Häufungspunkte

[Namenloser324]

In isolierten Punkten sind Funktionen immer stetig, denn jede Folge die gegen den Punkt konvergiert erreicht ihn auch nach endlichen vielen Stellen.

[Jockelx]

freakC++ schrieb:

Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

Du schmeißt gerade wahrscheinlich Folgen- und Mengenhäufungspunkte durcheinander.
Bei Folgen ist ein Grenzwert stets auch ein Häufungspunkt.

[ScottZhang]

[quote="freakC++"]

Michael E. schrieb:

Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

vollkommen richtig ähm sry nein.

[SG1]

[quote="ScottZhang"]

freakC++ schrieb:

Michael E. schrieb:

Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

vollkommen richtig

Nein. Ein Gegenbeispiel wurde oben doch schon genannt.

[ScottZhang]

Jockelx schrieb:

Bei Folgen ist ein Grenzwert stets auch ein Häufungspunkt.

Auch nich, nimm ne Folge $\{a\_n\}\_{n\in\mathbb N}$ die ab eine gwisses $n$ konstant ist.

[ScottZhang]

Also es ist so: Das Komplement von $\{2\}$ in $D$ ist abgeschlossen, also ist $\{2\}$ offen. Das gleiche Spiel können wir im Bildbereich machen. Also sind solche einzelne Punkte offene Mengen ( sogar offen und abgeschlossen )

Folglich iss das Urbild von 43 offen, somit f stetig.

Hab ich recht ?

Edit: Das passt auch zu dem Beitrag von namensloser.

[Michael E.]

Das stimmt zwar, hilft freakC++ aber wahrscheinlich nicht. Oder willst du ihm erklären, warum [0,1] in der Menge [0,1] vereinigt {2} abgeschlossen ist?

[ScottZhang]

Achso, ja nee.

Das mit den Folgen reicht ihm dachte ich.

Ich hatte nur noch nach ner naiv-plausiblen Erklärung dafür gesucht das die isolierten Punkte offen sind. Das brauchen wir nämlich.

[Bashar]

ScottZhang schrieb:

Jockelx schrieb:

Bei Folgen ist ein Grenzwert stets auch ein Häufungspunkt.

Auch nich, nimm ne Folge $\{a\_n\}\_{n\in\mathbb N}$ die ab eine gwisses $n$ konstant ist.

Ja und, was soll damit sein?

[ScottZhang]

Die Menge $\{a\_n\}\_{n\in\mathbb N}$ hat dann keinen Häufungspunkt.

[Bashar]

Aber die Folge.

[ScottZhang]

ach ja schon gut. Wenn ich Häufungspunkt sehe, denk ich automatisch an Mengen.

Also nochma: Menge hat keinen, Folge hat !

[Namenloser324]

ScottZhang schrieb:

Achso, ja nee.

Das mit den Folgen reicht ihm dachte ich.

Ich hatte nur noch nach ner naiv-plausiblen Erklärung dafür gesucht das die isolierten Punkte offen sind. Das brauchen wir nämlich.

Find die Folgendefinition für den Stetigkeitsnachweis im Punkt 2 viel einfacher. Hat er echt geschrieben, er MUSS es damit machen?

[Namenloser324]

Gerade nochmal nachgeschaut:

Er schreibt doch sogar, dass sie die Folgendefinition verwenden sollen:

Jede Folge die gegen den Punkt 2 in D(das ist wichtig) konvergiert, erreicht tatsächlich den Wert 2(d.h. es gibt ein n0 aus den natürlichen Zahlen ab dem alle Glieder gleich 2 sind), wäre das nicht so könnte das ganze nicht konvergieren, da, salopp gesprochen, der Abstand zu 2 nicht beliebig klein werden würde.
Da aber 2 tatsächlich erreicht wird geht natürlich auch f(a_n) gegen f(2), schließlich taucht irgendwann nur noch f(2),f(2),f(2) usw. auf.

[ScottZhang]

Und jetze schauste nochma nach wann ne Folge konvergiert.

[Namenloser324]

ScottZhang schrieb:

Und jetze schauste nochma nach wann ne Folge konvergiert.

Nee, mach du mal.

[ScottZhang]

Warum nich? Vergleich doch ma die Konvergenz im Topologischen Raum mit dem Folgendreck da.

[Namenloser324]

ScottZhang schrieb:

Warum nich? Vergleich doch ma die Konvergenz im Topologischen Raum mit dem Folgendreck da.

Folgendreck? Also bitte

[ScottZhang]

Nagut dann mach ich es:

$\{x\_n\}\_{n\in\mathbb N} \rightarrow \{x\}$

$\Leftrightarrow$

$\forall U \in \mathcal{U}(x)\ \exists k\_0(U) : \forall k > k\_0(U) \text{ gilt } x_k \in U$

wobei $\mathcal{U}(x)$ die Menge alle Umgebungen von $x$
ist. Und genau mit der gibs nen Problem, den es ist war nicht klar was $\mathcal{U}(2)$ sein soll (zumindest mir).

PS: Dreck deshalb weil Folgen auch nur Mengen sind

[Namenloser324]

Folgen sollen Mengen sein? Zunächst sind Folgen nur Abbildungen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Erl.C3.A4uterung_und_Definition
Mit der Definition ist alles klar.