Grad eines Polynoms
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Chuck schrieb:
deg(p) = Anzahl der Nullstellen, in ihrer Vielfachheit, dieses Polynoms p
Um die Äquivalenz zu der anderen Definition zu zeigen, benötigst du aber einen algebraisch abgeschlossenen Körper (zum Beispiel den der komplexen Zahlen). Wenn du schon einen Körper hast, kannst du ihn algebraisch abschließen, keine Ahnung, ob das auch über Ringe geht.
(Einfacher: nach deiner Definition ist x^2 + 1 über |R ein Polynom nullten Grades)Chuck schrieb:
Wäre dann bloß noch das - vor dem ∞ zu erklären. Aber ich denke, das hat die gleichen Gründe, wie, das 1 keine Primzahl ist.
Ja, Definitionssache. Und damit kannst du es auch direkt so definieren oder noch besser einfach undefiniert lassen
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deg(p*q)=deg(p)+deq(q). Wenn jetzt p oder q oder beide das Nullpolynom sind, dann steht da auf beiden Seiten minus unendlich. Das Ding ist einfach, dass es kein Polynom vom Grad minus unendlich gibt, vom Grad unendlich aber schon eines geben kann, was sich dann mit der Definition oben beißen würde, oder?
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Eigentlich haben Polynome immer endlichen Grad (bis auf das Nullpolynom natürlich). Wenn man auch Potenzreihen zulässt, dann betrachtest du den Ring K[[X]] statt K[X].
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Okay!
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.filmor schrieb:
Eigentlich haben Polynome immer endlichen Grad (bis auf das Nullpolynom natürlich). Wenn man auch Potenzreihen zulässt, dann betrachtest du den Ring K[[X]] statt K[X].
Was ist K[[X]] denn für ein Ring?
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Der Potenzreihenring in einer Variable über K.
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@Werner: Ich verstehe Deinen Einwand nicht so ganz. Für alle Polynome außer dem Nullpolynom kann man, indem man sich die höchste Potenz mit Koeffizient ungleich 0 anschaut, den Grad angeben. Das ist soweit klar und auch wohldefiniert. Ich habe lediglich plausibel gemacht (bzw. es versucht), wieso -∞ eine vernünftige Definition für den Grad des Nullpolynoms ist. Das folgt nicht aus der Definition der Nicht-Nullpolynome, ist aber wenigstens konsistent damit.
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.filmor schrieb:
Eigentlich haben Polynome immer endlichen Grad (bis auf das Nullpolynom natürlich). Wenn man auch Potenzreihen zulässt, dann betrachtest du den Ring K[[X]] statt K[X].
bei Potenzreihen ist es sinnvoll, als den Grad die höchste X-Potenz, die die Reihe teilt, zu nehmen (sinnvoll z.B. im Sinne der Bewertungstheorie oder für einen analogen Beweis des Hilbertschen Basissatzes)
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Jester schrieb:
@Werner: Ich verstehe Deinen Einwand nicht so ganz. ...
Ich glaube meine Verwirrung und auch der Grund der Frage von Chuck ist damit zu begründen, dass ich (bzw. wir) bisher nicht zwischen einem Polynom 0'ter-Ordnung und der Ordnung des Nullpolynoms unterschieden habe.
Wenn ich's recht überlege, gibt es ein Polynom P_0 = a_0; a_0 != 0 mit deg(P_0) = 0 und das Nullpolynom P_null = 0 mit deg(0) = -∞. Wenn das so stimmt, dann habe ich es verstanden.
Gruß
Werner
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Werner Salomon schrieb:
Wenn ich's recht überlege, gibt es ein Polynom P_0 = a_0; a_0 != 0 mit deg(P_0) = 0 und das Nullpolynom P_null = 0 mit deg(0) = -∞. Wenn das so stimmt, dann habe ich es verstanden.
Ja, das stimmt so.