Häufungspunkte

[Michael E.]

freakC++ schrieb:

Nun ist 2 aber kein Häufungspunkt der Meneg D und kann damit auch keinen Grenzwert darstellen.

Wenige Zeilen später gibst du eine D-Folge mit Grenzwert 2 an.

Deswegen hatte ich auf den ersten Blick gesagt, dass die Funktion nicht stetig ist.

Wie du das aus dem vorherigen Satz schließt, ist mir schleierhaft. Für jede Folge soll etwas gelten. Wenn du nun keine Folge hast, stimmt die Implikation natürlich, weil du eine Aussage über alle Elemente der leeren Menge machst. Jetzt gibt es zwar eine Folge, aber für die ist die Implikation schnell gezeigt.

[freakC++]

Michael E. schrieb:

Wenige Zeilen später gibst du eine D-Folge mit Grenzwert 2 an.

Aber warum ist 2 ein Grenzwert? Der Wert wird doch genau nur einmal angenommen, nämlich, wenn in f 43 eingestopft wird. Außerdem sollte ein Grenzwert nie erreicht werden, was aber bei f(43) der Fall ist.

Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein. 2 ist aber kein Häufungspunkt, weil es nicht in der Kugel liegt (vgl. ScottZhang) und damit auch kein Grenzwert, oder?

[Bashar]

freakC++ schrieb:

Michael E. schrieb:

Wenige Zeilen später gibst du eine D-Folge mit Grenzwert 2 an.

Aber warum ist 2 ein Grenzwert?

Konvergiert die Folge 2, 2, 2, ..., und wenn ja, was ist ihr Grenzwert?

Außerdem sollte ein Grenzwert nie erreicht werden

Quatsch.

Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

Nein.

Bitte lege auch mal deine Allergie gegen formale Definitionen ab.

[Namenloser324]

In isolierten Punkten sind Funktionen immer stetig, denn jede Folge die gegen den Punkt konvergiert erreicht ihn auch nach endlichen vielen Stellen.

[Jockelx]

freakC++ schrieb:

Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

Du schmeißt gerade wahrscheinlich Folgen- und Mengenhäufungspunkte durcheinander.
Bei Folgen ist ein Grenzwert stets auch ein Häufungspunkt.

[ScottZhang]

[quote="freakC++"]

Michael E. schrieb:

Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

vollkommen richtig ähm sry nein.

[SG1]

[quote="ScottZhang"]

freakC++ schrieb:

Michael E. schrieb:

Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

vollkommen richtig

Nein. Ein Gegenbeispiel wurde oben doch schon genannt.

[ScottZhang]

Jockelx schrieb:

Bei Folgen ist ein Grenzwert stets auch ein Häufungspunkt.

Auch nich, nimm ne Folge $\{a\_n\}\_{n\in\mathbb N}$ die ab eine gwisses $n$ konstant ist.

[ScottZhang]

Also es ist so: Das Komplement von $\{2\}$ in $D$ ist abgeschlossen, also ist $\{2\}$ offen. Das gleiche Spiel können wir im Bildbereich machen. Also sind solche einzelne Punkte offene Mengen ( sogar offen und abgeschlossen )

Folglich iss das Urbild von 43 offen, somit f stetig.

Hab ich recht ?

Edit: Das passt auch zu dem Beitrag von namensloser.

[Michael E.]

Das stimmt zwar, hilft freakC++ aber wahrscheinlich nicht. Oder willst du ihm erklären, warum [0,1] in der Menge [0,1] vereinigt {2} abgeschlossen ist?

[ScottZhang]

Achso, ja nee.

Das mit den Folgen reicht ihm dachte ich.

Ich hatte nur noch nach ner naiv-plausiblen Erklärung dafür gesucht das die isolierten Punkte offen sind. Das brauchen wir nämlich.

[Bashar]

ScottZhang schrieb:

Jockelx schrieb:

Bei Folgen ist ein Grenzwert stets auch ein Häufungspunkt.

Auch nich, nimm ne Folge $\{a\_n\}\_{n\in\mathbb N}$ die ab eine gwisses $n$ konstant ist.

Ja und, was soll damit sein?

[ScottZhang]

Die Menge $\{a\_n\}\_{n\in\mathbb N}$ hat dann keinen Häufungspunkt.

[Bashar]

Aber die Folge.

[ScottZhang]

ach ja schon gut. Wenn ich Häufungspunkt sehe, denk ich automatisch an Mengen.

Also nochma: Menge hat keinen, Folge hat !

[Namenloser324]

ScottZhang schrieb:

Achso, ja nee.

Das mit den Folgen reicht ihm dachte ich.

Ich hatte nur noch nach ner naiv-plausiblen Erklärung dafür gesucht das die isolierten Punkte offen sind. Das brauchen wir nämlich.

Find die Folgendefinition für den Stetigkeitsnachweis im Punkt 2 viel einfacher. Hat er echt geschrieben, er MUSS es damit machen?

[Namenloser324]

Gerade nochmal nachgeschaut:

Er schreibt doch sogar, dass sie die Folgendefinition verwenden sollen:

Jede Folge die gegen den Punkt 2 in D(das ist wichtig) konvergiert, erreicht tatsächlich den Wert 2(d.h. es gibt ein n0 aus den natürlichen Zahlen ab dem alle Glieder gleich 2 sind), wäre das nicht so könnte das ganze nicht konvergieren, da, salopp gesprochen, der Abstand zu 2 nicht beliebig klein werden würde.
Da aber 2 tatsächlich erreicht wird geht natürlich auch f(a_n) gegen f(2), schließlich taucht irgendwann nur noch f(2),f(2),f(2) usw. auf.

[ScottZhang]

Und jetze schauste nochma nach wann ne Folge konvergiert.

[Namenloser324]

ScottZhang schrieb:

Und jetze schauste nochma nach wann ne Folge konvergiert.

Nee, mach du mal.

[ScottZhang]

Warum nich? Vergleich doch ma die Konvergenz im Topologischen Raum mit dem Folgendreck da.