Gleichung lösen --> Problem
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Ich soll folgende Gleichung nach a auflösen: 1/2a² - 1/3a³ = 1/12
Bisher hab ich folgendes gemacht:
1/2a² - 1/3a³ = 1/12 | ordnen
- 1/3a³ + 1/2a² = 1/12 | -(1/12)
- 1/3a³ + 1/2a² - 1/12 = 0 | *12
- 4a³ + 6a² - 1 = 0Linearfaktorabspaltung hab ich probiert, finde aber keine passenden werte:
--> 1 eingesetzt, ergebnis 1
--> -1 eingesetzt, ergebnis 9
Hab auch mit anderen Werten probiert, hat nicht geklappt.Nun weiß ich nicht mehr weiter...
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Die rationalen Nullstellen von p(x)=a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... a_0 lassen sich schreiben als a/b, wobei a ein Teiler von a_0 ist und b ein Teiler von a_n. Das vergrößert die Testmenge schon mal, aber falls da auch nichts dabei sein sollte, dann nimmt man entweder ein numerisches Verfahren oder in dem Spezialfall die Cardanischen Formeln.
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a = 1/2
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Nur zur Info: ich bin GK Mathe Klasse 11 ^^...wie sieht das numerische Verfahren aus? (von den Cardanischen Formeln noch nie was gehört)
PS: @rechengenie: wie kommst du auf 1/2?
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Numerisch heißt einfach ausprobieren: Du setzt Werte ein und guckst, was rauskommt. So näherst du dich dem Schätzwert immer weiter an.
rechengenie kommt an die 1/2 so wie Daniel E. es beschrieben hat. 1 ist ein Teiler der letzten Zahl (-1) und 2 ist ein Teiler der ersten Zahl (-4).
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Hattet ihr schon Näherungsverfahren? Also Regula Falsi/Newton? (Zumindest Ersteres hatte ich in der 11.)
Im Übrigen gibt es 3 Lösungen: a1 = 1/2, a2 = 1/2 - wurzel(3)/2, a3 = 1/2 + wurzel(3)/2
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Powerpaule schrieb:
Hattet ihr schon Näherungsverfahren? Also Regula Falsi/Newton? (Zumindest Ersteres hatte ich in der 11.)
Hatten wir noch nicht...hab das mit dem probieren aber verstanden
Danke.
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Was dir beim Probieren vielleicht hilft, wäre, das ganze Ding einfach mal Zeichnen zu lassen, dann siehst du ja in etwa wo die Nullstellen sind (wenn du ein solches Zeichenprogramm hast -> http://www.funkyplot.de/
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Also ich weiß ja nicht was das für schulen sind aber ich hatte in der realschule additionsverfahren/einsetzungs*/gleichsetzten. Und dann in der 12 lösen duch erweiterte koeffizienmatrix im zusammenhang mi vektorgeometrie/lineare algebra.
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Na ja aber einsetzen/gleichsetzen/addieren geht ja nur, wenn du mehr als nur eine Gleichung hast.
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Falsches thema :D:D
Es war doch vor kurzem ein thema mit einem LGS da(30*30 oder so).
Das ist ja kein LGS sondern ein GBRGS.
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/1 2 1 3 1 \ solve|- a - - a = --, a| \2 3 12 / 1 1 1 (1/2) 1 1 (1/2) -, - + - 3 , - - - 3 2 2 2 2 2easy, habs auch raus
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Substitution mit z=a², dann Mitternachts- oder p-q-Formel und dann Resubstitution?
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MasterCounter schrieb:
Substitution mit z=a², dann Mitternachts- oder p-q-Formel und dann Resubstitution?
Das klappt wohl nicht mit a3 und a2, da bräuchte man wohl eher die Potenzen a4 und a2.
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wuah da hast du recht, verdacht, sry
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wie wärs einfach mal mit polynomdivision?
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quark123 schrieb:
wie wärs einfach mal mit polynomdivision?
Aber dazu braucht er ja wenigstens erstmal eine Lösung.
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Und wie kriegt man die?
Durch faktorzerlegung des realteils im besten fall sonst durch probieren/GTR
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Tach Ravendark,
kennst du den satz, das alle rationalen nullstellen eines normierten polynoms mit koeffizienten aus IZ schon selbst in IZ liegen und a_0 teilen?
Wenn ja dann lässt sich die aufgabe recht leicht lösen:
1/2a² - 1/3a³ = 1/12 <=>
-8a3+12a2-2 =0substitution b = -2a liefert
b3+3b2-2 = 0
Mögliche rationale nullstellen sind also nur +-1,+-2
Wie man leicht nachrechnet is b=-1 nst => a=1/2 ist nst des ursprünglichen polynoms (rücksubstitution).
Jetzt kannst du polynomdivision anwenden und die restlichen beiden nst mittels p-q-formel quadratischer ergänzung oder whatever bestimmen.gruss unreg