Kleine Frage zu komplexen Zahlen

Hallo,

ich habe in einem Buch über kompl. Zahlen das gelesen:
Seien i,j,k komplexe Zahlen so gilt:
i² = j² = k² = -1 = i*j*k

Das i²,j² und k² gleich -1 sind ist mir klar. Aber das i*j*k auch -1 sein soll versteh ich nicht:
sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(-1) = -1*sqrt(-1) = -(-1)^1/2, also quasi -j.
Wieso soll da -1 rauskommen??

asmodis

aa22 schrieb:

Seien i,j,k komplexe Zahlen so gilt:
i² = j² = k² = -1 = i*j*k

Wenn das da wirklich so steht ist es falsch.

Christoph

aa22 schrieb:

ich habe in einem Buch über kompl. Zahlen das gelesen:
Seien i,j,k komplexe Zahlen so gilt:
i² = j² = k² = -1 = i*j*k

Das i²,j² und k² gleich -1 sind ist mir klar. Aber das i*j*k auch -1 sein soll versteh ich nicht:
sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(-1) = -1*sqrt(-1) = -(-1)^1/2, also quasi -j.
Wieso soll da -1 rauskommen??

Es handelt sich um Quaternionen, eine Form der hyperkomplexen Zahlen. Dort bezeichnen i, j und k drei völlig verschiedene "Zahlen", die quadriert aber alle -1 ergeben. Die Kommutativität geht bei Quaternionen allerdings verloren, zum Beispiel ist i*j = k, aber j*i = -k.

Dass das keine gewöhnlichen komplexen Zahlen sind, steht aber bestimmt auch in deinem Buch.

Es handelt sich dabei in der tat um Quaternionen. Aber wie ich das verstanden habe ich DAS ein Quaternion:
z = a + b*i + c*j + d*k
a ist der Realteil, b,c und d der Imaginärteil und i,j,k diese Imaginärzahlen (sqrt(-1))
Folglich müssten doch i,j und k exakt dasselbe sein (eben die wurzel von -1)

Jester

Nein, die sind unabhängig gewählt. Das geht nur, weil dafür auf Kommutativität verzichtet wurde. Sonst müßten sie tatsächlich entweder 1 oder -1 sein.

WAS genau ist denn dann i,j,k?

XFame

Na Zahlen eben.

Was genau verstehst du denn daran nicht?

Zahlen.. das ist doch Quatsch. Bilden i,j,k ne Orthonormalbasis? Hab nämlich grade paar Seiten weiter gefunden: j=<1,0,0>, j=<0,0,1> und k=<0,0,1>. offenbar betrachtet er i,j,k als basis. naja, ich verstehs zwar nach wie vor nicht wieso auf allen seiten davor i=sqrt(-1) war und jetzt auf einmal nen vektor, aber was soll

Hast du dir schonmal die muehe gemacht http://www.adaptec.com/en-US/products/sas/host/SAS-44300/ zu lesen?

Uups, sorry, falsch Gecopypasted, ich meine natuerlich: http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternionen

XFame

aa22 schrieb:

Zahlen.. das ist doch Quatsch. Bilden i,j,k ne Orthonormalbasis? Hab nämlich grade paar Seiten weiter gefunden: j=<1,0,0>, j=<0,0,1> und k=<0,0,1>. offenbar betrachtet er i,j,k als basis. naja, ich verstehs zwar nach wie vor nicht wieso auf allen seiten davor i=sqrt(-1) war und jetzt auf einmal nen vektor, aber was soll

Das ist absolut kein Quatsch.
Ausserdem muesste der Raum der Quaternionen einem |R^4 entsprechen und demnach muessten die Basen auch 4 Komponenten haben.