Formel umstellen

Bashar

hei zurück schrieb:

Hallo

Habe eine Gerade und einen Kreis nun möchte ich hier den (die) Schnittpunkt(e) berechnen.
dazu muss ich ja zunächst die Gleichungen von Kreis und Gerade gleichseten.

Gerade: y = m*x+c
Kreis: y = Wurzel(r² - x²)

Das ist aber nur ein Halbkreis
Ein Kreis (um den Ursprung) hat die Gleichung $$x^2 + y^2 = r^2$$

also: m*x+c = Wurzel(r² - x²).

also:

$x^2 + (mx+c)^2 = r^2$

Das jetzt auf die Normalform einer quadratischen Gleichung zu bringen ist glaub ich Stoff 7. Klasse ...

x² + y² = r²

was ist daran nun falsch wenn ich nach y umstelle:

y² = r² - x²

und nun die Wurzel

y = Wurzel(r² -x²)

Bashar

Die Wurzel ist keine Äquivalenzumformung. Das heißt, die beiden Gleichungen haben unterschiedliche Lösungsmengen. Beispiel: x^2 = 4 hat die Lösungen 2 und -2, denn 2^2 = 4 und (-2)^2 = 4. Ziehst du daraus auf beiden Seiten die Wurzel, also x = 2, bleibt nur noch eine Lösung übrig. Man kann das korrigieren, indem man sowas wie |x| = 2 schreibt.
Aber da man mit Quadraten ohnehin besser rechnen kann als mit Wurzeln, bringt einem das nicht so viel.

ok. habe mal die formel umgestellt. Könnt ihr mir sagen ob das richtig ist?

m+1 * x² + mx * c + c² - r² = 0

SeppJ

hei zurück schrieb:

ok. habe mal die formel umgestellt. Könnt ihr mir sagen ob das richtig ist?

m+1 * x² + mx * c + c² - r² = 0

Nein. Selbst wenn man die Klammern so setzt wie du es wahrscheinlich denkst (aber nicht schreibst), passt das nicht. Vermutlich hast du das (mx+c)² falsch ausgerechnet.

Tipp: (mx+c)² = m²x² + 2mxc + c²

Ups.also dann so (c durch t ersetzt)

m²+1 * x² + 2mxt +t²-r² = 0

also

a = m²+1
b = 2mt
c = t²-r²

für mitternachtsformel?

SeppJ

Ja. Aber deine (nichtvorhandene) Klammersetzung mach mir Angst.

Ok. So besser:

(m²+1) * x² + 2mxt + (t²-r²) = 0

Aber wenn ich nun die Werte a b und c in meine Mitternachtsformel einsetze komme ich einfach nicht auf den richtigen Schnittpunkt.

SeppJ

hei zurück schrieb:

Ok. So besser:

(m²+1) * x² + 2mxt + (t²-r²) = 0

Aber wenn ich nun die Werte a b und c in meine Mitternachtsformel einsetze komme ich einfach nicht auf den richtigen Schnittpunkt.

Ich schon. Was ist denn deiner Meinung nach der richtige Schnittpunkt und das was bekommst du stattdessen?

Tipp: x-Werte für den Schnittpunkt:
x = (-c m +- Sqrt[-c^2 + r^2 + m^2 r^2])/(1 + m^2)
Je nach Vorzeichen des Ausdrucks in der Wurzel sind das 0, 1 oder 2 Lösungen.

Also das verstehe ich nun gar nicht

also so weit waren wir ja schon
a = m²+1
b = 2mt
c = t²-r²

und die mitternachtsformel sieht ja so aus

x(1,2) = -b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)

wenn ich nun einsetzte komme ich auf die Formel:

x(1,2) = 2*mt +-sqrt(2*mt-4*(m²+1)*(t²-r²))/(2m²+1)

wie kommst du auf deine Formel?

SeppJ

hei zurück schrieb:

wenn ich nun einsetzte komme ich auf die Formel:

x(1,2) = 2*mt +-sqrt(2*mt-4*(m²+1)*(t²-r²))/(2m²+1)

Nein. Achte auf alle Quadrate und vor allem setz endlich mal Klammern!

wie kommst du auf deine Formel?

Durch Lösen der Gleichung, weil ich nicht so auf Formeln stehe. Aber durch Einsetzen in die Formel geht es auch.

Habe doch Klammern gesetzt.

Durch Lösen der Gleichung, weil ich nicht so auf Formeln stehe

Wo ist jetzt der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Formel.
Was hast du anders gemacht

SeppJ

hei zurück schrieb:

Habe doch Klammern gesetzt.

Nich alle und du hast auch nicht alles aus der Mitternachtsformel genommen was da so drin steht.

Durch Lösen der Gleichung, weil ich nicht so auf Formeln stehe

Wo ist jetzt der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Formel.
Was hast du anders gemacht

Ich habe eine Quadratische Ergänzung gemacht, anstatt die Werte direkt in eine Lösungsformel einzusetzen. Da besteht kein Unterschied, außer dass ich das eine für eine gute Rechenübung halte bei der man zudem noch sehr gut sieht was überhaupt dahinter steckt, während ich das andere für eine stumpfsinnige Formel halte die Schülern einfach vorgeklatscht wird ohne zu erklären warum sie funktioniert. Und wenn sie auch nur einen kleinen Fehler bei der Formel machen (so wie du), dann passt das Ergebnis nicht mehr und man kann nicht herausfinden woran es liegt.

Und da ich mir Formeln ohnehin nicht gut genug merken kann, dass jedes Minuszeichen an jeder Stelle passt und daher sowieso nachgucken müsste, löse ich die Gleichungen daher lieber direkt. Ist auch nur ein Dreizeiler. Denn wenn ich nachgucken müsste, kann ich auch gleich ein CAS benutzen.

Aber das hat alles nicht mit deinem Problem zu tun, denn dein Problem ist, dass du die Formel nicht sorgfältig genug angewendet hast. (Und ich habe mein Ergebnis auch noch einmal mit einem CAS bestätigt, du kannst also sicher sein, dass es stimmt).

Also mal ein Beispiel

Ich habe eine Gerade
P1: x = -60 / y = -50
P2: x = 80 / y = 30

ergibt bei mir eine geradengleichung von

y = 0.5714x - 15,7142

mein kreis geht durch den Urpsrung und hat nen Radius von 50.

Also habe ich für
a = m²+1 = 1,3266
b = 2mt = - 17,9579
c = t²-r² = -2253,0702

in meiner Mitternachtsformel eingesetzt:
x1 = (b+Wurzel(b²-4*a*c))/(2*a)

ergibt x1 = 85,400442.

Sorry aber ich verstehs nicht. Ich glaube zu warm heute

SeppJ

hei zurück schrieb:

Also mal ein Beispiel

Ich habe eine Gerade
P1: x = -60 / y = -50
P2: x = 80 / y = 30

ergibt bei mir eine geradengleichung von

y = 0.5714x - 15,7142

Ok, aber darf ich daraus y = 4/7 x - 110/7 machen? Warum runden, wenn's auch exakt geht?

mein kreis geht durch den Urpsrung und hat nen Radius von 50.

Also habe ich für
a = m²+1 = 1,3266
b = 2mt = - 17,9579
c = t²-r² = -2253,0702

Jupp. Oder exakt:
a = 65/49
b = - 880/49
c = - 110400/49

in meiner Mitternachtsformel eingesetzt:
x1 = (b+Wurzel(b²-4*a*c))/(2*a)

ergibt x1 = 85,400442.

Sorry aber ich verstehs nicht. Ich glaube zu warm heute

Anscheinend wirklich, denn ich komme beim Einsetzen auf:

\begin{equation*} \frac {49} {130}\left (-\frac {880} {49} + \frac {80\sqrt {94}} {7} \right) = \frac {8} {13}\left (-11 + 7\sqrt {94} \right) \approx 35 \end{equation*}

Beziehungsweise auf -48.533... für die andere Lösung.

Hä? also bei mir fängt die Mitternachtsformel mit b an wieso du dann 49/130 nimmst ist mir nicht klar.
Kannst du nicht mal die Mitternachtsformel auftstellen mit genau den Werten bevor du umformst?

Ok. bin nun doch durchgestiegen. Wäre aber besser gewesen ohne gleich alles umzustellen mal zu erklären.

Darf ich noch mals fragen wie sieht das ganze nun aus wenn der Kreis nicht durch den Ursprung geht?

SeppJ

hei zurück schrieb:

Darf ich noch mals fragen wie sieht das ganze nun aus wenn der Kreis nicht durch den Ursprung geht?

Dann ist deine ursprüngliche Kreisformel (x-x0)^2+(y-y0)2=r^2, mit x0, y0 als Mittelpunkt des Kreises. Dies führt dann natürlich zu einer anderen, allgemeineren Formel für die Lösung.

Oder ich addiere zu meinem Ergebnis einfach den Kreismittelpunkt hinzu.

Also P1x' = P1x + Mx
P2x' = P2x + Mx
und
P1y' = P1y + My
P2y' = P2y + My

Passt auch, oder nicht so elegant?

SeppJ

Jain, du kannst natürlich vorher das ganze System in den Nullpunkt verschieben. Dann kannst du die einfachere Formel nehmen, musst aber dabei auch deine Gerade verschieben, sonst liegen die Schnittpunkte ja hinterher ganz wo anders.