Fehler im Volumenintegral (beim Kegel)?

[Gugi]

Hi,
Ich finde einfach bei meiner folgenden Rechnung meinen Fehler nicht:

Man hat einen Kegel, dessen Spitze sich im Ursprung befindet und er ist entlang der positiven z-Achse ausgerichtet.
Die Höhe ist h, der Radius der Basis ist R.

Dann ist doch in Zylinderkoordinaten rho und z duch $$z(\rho)=\frac{h}{R} \rho$$ verknüpft, und man erhält doch das Volumen durch:

$V = \int\_0^{2\pi} \! \, d\phi \int\_0^{R} \! \rho \, d\rho \int\_0^{\frac{h}{R} \rho} \! \, dz = 2 \pi \int\_0^{R} \! \rho \frac{h}{R} \rho \, d\rho = 2 \pi \frac{h}{R} \frac{1}{3} R^{3} = \frac{2}{3} \pi h R^2$

Das Ergebnis ist falsch. Wenn ich die beiden hinteren Integral vertausche (mit Umkehrung von z(rho) zu rho(z)) erhalte ich das richtige Ergebnis:

$V = \int\_0^{2\pi} \! \, d\phi \int\_0^h \! \, dz \int\_0^{\frac{R}{h} z} \! \rho \, d\rho = 2 \pi \frac{1}{2} \int\_0^{h} \! \frac{R^2}{h^2} z^2 \, dz = \frac{1}{3} \pi h R^2$

Wo ist bei der ersten Rechnung der Fehler?

[Ravendark]

\rho$$ hängt ja von $$z$$ ab und nicht umgekehrt. Je nach z-Position ändert sich der Radius, daraus folgt ja $$\rho(z)$$ und nicht umgekehrt. Die aktuelle Position auf der z-Achse hat ja nichts mit dem Radius zu tun, $$z$$ läuft einfach von $$[0,h]$$.

[Gugi]

Mh, also ich müsste mich da schon schwer irren, wenn es auf die Reihenfolge ankommt: Man kann sowohl rho als auch z durch die jeweils andere Größe (durch bilden der Umkehrfunktion) ausdrücken... Also kann auch z nicht unabh. von rho sein.

[Gugi]

Kann mir keiner helfen?

[Michael E.]

Du integrierst über den falschen Bereich, nämlich über Zylinder minus Kegel mit dem gegebenen Radius. Das kommt daher, dass du z zwischen 0 und hρ/R hälst, aber der Kegel wächst mit zunehmendem z. Du müsstest also z zwischen hρ/R und h haben, dann passts auch.

[Gugi]

Ayay, stimmt. Das hab ich völlig übersehen.

Danke vielmals