4. Formel umstellen

Formel umstellen

  • ?

    Ups.also dann so (c durch t ersetzt)

    m²+1 * x² + 2mxt +t²-r² = 0

    also

    a = m²+1
    b = 2mt
    c = t²-r²

    für mitternachtsformel?

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  • Mod

    Ja. Aber deine (nichtvorhandene) Klammersetzung mach mir Angst.

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  • ?

    Ok. So besser:

    (m²+1) * x² + 2mxt + (t²-r²) = 0

    Aber wenn ich nun die Werte a b und c in meine Mitternachtsformel einsetze komme ich einfach nicht auf den richtigen Schnittpunkt.

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  • Mod

    hei zurück schrieb:

    Ok. So besser:

    (m²+1) * x² + 2mxt + (t²-r²) = 0

    Aber wenn ich nun die Werte a b und c in meine Mitternachtsformel einsetze komme ich einfach nicht auf den richtigen Schnittpunkt.

    Ich schon. Was ist denn deiner Meinung nach der richtige Schnittpunkt und das was bekommst du stattdessen?

    Tipp: x-Werte für den Schnittpunkt:
    x = (-c m +- Sqrt[-c^2 + r^2 + m^2 r^2])/(1 + m^2)
    Je nach Vorzeichen des Ausdrucks in der Wurzel sind das 0, 1 oder 2 Lösungen.

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  • ?

    Also das verstehe ich nun gar nicht

    also so weit waren wir ja schon
    a = m²+1
    b = 2mt
    c = t²-r²

    und die mitternachtsformel sieht ja so aus

    x(1,2) = -b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)

    wenn ich nun einsetzte komme ich auf die Formel:

    x(1,2) = 2*mt +-sqrt(2*mt-4*(m²+1)*(t²-r²))/(2m²+1)

    wie kommst du auf deine Formel?

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  • Mod

    hei zurück schrieb:

    wenn ich nun einsetzte komme ich auf die Formel:

    x(1,2) = 2*mt +-sqrt(2*mt-4*(m²+1)*(t²-r²))/(2m²+1)

    Nein. Achte auf alle Quadrate und vor allem setz endlich mal Klammern!

    wie kommst du auf deine Formel?

    Durch Lösen der Gleichung, weil ich nicht so auf Formeln stehe. Aber durch Einsetzen in die Formel geht es auch.

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  • ?

    Habe doch Klammern gesetzt.

    Durch Lösen der Gleichung, weil ich nicht so auf Formeln stehe

    Wo ist jetzt der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Formel.
    Was hast du anders gemacht

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  • Mod

    hei zurück schrieb:

    Habe doch Klammern gesetzt.

    Nich alle und du hast auch nicht alles aus der Mitternachtsformel genommen was da so drin steht.

    Durch Lösen der Gleichung, weil ich nicht so auf Formeln stehe

    Wo ist jetzt der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Formel.
    Was hast du anders gemacht

    Ich habe eine Quadratische Ergänzung gemacht, anstatt die Werte direkt in eine Lösungsformel einzusetzen. Da besteht kein Unterschied, außer dass ich das eine für eine gute Rechenübung halte bei der man zudem noch sehr gut sieht was überhaupt dahinter steckt, während ich das andere für eine stumpfsinnige Formel halte die Schülern einfach vorgeklatscht wird ohne zu erklären warum sie funktioniert. Und wenn sie auch nur einen kleinen Fehler bei der Formel machen (so wie du), dann passt das Ergebnis nicht mehr und man kann nicht herausfinden woran es liegt.

    Und da ich mir Formeln ohnehin nicht gut genug merken kann, dass jedes Minuszeichen an jeder Stelle passt und daher sowieso nachgucken müsste, löse ich die Gleichungen daher lieber direkt. Ist auch nur ein Dreizeiler. Denn wenn ich nachgucken müsste, kann ich auch gleich ein CAS benutzen.

    Aber das hat alles nicht mit deinem Problem zu tun, denn dein Problem ist, dass du die Formel nicht sorgfältig genug angewendet hast. (Und ich habe mein Ergebnis auch noch einmal mit einem CAS bestätigt, du kannst also sicher sein, dass es stimmt).

    0
  • ?

    Also mal ein Beispiel

    Ich habe eine Gerade
    P1: x = -60 / y = -50
    P2: x = 80 / y = 30

    ergibt bei mir eine geradengleichung von

    y = 0.5714x - 15,7142

    mein kreis geht durch den Urpsrung und hat nen Radius von 50.

    Also habe ich für
    a = m²+1 = 1,3266
    b = 2mt = - 17,9579
    c = t²-r² = -2253,0702

    in meiner Mitternachtsformel eingesetzt:
    x1 = (b+Wurzel(b²-4*a*c))/(2*a)

    ergibt x1 = 85,400442.

    Sorry aber ich verstehs nicht. Ich glaube zu warm heute 😞

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  • Mod

    hei zurück schrieb:

    Also mal ein Beispiel

    Ich habe eine Gerade
    P1: x = -60 / y = -50
    P2: x = 80 / y = 30

    ergibt bei mir eine geradengleichung von

    y = 0.5714x - 15,7142

    Ok, aber darf ich daraus y = 4/7 x - 110/7 machen? Warum runden, wenn's auch exakt geht?

    mein kreis geht durch den Urpsrung und hat nen Radius von 50.

    Also habe ich für
    a = m²+1 = 1,3266
    b = 2mt = - 17,9579
    c = t²-r² = -2253,0702

    Jupp. Oder exakt:
    a = 65/49
    b = - 880/49
    c = - 110400/49

    in meiner Mitternachtsformel eingesetzt:
    x1 = (b+Wurzel(b²-4*a*c))/(2*a)

    ergibt x1 = 85,400442.

    Sorry aber ich verstehs nicht. Ich glaube zu warm heute 😞

    Anscheinend wirklich, denn ich komme beim Einsetzen auf:

    \begin{equation*} \frac {49} {130}\left (-\frac {880} {49} + \frac {80\sqrt {94}} {7} \right) = \frac {8} {13}\left (-11 + 7\sqrt {94} \right) \approx 35 \end{equation*}

    Beziehungsweise auf -48.533... für die andere Lösung.

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  • ?

    Hä? also bei mir fängt die Mitternachtsformel mit b an wieso du dann 49/130 nimmst ist mir nicht klar.
    Kannst du nicht mal die Mitternachtsformel auftstellen mit genau den Werten bevor du umformst?

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  • ?

    Ok. bin nun doch durchgestiegen. Wäre aber besser gewesen ohne gleich alles umzustellen mal zu erklären.

    Darf ich noch mals fragen wie sieht das ganze nun aus wenn der Kreis nicht durch den Ursprung geht?

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  • Mod

    hei zurück schrieb:

    Darf ich noch mals fragen wie sieht das ganze nun aus wenn der Kreis nicht durch den Ursprung geht?

    Dann ist deine ursprüngliche Kreisformel (x-x0)2+(y-y0)2=r^2, mit x0, y0 als Mittelpunkt des Kreises. Dies führt dann natürlich zu einer anderen, allgemeineren Formel für die Lösung.

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  • ?

    Oder ich addiere zu meinem Ergebnis einfach den Kreismittelpunkt hinzu.

    Also P1x' = P1x + Mx
    P2x' = P2x + Mx
    und
    P1y' = P1y + My
    P2y' = P2y + My

    Passt auch, oder nicht so elegant?

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  • Mod

    Jain, du kannst natürlich vorher das ganze System in den Nullpunkt verschieben. Dann kannst du die einfachere Formel nehmen, musst aber dabei auch deine Gerade verschieben, sonst liegen die Schnittpunkte ja hinterher ganz wo anders.

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  • ?

    achso klar.jetzt dachte ich habe es. Schade.

    Könntest du mir nicht helfen und mir die Formeln dann für a, b und c nennen. Damit ich dann meine Lösung damit vergleichen kann?

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  • Mod

    hei zurück schrieb:

    achso klar.jetzt dachte ich habe es. Schade.

    Könntest du mir nicht helfen und mir die Formeln dann für a, b und c nennen. Damit ich dann meine Lösung damit vergleichen kann?

    Für welchen Fall? Kreis mit Mittelpunkt? Im allgemeinen würde ich schon eher die Verschiebemethode nehmen, weil eine Geradengleichung sich schnell aufstellen lässt.

    Aber wenn's dich so freut:
    Gleichung aufstellen:

    (x−x_0)2+(c+mx−y_0)2=r2(x - x\_0)^2 + (c + m x - y\_0)^2 = r^2

    Umformen:

    (1+m)x2+x_02+x(2cm−2x_0−2my_0)+c2−r2+x_02−2cy_0+y_02=0(1 + m) x^2 + x\_0^2 + x (2 c m - 2 x\_0 - 2 m y\_0) + c^2-r^2+x\_0^2-2c y\_0+y\_0^2=0

    Und lösen:

    $x = \frac {-c m + x_0 + m y_0 \pm \sqrt {-c^2 + \left (1 + m^2 \right) r^2 - (-m x\_0 + y\_0)^2 + c (-2 m x\_0 + 2 y\_0)}} {1 + m^2}$

    Und die Lösung zu was Schönerem umformen:

    $x=\frac {-c m + x_0 \pm \sqrt {\left (1 + m^2 \right) r^2 - (c + m x\_0 - y\_0)^2} + m y_0} {1 + m^2}$
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  • ?

    Also. Vielen Dank mal für deine Hilfe und deine Geduld.
    Also mach es nun so, dass ich die Gerade verschiebe.
    und der Übersichthalber verwende ich die Mitternachtsformel. Da das ganze in einem Code seinen Platz findet und es auch später jemand anderes verstehen muss.

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