Differentialgl[eichung

Hallo ich habe hier ein Übungsblatt zu Differentialgleichungen vor mir und habe alle Aufgaben geschafft bis auf eine an welcher ich schier verzweifle

wäre nett wenn mir die einer erläutern/vorrechnen könnte

Schwingungsdifferentialgleichung
Gegeben sei die Schwingungsdifferentialgleichung
m¨x + kx = 2 w*m* cos(w*t) (m, k, w > 0)

(a) W¨ahlen Sie den Parameter w so, dass Resonanz im Sinne der Theorie der
linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auftritt.

EInschub von mir: Wann ist das denn der Fall?????

(b) Wie lautet dann die allgemeine L¨osung?

dürfte ich schaffen wenn ich w bestimmen könnte
(c) Was gilt f¨ur t -> unendlich?

ich hoffe dass mir einer zumindest bei der a helfen könnte ich versuch schon seit stunden herauszufinden was resonanz in diesem fall ist, nur helfen mir artikel wie bei wikipedia nicht weiter

im meyberg-vachenauer band 2 s45 ist eine erklärung die ich aber auch nicht ohne weiteres bewältigen kann

nunja ich hoffe auf antworten danke schonmal

Ohne den Ausdruck genau zu kennen würde ich auf

x ~ cos(wt)

tippen

YASC

Schwingungsdifferentialgleichung
Gegeben sei die Schwingungsdifferentialgleichung
m¨x + kx = 2 w*m* cos(w*t) (m, k, w > 0)

(a) W¨ahlen Sie den Parameter w so, dass Resonanz im Sinne der Theorie der
linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auftritt.

Guck dir dochmal die Eigenfrequenz von nem System an, das von der zugehörigen homogenen DGL beschrieben wird. Und dann denkst du mal schwer darüber nach, was die Inhomogenizität in der Gleichung oben ist, welche physikalische Bedeutung sie hat und was Resonanz nochmal war.

(b) Wie lautet dann die allgemeine L¨osung?

Dafür suchste dir mal die allgemeine Lösung der homogenen Gl. und addierst eine spezielle Lösung.

(c) Was gilt f¨ur t -> unendlich?

Schonmal was von Schwebung gehört? Wenn du weißt, was das ist, ist die Antwort trivial.

Ich geh hier davon aus, dass du weißt, was die physikalische Bedeutung von deiner DGL ist.

leute ich muss leider sagen dass meine physik kenntnisse stark eingerostet sind
ich weiß zwar dass das eine schwingungsgleichung ist aber

Guck dir dochmal die Eigenfrequenz von nem System an, das von der zugehörigen homogenen DGL beschrieben wird. Und dann denkst du mal schwer darüber nach, was die Inhomogenizität in der Gleichung oben ist, welche physikalische Bedeutung sie hat und was Resonanz nochmal war.

nützt mir nicht viel ... kann bitte einer eine lösung oder einen ansatz zumindest posten?

ich kann nicht noch mehr zeit in diese aufgabe investieren möchte mir aber nochmal die zusammenhänge anhand der lösung klarmachen

übrigens: der begriff schwebung sagt mir gar nichts- werds aber dann mal googlen

naja ich bins nochmal...
ich merke immer mehr woran mein eigenltiches problem liegt

1. was ist denn die eigenfrequenz ???

2. wann liegt resonanz vor??

ich hab jetzt folgendes errechnet bisher

y(t) = sin(sqrt(k)*t/sqrt(m))*C2+cos(sqrt(k)*t/sqrt(m))*C1+2*omega*m*cos(omega*t)/(k-omega^2*m)

muss wurzel(k/m) gleich omega sein? und ist die partikuläre lösung überhaupt wichtig?
Muss ich C2 null setzen damit der sinus wegfällt? oder einfach stehen lassen?

ich bitte jetzt wirklich jemanden darum bitte eine lösung des problems zu schicken da ich sonst wahnsiinig werde ... bitte

Daniel E.

Ok, deine Gleichung sieht doch in etwa so aus: a x'' + b x = f(t). Dabei ist halt f(t) deine Anregung und die gesamte Eigendynamik des Systems steckt in der linken Seite der Gleichung.

Darum bekommst Du auch eine Eigenfrequenzen deines Systems, wenn Du die homogene Lösung findest (also mal f(t)=0 setzt) und dir deren Schwingungsverhalten ansiehst, nennen wir die Frequenz mal w_0.

Für Resonanz ist aber die Anregung wichtig, dafür schaust Du dir mal deine Partikulärlösung genauer an, die sollte (Ansatz per Re{c exp(jwt)}) auf irgendwas wie x_p(t)=d/sqrt((w_0^2-w2)^2+...) cos(w t) o.ä. Das Ampituenverhältnis zwischen x_p(t) und f(t) ist die Verstärung V(w) deines Systems und wenn Du dir die mal ansiehst, dann siehst Du, das Du an manchen Stellen ziemlich extreme Verstärungen in das System reinbekommst -- die Maxima V(w) nennt man die Resonanzfrequenzen.

Also: spezielle Lösung finden, Verstärkung berechnen, deren Maxima finden.

In deinem Fall, in dem dein System keine Dämpfung enthält, ist es aber eigentlich recht offensichtlich, wo die Resonanzfrequenzen liegen.

also ich versuche alles mal durchzugehen:

--------------------------------------------------------------------------
Eigendynamik:
ich habe die rechte seite gleich null gesetzt und folgende Lösung erhalten

C1* sin(sqrt(k/m)*x) + C2* cos(sqrt(k/m)*x)

dann wäre also w_0 = sqrt(k/m)
--------------------------------------------------------------------------
Partikuläre Lösung:
wegen f(t) = Konstante* cos(w*t)

y_p(t)= A*cos(w*t) + B*sin(w*t)

Lösung:
y_p(t)= [2*w*m/(k-w^2*m)] * cos(w*t)
--------------------------------------------------------------------------
Verstärkung:
wenn ichs recht verstanden habe sollte V(w) das Verhältnis

2*w*m *cos(w*t)
_______________________
(k-w^2*m) * 2*w*m

= cos(w*t)/ (k-w^2*m)
---------------------------------------------------------------------------
Maxima finden:

die Ableitung vom obigen ist

-sin(w*t)*w
______________
k-w^2*m

oder muss ich jetzt nach omega ableiten?

ich muss sagen dass ich hier etwas ins straucheln gerate....

mir fällt gerade ein dass ich ja eig ein w suche...

wenn cos(w*t)/ (k-w^2*m) jetzt tatsächlich die verstärkung ist dann ist die verstärkung maximal wenn

w = plusminus sqrt(k*m)/m
----------------------------------------------------------------------

ich glaub ich brauch nochmal hilfe

wo liegt denn jetzt mein fehler?

shisha schrieb:

--------------------------------------------------------------------------
Partikuläre Lösung:
wegen f(t) = Konstante* cos(w*t)

y_p(t)= A*cos(w*t) + B*sin(w*t)

Lösung:
y_p(t)= [2*w*m/(k-w^2*m)] * cos(w*t)
--------------------------------------------------------------------------

hier bist du noch nicht fertig. schmeiß im Ansatz den sinus weg (Koeffizientenvergleich...), dann hast du

A*cos(wt) = [2wm/(k - w^2m)]cos(wt)
A = [2wm/(k - w^2m)]

Das A ist ist die Amplitude der angeregten Schwingung und ist offensichtlich proportional zur Verstärkung.

den letzten beitrag habe ich nicht verstanden aber wenn ich ich nicht irre habe ich den fehler dass ich bei der verstärkung den cosinus noch drin habe und nicht nur die amplitude:

demnach wäre meine verstärkung

1/(k-w^2*m)

oder irre ich mich?

shisha schrieb:

demnach wäre meine verstärkung

1/(k-w^2*m)

das ist zumindest das, was rauskommen soll, imho.

was ist jetzt, wenn w^2 = k/m ist?

danke ... in meinem wahn hab ich ziemlich komische dinge angestelt - wo ich doch das ergebnis so ziemlich die ganze zeit vor jir hatte

aber das war nur ein teil von 3en

die allgemeine lösung habe ich,( glaube ich zumindest )

aber was passiert mit t->unendlich??
das wäre dann alles ...puh

noch eine kleine frage:

muss ich w = -wurzel(k/m)

auch beachten?

im fall w^2 = k/m ist deine rechnung natürlich falsch (an welcher stelle !?), weil verstärkungsfaktor unendlich rauskommt, und damit x(t) == plusminus infty.
d.h. du musst den fall gesondert rechnen. und dann für beide fälle schauen, was für t -> unendlich passiert.

da cos(wt) = cos(-wt) ist, ist die andere lösung für w genau so gut...

hmm das mit plusminus unendlich ist mir auch noch gerade aufgefallen

welche 2 fälle hab ich denn jetzt ?

wie kann ich das problem umgehen?

shisha schrieb:

hmm das mit plusminus unendlich ist mir auch noch gerade aufgefallen

welche 2 fälle hab ich denn jetzt ?

wie kann ich das problem umgehen?

2 fälle: w^2 = k/m und w^2 != k/m. den zweiten fall (w^2 != k/m) hast du schon gerechnet. da geht es auf. das war der zweite fall. nun musst du den ersten fall rechnen. das ist w^2 = k/m. bei der ausgangsgleichung anzufangen ist ziemlich sicher, da kann nix passieren. nimm also die ausgangsgleichung und schau, wohin dich w^2 = k/m führt. (das ist der erste fall)

ich habe immer noch keine allgemeine lösung hinbekommen (teil b)
kann einer helfen?

pesch rockt!:teufel: hocke auch immer noch an der selben aufgabe ....

shisha schrieb:

ich habe immer noch keine allgemeine lösung hinbekommen (teil b)
kann einer helfen?

na, du hast doch schon deine spezielle lösung

A(w, k, m)*cos(w t)

und die allgemeine lösung der homogenen gleichung

B*cos(sqrt(k/m) t + phi)

laut satz ist die lösung der dgl die summe aus allgemeiner homogener und spezieller inhomogener lösung ->

x(t) = A * cos(w t) + B*cos(sqrt(k/m)*t + phi)

und *BAM* average length solution!

wenn ich fragen darf wer ist denn der lange?

jaja-- peschs lakeien haben bei den übungen EINDEUTIG übertrieben - für ein übungsblatt eindeutig zu viel aufwand

also ich hock schon tage drüber und schaffs immer noch nicht ganz -.-

ich kapituliere denk ich mal