punkt finden, der den gleichen abstand von 2 Ebenen hat

otze

Naja schrieb:

Du hast ein unterbestimmtes Gleichungssystem, das heißt, das hat unendlich viele Lösungen, nicht nur eine. Quadriere beide Seiten und löse dann nach x1 auf. Das gibt zwei Lösungen in Abhängigkeit von x2.

Jede Lösung stellt dann eine Ebenengleichung dar. Wenn sich die Ebenen schneiden, ist ja auch klar, dass es zwei Ebenen gibt, auf denen jeder Punkt den gleichen Abstand von beiden Ebenen hat. So wie es bei zwei sich schneidenden Geraden zwei Winkelhalbierende gibt.

Sind die die Ebenen parallel oder identisch, wirst du nur eine Lösung für x1 finden.

ohne dir jetzt in irgendeiner Weise zu nahe treten zu wollen, da ich weis, dass du es sicher gut gemeint hast: ich weis durchaus sehr gut, wie man gleichungssysteme löst, und nein, deine vorgeschlagene lösung ist hier nicht anwendbar. Zunächst ist das Gleichungssystem sehr wohl komplett bestimmt, weil es eigentlich 4 gleichungen sind, die durch die beträge platztechnisch etwas geschrumpft sind. Man könnte also fast behaupten, es sei überbestimmt. Zum anderen führt in diesem Fall auflösen nach x1 oder x2 immer dazu, dass die andere variable wegfällt. Probiers ruhig aus.

Ich bin mir eigentlich sicher, dass die Lösungen richtig sind, nur sind sie halt komisch.

ich vermute, dass die beiden Lösungen jeweils eine ebene mit den normalenvectoren 1/0/0 bzw 0/1/0 darstellen, dagegen spricht aber, dass vielfache dieses vectors keine lösung ergeben. Ich muss auch dazu sagen, dass ich diese Lösung im rahmen des Matheunterrichts nicht überprüfen konnte, da die musterlösung dort einen komplett anderen ansatz hatte, und meine lehrerin nicht die lust hatte, sich noch mit diesem ansatz zu befassen.

Jester

Hm, vielleicht liest Du Dir die Sachen einfach nochmal durch? Da sind weit und breit keine 4 Gleichungen, das LGS ist unterbestimmt. Die Sachen sind richtig und die geometrische Interpretation bestätigt auch Deine Rechnung.

Die Lösung sind zu (1,0,0) bzw. (0,1,0) orthogonale Ebenen. Allerdings halt nicht alle. Sie verlaufen natürlich auch durch die Schnittgerade der beiden gegebene Ebenen. Und die verläuft offensichtlich nicht um Ursprung, also sind auch vielfache von irgendwelchen Lösungen keine Lösungen, weil Du damit die Ebene verläßt.

LinkeT

nur mal meine meinung ...

2 ebenen die paraleln sind haben 0 oder unedlich (wenn sie identich sind)
wenn sie sich kreuzen haben sie auch unendlich viele aber auf 4 linien begrenzt ... und die findet man heraus in den man in richtung bzw gegen richtung zum normal vektor verschiebt und da die schnittlinie bestimmt! ...

wie man das macht ... keine ahnung,aber vllt hilft es, zumindest wenn man das thema hat sollte sowas die grundlage sein ^

zumindest klpat das aufm papier mit linien

Jester

LinkeT schrieb:

2 ebenen die paraleln sind haben 0 oder unedlich (wenn sie identich sind)

Ne, Wenn sie parallel sind, dann haben alle Punkte, die in der Ebene genau in der Mitte dazwischen liegen von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Also immer unendlich viele Lösungen.

Der Rest stimmt genausowenig. Ebenen sind keine Linien. Sind die Ebenen nicht parallel, so kommen 2 Ebenen als Lösungsmenge heraus.

otze

Jester schrieb:

Hm, vielleicht liest Du Dir die Sachen einfach nochmal durch? Da sind weit und breit keine 4 Gleichungen, das LGS ist unterbestimmt.

also, wenn ich mich net irre, sind das 4 gleichungen:

|\frac{x_{1}+2x_{2}-3}{\sqrt{5}}|=|\frac{2x_{1}-4x_{2}+2}{\sqrt{20}}|\\ \Leftrightarrow |x_{1}+2x_{2}-3|=|x_{1}-2x_{2}+1|\\ \Leftrightarrow x_{1}+2x_{2}-3=x_{1}-2x_{2}+1 \vee x_{1}+2x_{2}-3=-x_{1}+2x_{2}-1 \vee -x_{1}-2x_{2}+3=x_{1}-2x_{2}+1 \vee -x_{1}-2x_{2}+3=-x_{1}+2x_{2}-1

aber danke dir schonmal für die Hilfe

Jan

otze schrieb:

also, wenn ich mich net irre, sind das 4 gleichungen:

Welche meinst du? Ich kann sie in deinem Beitrag nicht entdecken. Oder meinst du, dass x = 2 und -x = -2 auch 2 Gleichungen sind?

otze

Jan schrieb:

otze schrieb:

also, wenn ich mich net irre, sind das 4 gleichungen:

Welche meinst du? Ich kann sie in deinem Beitrag nicht entdecken. Oder meinst du, dass x = 2 und -x = -2 auch 2 Gleichungen sind?

hmm recht hast du. bleiben 2 gleichungen und 2 variablen. also immernoch nicht unterbestimmt.

otze schrieb:

Jester schrieb:

Hm, vielleicht liest Du Dir die Sachen einfach nochmal durch? Da sind weit und breit keine 4 Gleichungen, das LGS ist unterbestimmt.

also, wenn ich mich net irre, sind das 4 gleichungen:

Nein, es ist eine.

|\frac{x_{1}+2x_{2}-3}{\sqrt{5}}|=|\frac{2x_{1}-4x_{2}+2}{\sqrt{20}}|\\ \Leftrightarrow |x_{1}+2x_{2}-3|=|x_{1}-2x_{2}+1|\\ \Leftrightarrow x_{1}+2x_{2}-3=x_{1}-2x_{2}+1 \quad (1) \vee x_{1}+2x_{2}-3=-x_{1}+2x_{2}-1 \quad (2) \vee -x_{1}-2x_{2}+3=x_{1}-2x_{2}+1 \quad (3) \vee -x_{1}-2x_{2}+3=-x_{1}+2x_{2}-1 \quad (4)

Gleichungen 1 und 3 bzw. 2 und 4 davon sind jeweils linear abhängig, fallen also weg. Desweiteren hast du da richtig ein "oder"-zeichen zwischen den Gleichungen. Wenn es ein 2-2-Gleichungssystem sein sollte, müsste es ein "und" sein, dann gäbe es genau eine Lösung. Du hast Recht, wenn du sagst, es gibt zwei Gleichungen.. diese sind aber voneinander unabhängig.

Und genau da liegt dein Denkfehler: Deine vermeintlich eindeutige Lösung sind eigentlich zwei Lösungen von zwei unabhängigen, unterbestimmten, Gleichungssystemen. Einmal heißt die Lösung: "x1=1 und x2 beliebig" und einmal genau andersrum (x3 in beiden Fällen beliebig). Das sind beidesmal unendlich viele Lösungen. Und beide lösen für sich die ursprüngliche Gleichung.
Das erklärt auch, warum Vielfache des Normalenvektors die Gleichung nicht lösen. Das wäre halt analog zu "a*x1=a und x2 beliebig" oder andersrum, was ziemlich trivial ist.

Aber die Lösung hast du ja jetzt schon hingeschrieben:
Aus Gleichung (1) wird
$x_2 -1 =0$
und aus Gleichung (2) wird
$x_1 -1 =0$

Das sind für mich zwei Ebenengleichungen, deren zugehörige Ebenen wie erwartet senkrecht aufeinander stehen. Deshalb gibt es "2*unendlich"-viele Lösungen, wie erwartet. Die Gleichung war nach wie vor unterbestimmt.

Der Teufel steckte im Detail: Durch das "oder"-Zeichen statt des "und" in deinem ersten Posting hätte es mir zugegebenermaßen gleich auffallen sollen, dass die Lösungen unabhängig sind. An der Korrektheit meines ersten Postings ändert dies aber nichts, wie ich betonen möchte.

LinkeT

Jester schrieb:

LinkeT schrieb:

2 ebenen die paraleln sind haben 0 oder unedlich (wenn sie identich sind)

Ne, Wenn sie parallel sind, dann haben alle Punkte, die in der Ebene genau in der Mitte dazwischen liegen von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Also immer unendlich viele Lösungen.

Der Rest stimmt genausowenig. Ebenen sind keine Linien. Sind die Ebenen nicht parallel, so kommen 2 Ebenen als Lösungsmenge heraus.

nimm mal nen brot schneide es 2 mal für quer ... da haste deine ebenen nimmst jetzt davon eine scheibe (zb genau durch die mitte) haste 2 geraden die sich wo schneiden ,,, also damit kann man schon mal nen bezugs punkt festlegen ...
wie gesagt hat sowas nich in mathe, aber das is logik .. was is daran falsch ... eine eben beinhaltet unendliche linien - die parallel verlaufen - beweis mir das gegenteil (wo hab ich behauptet das eine ebene "1" linie ist - man kann eine draus machen, wie ich mit dem Brot (es geht auch ne kartoffel) wohl anschaulich erklärt hab ...

zum thema parallel ... identisch oder einen abstand von 4 gibt es unendlich punkte/linien/1-2 ebene(n) die von beiden ebenden 2 entfernt[senkrecht] sind
haben sie keinen abstand[senkrecht] von 0 oder 4 gibt es keine lösung ausser du verbiegst den raum aber das ist nicht mehr mathematik sondern physik^^

edit

hoppla alles zürück nehmen ... hab die aufgabe nochmal gelessen ... hatte was mit entfernung2 gelessen ... parallel = differenz/2 = ebene = unendlich viele punkte

Jester

Kann ich mir das Experiment mit dem Brot dann sparen?

LinkeT

das dient als beweis das eine ebene als linie "darstelbar" ist

mir egal ob des machst *g*

Jan

LinkeT schrieb:

das dient als beweis das eine ebene als linie "darstelbar" ist

Weißt du überhaupt selbst, was du meinst?
Ohne dir zu Nahe treten zu wollen, aber ist Deutsch deine Muttersprache? Bei deinen Postings habe ich nicht nur inhaltliche, sondern auch einige sprachliche Verständnisprobleme.

otze

@Jester danke für diese Aufklärung jetzt ist es mir klar.

auch danke an alle anderen für ihre meinungen und denkarbeit

LinkeT

@jan ... Deutsch ... ich nix deutsch ich sachse - scherz bei seite ... frag doch nach was du nicht verstehst

das dient als beweis das eine ebene als linie "darstelbar" ist
mit nen bissel mehr gramatik:
das dient als beweis, dass eine ebene als linie "darstelbar" ist
+ rechtschreibung
das dient als Beweis, dass eine Ebene als Linie "darstelbar" ist

verstehstes jetzt ... bestimmt nich weill inhaltlich noch das selbe da steht

ein blatt papier ist eine eben
legst du es auf einen tisch haste eine ebene mit dem normalvektor richtung y achse (damit kenn ich mich nicht (100%) aus glaube das stimmt so)
effektiv hat man unendlich viele linien auf der ebene - da kann man doch eine heraus nehmen .... genaus so bei der zweiten ebene

um das natürlich mathematisch korrekt zu halten kann man eine ebene senkrecht (normalvektor richtung hast du an dieser schnitpunkt der achsen zwei geraden(linien) ... was ist daran nicht verständlich ,,,

Jan

LinkeT schrieb:

@jan ... Deutsch ... ich nix deutsch ich sachse - scherz bei seite ... frag doch nach was du nicht verstehst

So witzig finde ich das gar nicht. Ein bisschen Mühe kann man sich ja geben...

LinkeT schrieb:

nimm mal nen brot schneide es 2 mal für quer ...

LinkeT schrieb:

eine eben beinhaltet unendliche linien

LinkeT schrieb:

parallel = differenz/2 = ebene = unendlich viele punkte

LinkeT schrieb:

2 ebenen die paraleln sind haben 0 oder unedlich

LinkeT schrieb:

wo hab ich behauptet das eine ebene "1" linie ist - man kann eine draus machen

LinkeT schrieb:

(damit kenn ich mich nicht (100%) aus

Das ist das einzige, was ich bei dir definitiv verstehe, aber das wusste man auch vorher schon.

LinkeT schrieb:

effektiv hat man unendlich viele linien auf der ebene - da kann man doch eine heraus nehmen ....

Wenn du da eine raus nimmst, dann hast du noch eine Gerade. Die Könnte dann aber auch wieder in unendlich vielen verschiedenen Ebenen enthalten sein, die nicht identisch mit der ursprünglichen sind.

WebFritzi

LinkeT schrieb:

das dient als beweis das eine ebene als linie "darstelbar" ist
mit nen bissel mehr gramatik:
das dient als beweis, dass eine ebene als linie "darstelbar" ist
+ rechtschreibung
das dient als Beweis, dass eine Ebene als Linie "darstelbar" ist

Lass es. Es ist immernoch falsch. Es ging Jan eher um deine Ausdrucksweise, die tatsächlich grottig ist. Man versteht teilweise kein Wort. Wenn du eh nicht willst, dass man dich versteht, dann lass es doch gleich. Noch ein Beweis:

LinkeT schrieb:

um das natürlich mathematisch korrekt zu halten kann man eine ebene senkrecht (normalvektor richtung hast du an dieser schnitpunkt der achsen zwei geraden(linien) ... was ist daran nicht verständlich ,,,

Besonders mag ich die Schlussfrage in diesem Kontext.