \partial F( r, \theta) }{ \partial \theta }$ , d.h. ich kenne f in abhängigkeit von r und theta, und möchte nach theta ableiten, wobei r,theta ein krummliniges koordinatensystem sind...confused:

Taurin

Einmal gilt: $x = r \cos(\theta)$ und $y = r \sin(\theta)$ . Stichwort: Kettenregel.

xroads42

Taurin schrieb:

Einmal gilt: $x = r \cos(\theta)$ und $y = r \sin(\theta)$ .

Wo steht, dass er Polarkoordinaten verweden soll?? Es heißt nur krummlinig.

Taurin

xroads42 schrieb:

Wo steht, dass er Polarkoordinaten verweden soll?? Es heißt nur krummlinig.

Oh, stimmt. Dann bleibt nur noch die Kettenregel als Tipp.

lustig

Wie schon gesagt brauchst du die verallgemeinerte Kettenregel:

Bei der Zusammensetzung von Abbildungen multiplizieren sich ihre Funktionalmatritzen.

Das heisst, wenn du (g o f) im Punkt P ableiten möchtest, kannst du zuerst die Funktionalmatrix von f an der Stelle f(P) und die Funktionalmatrix von g an der Stelle P berechnen. Danach kannst du die beiden Matrizen multiplizieren und du erhältst die Funktionalmatrix von (g o f).

Ich hoffe ich habe das jetzt richtig hingeschrieben und nichts vertauscht. Leider nur in Worten, aber um das schön zu schreiben, reichen meine Latexkenntnisse nicht ganz...

EDIT: So ungefähr:
f und g irgendwelche vernünftige Funktionen:
$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m g: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^l$
$x \mapsto f(x) y \mapsto g(y)$
$( \frac{\partial(g \circ f)}{\partial x} )\_P=(\frac{\partial g}{\partial y})\_{f(P)}\cdot(\frac{\partial f}{\partial x})_P$

hi,

ja, kettenregel geht aber nur, wenn ich F an sich kenne. es gibt doch aber zumindest für den zweiten fall eine vereinfachung, die das nicht benötigt? (also, um das polarkoordinatenbeispiel aufzunehmen: die ableitung von F in richtung theta ist df/dtheta * 1/r. und ich möchte wissen, wo dieses 1/r herkommt... )

PeterTheMaster

die ableitung von F in richtung theta ist df/dtheta * 1/r.
was genau soll das heissen?
ein r im zusammenhang mit polarkoordinaten kommt gern als betrag der determinante der jacobimatrix vor, wenn man koordinaten transformiert.