Relationen feststellen

Bashar

$M := \mathbb{Z}, xRy \leftrightarrow 3|x-y$

Ist M transitiv?
Eine gute Frage... Wie kann ich das denn nun feststellen? Da haperts bei mir! Wäre schön, wenn mir das jemand möglichst genau/ausführlich erklären könnte!

Eine Relation ist transitiv, wenn aus xRy und yRz folgt, dass xRz. Auf deine Relation umgeschrieben:
3 teilt x-y und 3 teilt y-z, d.h. es gibt ganze Zahlen n und m, so dass
x-y = 3m und y-z=3n. Addiert man die beiden Gleichungen, ergibt sich x-z=3(m+n), x-z ist also auch durch 3 teilbar. Die Relation ist folglich transitiv.

Und bei (b) wäre meine Frage erstmal: Soll $\mathbb N \times \mathbb N \ {0}$ bedeuten, dass damit alle N's gemeint sind außer der 0?

Du meinst wohl $\mathbb{N}\times\mathbb{N}\setminus\{0\}$ , das entnehme ich aus deinem Latex-Quälcode. Ja, das soll es heißen. A \ B ist die Mengendifferenz von A und B: Die Menge aller Elemente von A, die nicht auch in B enthalten sind. Deine Relation basiert also auf der Menge aller geordneten Paare von natürlichen Zahlen, wobei die zweite Zahl des Paares ungleich 0 sein soll.

Hallo!
Ich hab mich irgendwie schlecht Ausgedrückt ^^
Also im Prinzip weiß ich schon was Transitivität ist, abe rich weiß halt nicht, wie ich das nun rechnerisch darstellen soll!

CStoll

a)
reflexiv und symmetrisch ist korrekt erklärt - eventuell solltest du das noch in Formeln darstellen.

transitiv:
Wenn x-y durch drei teilbar ist und y-z durch drei teilbar ist, was kannst du dann über x-z sagen?

(Tipp: du kannst "A ist teilbar durch B" auch schreiben als "A=n*B für n in N")

b) N ist die Menge aller natürlichen Zahlen, N₀ die aller natürlichen Zahlen außer 0 und N x N₀ ist die Menge aller Zahlenpaare, wobei das erste Element aus N und das zweite aus N₀ stammt. Und wenn du die gegebene Definition hernimmst, kannst du analog zu (a) durchrechnen, daß die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

PS: "Äquivalenzrelation" ist nur eine Kurzschreibweise für "reflexive, symmetrische UND transitive Relation"

PPS: Übrigens sind nicht die Mengen reflexiv etc, sondern die darauf definierten Relationen

Jester

Oder man schreibt x-z = x-y + y-z, das dürfte noch etwas kürzer sein.
Kleiner Tipp für die zweite Relation: Wenn man scharf hinsieht, dann hat das was mit Bruchzahlen zu tun.

Achso...
Also ich kann praktisch aussuchen:
sein n element N, dann ist x-y + y-z = 3*n bzw. dann x-z = 3n...
oder eben x-z = x-y + y-z bzw. x-z = x-z...

das hatte mir gefehlt... danke :)ich werd mich gleich mal an b setzen

Hmm... Nochmal für a zum Verständnis: ich brauch ja nun 2 Zahlen, weil ich ja 2 Ausdrücke verbinde, oder?
Also x-y=3n
y-z=3m

bzw. x-y + y-z = 3(n+m) ?!

Jester

Letztlich läuft die Argumentation wie vorher.

Wenn Du aber x-z = x-y +y-z schreibst, dann weißt Du ja, daß x-y und y-z durch 3 teilbar sind. x-z ist die Summe dieser beiden durch 3 teilbaren Zahlen und damit ebenfalls durch 3 teilbar.

Achso.. Ich dachte nur, weil ich ja von z bisher relativ wenig mitbekommen habe, dass das so nicht läuft... Aber nun leuchtets mir ein ^^

Aber noch ne Frage zu b: ist die symmetrie d*a=c*b, oder muss ich da noch mehr in der gleichung umdrehen?

btw: was soll man denn da für werte wählen? wenn ich a=2,b=3,c=4,d=5 setze, ist ja nun nicht 10=12...?!

Jester

(a,b)R(c,d) <=> (c,d)R(a,b) ist gleichbedeuten mit Symmetrie. Jetzt mußte eigentlich nur noch einsetzen. Feste Werte mußte nicht wählen, Du willst es ja für alle Tupel zeigen.

Jester

bob86 schrieb:

btw: was soll man denn da für werte wählen? wenn ich a=2,b=3,c=4,d=5 setze, ist ja nun nicht 10=12...?!

2/3 ist ja auch nicht das gleiche wie 4/5.

ok, erwischt

gut, das hab ich dann abgearbeitet... fehlt noch der nachweis der transitivität... was soll ich denn nun nachweisen? (a,b)R(c,d) -> (a,b)R(b,e)?
or what? °_0

CStoll

Du hast drei Paare (a,b), (c,d), (e,f) und als Voraussetzung
(a,b)R(c,d): a*d = b*c
(c,d)R(e,f): c*f = d*e

Die beiden Gleichungen kannst du jetzt umstellen:
a/b = c/d
c/d = e/f

-> jetzt scharf hingucken, richtig zusammenfassen und schon erkennst du die Lösung

Also wenn a/b=c/d ist und c/d=e/f, dann ist a/b=e/f? Wenn ich mich mal einmischen darf

Hmm... Hätte ich jetzt auch gesagt... Ist das denn so richtig?

Niemand?

Jester

Jo, ist richtig so.

Danke!