Grad eines Polynoms
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Nixchecker schrieb:
Übrigens gilt die Gleichung so nur mit deinen -∞.
Ja, genau das war doch der Punkt an der Argumentation.
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Nixchecker schrieb:
Übrigens gilt die Gleichung so nur mit deinen -∞.
Die Gleichung gilt für alle Polynome ungleich 0, die Definition, dass deg(0) = -∞, macht sie auch für Nullpolynome gültig.
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Jester schrieb:
Es gilt (zumindest in Polynomringen über Nullteilerfreien Ringen) folgende Eigenschaft:
deg (p*q) = deq(p) + deg(q)
Das ist eigentlich recht offensichtlich. Wenn p ne Konstante ungleich 0 ist, dann ist p*q ein Polynom vom gleichen Grad wie q, es ändert sich also nix. Wenn wir jetzt aber q=0 wählen, dann ist das Ergebnis ja 0.
Hallo Jester,
ich unterstelle mal, Du meinst p=0, oder?
Jester schrieb:
Also muß für jedes Polynom q gelten: deg(0) = deg(0 * q) = deg(0) + deg(q)
Da bleibt für deg(0) halt nur eine Möglichkeit. Wenn man also die Gradformel komplett konsistent haben möchte, dann ist das eine sinnvolle Definition. Anscheinend gibt es nicht so viele andere Sachen, die man mit anderen Werten konsistent kriegen würde... also hat man kurzer Hand deg(0) so definiert.
was ich nicht verstehe ist, dass in diesem Fall p=0 überhaupt zulässig ist.
Mal angenommen da ist ein Polynom P mit deg(P)=n > 0. Dann sei der Koeffizient der freien Variablen mit dem größten Exponenten a_n. Nun macht es doch keinen Sinn den Fall a_n==0 zu betrachten, da dann P im besten Fall den Grad n-1 (deg(P)=n-1) hätte - vorausgesetzt a_n-1 ist ungleich 0.
Übertrage ich das auf deg(p) wenn der größte Exponent 0 ist so sollte auch hier a_n ungleich 0 sein.Umgekehrt - falls ich in p Koeffizienten a_n ungleich 0 zulassen (mit n=deg(p)), so kann man den Grad doch gar nicht eindeutig bestimmen - also gilt deg(P)=deg(Q) für jede Kombination beliebiger Polynome P und Q. Meinetwegen auch -unendlich.
Kann das jemand aufklären?
Gruß
Werner
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Jester schrieb:
Nixchecker schrieb:
Übrigens gilt die Gleichung so nur mit deinen -∞.
Ja, genau das war doch der Punkt an der Argumentation.
Das ist mir schon klar, wollte es nur nochmals betonen
@pumuckl das ist mir klar, aber diese Einschränkung hat Jester ja nicht, deshalb ja die -∞, aber das ist dir ja sicher genau so klar wie mir.
Aber was euch wohl klar ist, aber mir nicht ist der verborgene Witz, kann mir jemand sagen was da lustig ist?
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Nixchecker schrieb:
Aber was euch wohl klar ist, aber mir nicht ist der verborgene Witz, kann mir jemand sagen was da lustig ist?
Ich denke er meint das "Das ist eigentlich recht offensichtlich.". Für jemanden, der sich mit den Sachen auskennt ist das sicher offensichtlich. Aber wenn ich das ohne weitere Erläuterungen z.B. meiner Freundin zeigen würde mit der Bemerkung "das ist offensichtlich", dann würde die mich für bekloppt halten. Ich finds hier auch nicht sooo lustig, da das hier auch ein Matheforum ist und der OP es ja ohne weiteres zu verstehen scheint.
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@Werner:
Deswegen frag ich ja.
Mir ist noch eine andere Definition des Grades eines Polynoms p unter gekommen,
die deg(p*q) = deg(p) + deg(q) erfüllt.deg(p) = Anzahl der Nullstellen, in ihrer Vielfachheit, dieses Polynoms p
Wäre dann bloß noch das - vor dem ∞ zu erklären. Aber ich denke, das
hat die gleichen Gründe, wie, das 1 keine Primzahl ist.(Was ist ein OP?)
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Chuck schrieb:
deg(p) = Anzahl der Nullstellen, in ihrer Vielfachheit, dieses Polynoms p
Um die Äquivalenz zu der anderen Definition zu zeigen, benötigst du aber einen algebraisch abgeschlossenen Körper (zum Beispiel den der komplexen Zahlen). Wenn du schon einen Körper hast, kannst du ihn algebraisch abschließen, keine Ahnung, ob das auch über Ringe geht.
(Einfacher: nach deiner Definition ist x^2 + 1 über |R ein Polynom nullten Grades)Chuck schrieb:
Wäre dann bloß noch das - vor dem ∞ zu erklären. Aber ich denke, das hat die gleichen Gründe, wie, das 1 keine Primzahl ist.
Ja, Definitionssache. Und damit kannst du es auch direkt so definieren oder noch besser einfach undefiniert lassen
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deg(p*q)=deg(p)+deq(q). Wenn jetzt p oder q oder beide das Nullpolynom sind, dann steht da auf beiden Seiten minus unendlich. Das Ding ist einfach, dass es kein Polynom vom Grad minus unendlich gibt, vom Grad unendlich aber schon eines geben kann, was sich dann mit der Definition oben beißen würde, oder?
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Eigentlich haben Polynome immer endlichen Grad (bis auf das Nullpolynom natürlich). Wenn man auch Potenzreihen zulässt, dann betrachtest du den Ring K[[X]] statt K[X].
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Okay!
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.filmor schrieb:
Eigentlich haben Polynome immer endlichen Grad (bis auf das Nullpolynom natürlich). Wenn man auch Potenzreihen zulässt, dann betrachtest du den Ring K[[X]] statt K[X].
Was ist K[[X]] denn für ein Ring?
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Der Potenzreihenring in einer Variable über K.
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@Werner: Ich verstehe Deinen Einwand nicht so ganz. Für alle Polynome außer dem Nullpolynom kann man, indem man sich die höchste Potenz mit Koeffizient ungleich 0 anschaut, den Grad angeben. Das ist soweit klar und auch wohldefiniert. Ich habe lediglich plausibel gemacht (bzw. es versucht), wieso -∞ eine vernünftige Definition für den Grad des Nullpolynoms ist. Das folgt nicht aus der Definition der Nicht-Nullpolynome, ist aber wenigstens konsistent damit.
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.filmor schrieb:
Eigentlich haben Polynome immer endlichen Grad (bis auf das Nullpolynom natürlich). Wenn man auch Potenzreihen zulässt, dann betrachtest du den Ring K[[X]] statt K[X].
bei Potenzreihen ist es sinnvoll, als den Grad die höchste X-Potenz, die die Reihe teilt, zu nehmen (sinnvoll z.B. im Sinne der Bewertungstheorie oder für einen analogen Beweis des Hilbertschen Basissatzes)
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Jester schrieb:
@Werner: Ich verstehe Deinen Einwand nicht so ganz. ...
Ich glaube meine Verwirrung und auch der Grund der Frage von Chuck ist damit zu begründen, dass ich (bzw. wir) bisher nicht zwischen einem Polynom 0'ter-Ordnung und der Ordnung des Nullpolynoms unterschieden habe.
Wenn ich's recht überlege, gibt es ein Polynom P_0 = a_0; a_0 != 0 mit deg(P_0) = 0 und das Nullpolynom P_null = 0 mit deg(0) = -∞. Wenn das so stimmt, dann habe ich es verstanden.
Gruß
Werner
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Werner Salomon schrieb:
Wenn ich's recht überlege, gibt es ein Polynom P_0 = a_0; a_0 != 0 mit deg(P_0) = 0 und das Nullpolynom P_null = 0 mit deg(0) = -∞. Wenn das so stimmt, dann habe ich es verstanden.
Ja, das stimmt so.