Problem mit Aufgabe

Jester

Bitte ein Bit schrieb:

Lass mich raten: du sollst das Ganze beweisen.

Für den Beweis musst du das Problem viel genauer beschreiben. Stelle dir dazu mal die folgenden Fragen:

- Was ist ein arithmetisches Mittel ?
- Kann man das arithmetische Mittel eventuell durch eine Funktion/Reihe ausdrücken ?
- Ist das Ganze eindeutig, d.h. gibt verschiedene arithmetische Mittel ? (Ist denke ich die Kernfrage)
- Was ist das arithmetische Mittel der 2n Nachbarwerte ?
- Was sind Nachbarwerte ?

- Was ist eine konstante Funktion ?
- Warum sollte eine Funktion, die das arithmetische Mittel für 2n Nachbarwerte bestimmt, konstant sein ?
- Warum nicht ?

wenn du nichts dazu beitragen kannst, dann lass es doch bitte.

f:Z-->R, x |--> x ist eine Funktion, für die genau diese Durchschnittseigenschaft gilt.

Ganz offensichtlich spielt die Tatsache, dass nur die nichtnegativen reellen Zahlen mitspielen eine ganz entscheidende Rolle. Mein Ansatz wäre also zu versuchen sowas wie eine untere Schranke zu finden, am besten die Existenz eines Minimums zu zeigen. Damit an dieser Stelle der Durchschnitt noch stimmt müssen alle Nachbartwerte auch den Minimalwert haben usw.

Mr.Fister

Hab mich verlesen

Bitte ein Bit

Könnte ich mal die Aufgabe in der kompletten Fassung sehen ? Denn so, wie sie da steht verstehe ich die Aufgabe nicht. Soll man zeigen, dass jede Funktion, welche das arithmetische Mittel über 2n Werte berechnet, konstant ist ?

Was verstehst du daran nicht?

Bitte ein Bit

Ich verstehe schon nicht was konstant in diesem Bezug bedeutet. Eine konstante Funktion ist doch eine Funktion die immer den gleichen Wert hat, unabhängig von x.
Bsp: f(x) = 1

Richtig. Und was verstehst du noch nicht?

Bitte ein Bit

Ahh

Wenn nun jede Funktion das arithmetische Mittel über 2n Werte berechnet, dann schätze ich dass man hier nur zeigen muss dass alle Funktionen für die gleiche Eingabe das Gleiche berechnet.

Bitte ein Bit schrieb:

Ahh

Wenn nun jede Funktion das arithmetische Mittel über 2n Werte berechnet,

Quatsch.

Bitte ein Bit schrieb:

alle Funktionen für die gleiche Eingabe das Gleiche berechnet.

Das macht jede Funktion.

Jester

@bitte ein bit:

In Z hat jeder Wert 2 Nachbarn. In Z^2 (einem Gitter) hat jeder Wert 2*2 = 4 Nachbarn. In Z^3 (einem 3d-Gitter) hat jeder Punkt 2*3 Nachbarn, nämlich in jeder Dimension 2. Das geht im n-dimensionalen genauso weiter.

Zu beweisen ist nun, dass eine Funktion, dere Funktionswert an jeder Stelle bereits durch die Funktionswerte in der Nachbarschaft festgelegt ist (nämlich als deren Mittelwert) mit den gemachten Einschränkungen (Abbildung geht in die nicht-negativen reellen Zahlen) konstant sein muß, das heißt an jeder Stelle den gleichen Funktionswert liefert.

Bitte ein Bit

Beispiel:

f(x1, x2) = ( (x1 - 1) + (x1 + 1) + (x2 - 1) + (x2 + 1) ) / 4

Ist diese Funktion ein Beispiel für die beschriebenen Funktionen ?

Wenn ja, würde ich diese Funktion verallgemeinern und evt. beweisen und danach versuchen zu zeigen dass alle Funktionen dieser Art eine Äquivalenzklasse bilden.

Wenn nein, bitte erzeuge mir mal doch eine Beispielfunktion der beschriebenen Art.

Jester

Bitte ein Bit schrieb:

Beispiel:

f(x1, x2) = ( (x1 - 1) + (x1 + 1) + (x2 - 1) + (x2 + 1) ) / 4

Ist diese Funktion ein Beispiel für die beschriebenen Funktionen ?

Wenn Du die Funktion etwas bequemer als f(x1,x2) = 1/2*(x1+x2) schreibst kannst du das leicht selber nachprüfen. Ja, sie hat die beschriebenen Eigenschaften, bis auf eine: sie bildet nicht in die nicht-negativen reellen Zahlen ab.

Eine Beispielfunktion, die wirklich alles geforderte erfüllt ist zum Beispiel f(x1,x2) = 5. Und zu zeigen ist genau, dass jede Funktion mit dieser Eigenschaft schon von dieser Form ist. Ich sehe nicht wo es einem weiterhelfen sollte das als Äquivalenzklasse zu formulieren. Es ist natürlich nicht falsch, aber helfen tut's halt auch nicht.

Bashar

Vermutlich sind alle Funktionen, die diese Eigenschaft mit Ausnahme der Nicht-Negativität haben, affine Funktionen. Das würde ich als erstes versuchen zu beweisen.

Bashar schrieb:

Vermutlich sind alle Funktionen, die diese Eigenschaft mit Ausnahme der Nicht-Negativität haben, affine Funktionen. Das würde ich als erstes versuchen zu beweisen.

f(x,y) := x² - y²
passt auch.
Ich denke, es sind Polynome vom Grad 0..n, das ist aber geraten. Vielleicht hat die Lösung etwas damit zu tun, dass die gesamte Funktion durch einen (Z^(n-1) x 2) - dimensionalen Ausschnitt bestimmt ist?

nein, das mit den polynomen ist glaub' ich doch quatsch.

asmodis

Versteh ich das richtig, dass diese Funktion die Gleichung
$2n \cdot f(x) = \sum_{i=1}^n (f(x+e\_i) + f(x-e\_i))$
für alle $x\in \mathbb{Z}^n$ erfüllen soll (wobei $(e\_i)\_{i=1}^n$ Standardbasis ist)?

Richtig.

XFame

Ich verstehe nicht, wieso es solch eine Funktion ueberhaupt geben sollte. Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0. Wieso sollte da die Zielmenge die Menge der nicht negativen reellen Zahlen sein?

XFame schrieb:

Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0.

Nein, wieso?

XFame schrieb:

Ich verstehe nicht, wieso es solch eine Funktion ueberhaupt geben sollte. Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0. Wieso sollte da die Zielmenge die Menge der nicht negativen reellen Zahlen sein?

das sehe ich aber auch so.

beispielsweise n = 1, x = -2:
f(-2) = 1/2*[(-1) + (-3)] = -2 < 0, wenn sie mittelwert der beiden nachbarn sein soll.

oder was sehen wir daran falsch?

Es kann nach Voraussetzung keine negativen Werte geben.