3. Division durch 0 durch Paralleluniversum

Division durch 0 durch Paralleluniversum

  • M

    Dass man immer über die Erstsemestersachen am längsten diskutieren muss... 🙄

    Jodocus schrieb:

    Die Körperaxiome treffen nur für alle Elemente des Körpers zu, aber ±∞\pm\infty sind erst nachträglich hinzugefügt und somit nicht an diese Axiome, sondern an eigene Definitionen gebunden.

    Du hast gesagt, dass man sich zuerst für einen Körper entscheiden müsse, um definieren zu können, ob man duch 0 teilen kann oder nicht. Wie bereits erläutert, ist das einfach falsch. Du kannst dir natürlich beliebige Mengen hernehmen und darauf willkürlich Operationen definieren, aber das hat dann mit einem Körper nichts mehr zu tun.

    Für die erweiterten reelen Zahlen ist dein Gegenbeweis insofern nicht richtig, da man mit der Definition 10=∞\frac{1}{0} = \infty das Produkt 0⋅0−1=0⋅∞0 \cdot 0^{-1} = 0 \cdot \infty als undefiniert festlegt, und nicht 1.

    Also kann man nicht durch 0 teilen, denn 0⋅0−10 \cdot 0^{-1} ist nichts anderes als 00\frac 00.

    Sowieso ist 0 nicht Element der abelschen Gruppe, für die 0⋅0−1=10 \cdot 0^{-1} = 1 gilt, das steht explizit in den Körperaxiomen.

    Ach? Natürlich steht es so in den Axiomen, weil die Axiome sonst widersprüchlich wären. Muss ich das nächste Mal fett "Angenommen, man könnte in einem Körper durch 0 teilen" schreiben?

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  • J

    Also kann man nicht durch 0 teilen, denn 0⋅0−10 \cdot 0^{-1} ist nichts anderes als 00\frac 00.

    Sorry, was ich sagte, war falsch. Der Ausdruck ist nicht undefiniert, sondern unbestimmt.
    Deine Aussage gilt nur für 0 im Zähler. Es sind nun mal alle diese Ausdrücke 0⋅∞=0⋅0−1=000 \cdot \infty = 0 \cdot 0^{-1} = \frac 00 unbestimmt. Und nur weil 00=0⋅0−1\frac 00 = 0 \cdot 0^{-1} gilt und dass diese Ausdrücke unbestimmt sind, heißt das noch lange nicht, dass 0−10^{-1} unbestimmt oder gar undefiniert ist, besonders weil 0⋅0−1≠10 \cdot 0^{-1} \neq 1 ist.
    Du kannst null nicht durch null teilen (bzw. das Ergebnis könnte alles mögliche sein), wohl aber jede Zahl außer null.

    Ach? Natürlich steht es so in den Axiomen, weil die Axiome sonst widersprüchlich wären.

    Nein. Schau noch mal nach. Die Definition der abelschen Gruppe für Multiplikation schließt die 0 explizit aus. Du kannst damit nicht argumentieren.

    Edit: Explizit auch hier nachlesbar: http://de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_(Mathematik)
    Mit den oben genannten Einschränkungen ist eine Division durch 0 naheliegend und möglich.

    Edit 2: Ich will ja garnicht sagen, dass eine Division durch 0 immer sinnvoll ist. In vielen Kontexten ist es einfach unpraktisch (z.B. Singularitäten in der Physik). Aber aus theoretischer Sicht gibt es sehrwohl eine sogar intuitiv einleuchtende Möglichkeit, eine solche Division zu definieren, nämlich über die formale Definition der erweiterten reelen Zahlen. Real ist eine solche Division u.U. problematisch, theoretisch aber machbar.

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  • M

    Du kannst das Problem nicht lösen, indem du ein ominöses neues Element hinzufügst und dann für manche Divisionen dieses neue Element das Ergebnis sein lässt. Ich kann z.B. auch hergehen und definieren, dass \begin{align*}\frac x0 =: \begin{cases}\Phi, \quad x = 5\\ \text{undefiniert}, \quad \text{sonst}\end{cases}\end{align*} ist. Soll ich jetzt behaupten, dass man durch 0 teilen kann, nur weil ich es für ein Element definiert habe? Wohl kaum. Aber nichts anderes machst du. Du wirst immer die Rechengesetze des Körpers verletzen oder Lücken in deinen Definitionen haben. In deinem Fall ist 00\frac 00 eine solche Lücke. Deshalb ist die Aussage "man kann durch 0 teilen" falsch, weil man die 0 selbst eben nicht durch 0 teilen kann.

    Ach? Natürlich steht es so in den Axiomen, weil die Axiome sonst widersprüchlich wären.

    Nein. Schau noch mal nach. Die Definition der abelschen Gruppe für Multiplikation schließt die 0 explizit aus. Du kannst damit nicht argumentieren.

    Hier scheinst du mich wohl falsch verstanden zu haben. Natürlich steht es in den Axiomen so, wie du es beschrieben hast, nämlich dass 0 nicht zu (K,) gehört, weil man sonst einen Widerspruch hat. Aber die Aussage war ja, dass man durch 0 teilen kann, d.h. dass 0 zu (K,) gehört. Diese Annahme habe ich zum Widerspruch geführt.

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  • J

    > Du kannst das Problem nicht lösen, indem du ein ominöses neues Element hinzufügst und dann für manche Divisionen dieses neue Element das Ergebnis sein lässt.

    Ich tue das nicht für manche Divisionen. Ich definiere es nur für eine einzige:
    0−1=∞0^{-1} = \infty. Und das langt auch. Für jede andere Zahl ist schließlich n0=n⋅10=n⋅0−1=n⋅∞=∞\frac{n}{0} = n \cdot \frac{1}{0} = n \cdot 0^{-1} = n \cdot \infty = \infty. Es gibt eben nur Unbestimmte Restausdrücke wie ∞∞,00\frac{\infty}{\infty}, \frac 00 etc.

    Die Aussage, "Man kann keine Zahl durch Null teilen.", ist i.A. falsch, da man es, mit einer gewissen Einschränkung, wie oben erklärt, tun kann, wenn man eine solche Definition wählt.

    Diese heiligen Körperaxiome sind auch nur willkürliche Definitionen, genauso willkürlich wie die Division-durch-Null-Geschichte. Aber sie sind nun mal vernünftig, und vergiss nicht, theoretisch.

    Bzgl. der abelschen-Gruppen-Geschichte: Das heißt immernoch nicht, dass 0 jetzt auf einmal doch in der abelschen Gruppe liegt. Das steht auch nirgendwo. Aus 10=∞\frac{1}{0} = \infty folgt nicht ∞⋅0=1\infty \cdot 0 = 1, da 0 nach wie vor nicht in dieser Gruppe liegt und es deshalb keinen Widerspruch gibt.
    Es wird auch kein Körperaxiom gebrochen, da diese nicht für ∞\infty gelten.

    Ach, und Lücken in der Defintion sind doch kein Problem. Man stopft eine, macht dafür ein paar andere dazu.

    Edit: Hm, das führt so wohl zu nichts. Ich bin leider nur angehender Physiker und kein Mathematiker. Kann jemand anders noch einen Senf dazugeben? 🙂

    Ich glaube, Michael will sagen, dass diese Division nicht mit den Körperaxiomen einhergeht. Tut sie auch nicht. Deshalb machst du ein paar Axiome dazu, um Lücken zu schließen. Und dieses Axiom 0−1=∞0^{-1} = \infty ist gar nicht so übel, da es intuitiv vernünftig ist.

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  • M

    Jodocus schrieb:

    Ich tue das nicht für manche Divisionen. Ich definiere es nur für eine einzige

    Erstens enthält der Ausdruck "manche" den Spezialfall "eine". Zweitens definierst du es für sehr viele Divisionen, nämlich für alle reellen Zahlen x außer 0 dividiert durch 0.

    0−1=∞0^{-1} = \infty.

    Hier hast du keine Division definiert, sondern ein inverses Element per Definition der Schreibweise "hoch -1". Damit drückst du 0⋅0−1=10 \cdot 0^{-1} = 1 aus, was du doch gerade nicht haben willst.

    Und das langt auch. Für jede andere Zahl ist schließlich n0=n⋅10=n⋅0−1=n⋅∞=∞\frac{n}{0} = n \cdot \frac{1}{0} = n \cdot 0^{-1} = n \cdot \infty = \infty. Es gibt eben nur Unbestimmte Restausdrücke wie ∞∞,00\frac{\infty}{\infty}, \frac 00 etc.

    Ich wiederhole mich: Du kannst deine Operationen nicht vollständig definieren, ohne Widersprüche zu erhalten. Ich kann mir auch eine Division durch 0 definieren: Nimm ein neues Element Φ\Phi zum Körper KK hinzu und definiere x0=Φ\frac x0 = \Phi für alle x∈K∪{Φ}x \in K \cup \{\Phi\}. Dafür lasse ich dann alle anderen Ausdrücke, in denen Φ\Phi vorkommt, "unbestimmt". Oder noch besser: Jeder Ausdruck, der Φ\Phi enthält, evaluiert zu Φ\Phi. Würdest du jetzt sagen, dass man durch 0 teilen kann?

    Die Aussage, "Man kann keine Zahl durch Null teilen."

    Stand nie zur Debatte. Die Fragestellung ist, ob man durch 0 teilen kann. Wenn du zwischen diesen beiden Aussagen keinen Unterschied siehst, wie definierst du dann "teilen"?

    Bzgl. der abelschen-Gruppen-Geschichte: Das heißt immernoch nicht, dass 0 jetzt auf einmal doch in der abelschen Gruppe liegt. Das steht auch nirgendwo. Aus 10=∞\frac{1}{0} = \infty folgt nicht ∞⋅0=1\infty \cdot 0 = 1

    Doch, denn 10=1⋅0−1\frac 10 = 1 \cdot 0^{-1} per Definition der Division. Damit folgt 10=∞⇔1⋅0−1=∞⇔1⋅(0−1⋅0)=∞⋅0⇔1=∞⋅0\frac 10 = \infty \Leftrightarrow 1 \cdot 0^{-1} = \infty \Leftrightarrow 1 \cdot (0^{-1} \cdot 0) = \infty \cdot 0 \Leftrightarrow 1 = \infty \cdot 0.

    da 0 nach wie vor nicht in dieser Gruppe liegt und es deshalb keinen Widerspruch gibt.

    Nochmal: Die Notation "hoch -1" ist gerade dadurch definiert, dass x⋅x−1=1x \cdot x^{-1} = 1 ist.

    Es wird auch kein Körperaxiom gebrochen, da diese nicht für ∞\infty gelten.

    Siehe Beispiel oben. Wenn ich Elemente hinzufüge, für die keine Gesetze gelten, kann ich trivialerweise alles machen.

    Ach, und Lücken in der Defintion sind doch kein Problem. Man stopft eine, macht dafür ein paar andere dazu.

    Nein, vorher gab es keine Lücke. Jetzt musst du dir mit "unbestimmten Ausdrücken" behelfen.

    Ich bin leider nur angehender Physiker und kein Mathematiker.

    Bin auch nur Nebenfächler, hab die einführenden Vorlesungen aber bei den Mathematikern gehört.

    Und dieses Axiom 0−1=∞0^{-1} = \infty ist gar nicht so übel, da es intuitiv vernünftig ist.

    Doch, es ist übel, weil dein Axiomensystem dann Widersprüche enthält.

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  • J

    Um Sachen klarzustellen:

    Die Division zweier Zahlen ist die Multiplikation der einen mit dem inversen der anderen. Das inverse einer Zahl ist so definiert, dass das Produkt aus der Zahl und seiner Inversen ein neutrales Element (z.B. 1) ergibt.
    Wir definieren jetzt unsere hübschen Körperaxiome. Leider können wir 0 nicht in die abelsche Multiplikationsgruppe aufnehmen, weil uns ein inverses fehlt (das ist für mich eindeutig eine Definitionslücke!).
    Jetzt wollen wir versuchen, diese Lücke sinnvoll zu füllen. Aus infinitesemaler Betrachtung sehen wir, dass die Inversen großer Zahlen sehr nahe an 0 herankommen. Wir erfinden also ein Symbol ∞\infty für die größte aller Zahlen, dessen inverses vernünftigerweise ∞−1=0\infty^{-1} = 0 ist. Aus folgt (∞−1)−1=0−1(\infty^{-1})^{-1} = 0^{-1} folgt dann 0−1=∞0^{-1} = \infty.
    Jetzt stellt sich jedoch die Frage, inwiefern die Definition des Inversen hier Sinn ergibt, da schließlich a⋅a−1=ea \cdot a^{-1} = e die Definition des Inversen Elementes in einer Gruppe ohne 0 war. Nun haben wir 2 Argumentationsmöglichkeiten:

    a) Da 0 nach wie vor nicht in dieser Gruppe liegt, kann ∞⋅∞−1=1\infty \cdot \infty^{-1} = 1 wegen ∞−1=0\infty^{-1} = 0 und somit ∞⋅0=1\infty \cdot 0 = 1 nicht als Definition herhalten.
    Mit der Körpererweiterung müssen wir also auch die Definition des inversen verändern. Wie man das macht, spielt keine Rolle. Man kann z.B. das Inverse als eine bijektive Abbildung auffassen:
    (⋅)−1:R‾→R‾( \cdot )^{-1} : \mathbb{\overline{R}} \rightarrow \mathbb{\overline{R}}
    x↦x−1:x⋅x−1=1x \mapsto x^{-1} : x \cdot x^{-1} = 1
    ∞↦0\infty \mapsto 0
    Diese Definition lässt nun die Frage offen und somit ∞⋅∞−1\infty \cdot \infty^{-1} unbestimmt, da die neue Zuweisung willkürlich erscheint, aber augenscheinlich vernünftig ist (also ein Axiom). Jetzt können noch ein paar vernünftige Axiome zugefügt werden (alle sind auf Wikipedia, z.B. hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterte_reelle_Zahl zu sehen), da die üblichen Körperaxiome augenscheinlich nicht für ∞\infty gelten können.

    **b)**Wir nehmen 0 in die abelsche Multiplikationsgruppe auf und erweitern um ein weiteres Axiom: 0⋅∞=10 \cdot \infty = 1.

    Was haben wir gewonnen? Wir haben eine Definitionslücke entfernt, dafür aber in a) und b) einige neue Axiome in Kauf nehmen müssen.
    Andererseits haben wir mit dem neuen ∞\infty nun auch Möglichkeiten, divergente Folgen als eine Art konvergente zu behandeln und andere Sachen.

    Ich hab mir die Geschichte nicht selber ausgedacht, aber sie ist an jeder Stelle vernünftig und impliziert, dass mit einer neuen, vernünftigen Definition von "Invers" auch eine Division durch 0 möglich ist. Du kannst sie gerne Willkür nennen, andererseits ist sie mit Infinitesemalmathematik vernünftig. Nenne mir eine andere, willkürliche Definition von Invers, die intuitiv und/oder vernünftig erscheinen mag. 🙂

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  • C

    Jodocus schrieb:

    Du kannst sie gerne Willkür nennen, andererseits ist sie mit Infinitesemalmathematik vernünftig.

    Falls du mit "Infinitesimalmathematik" die Nichtstandardanalysis meinst: Die funktioniert anders.

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  • J

    Ist nicht limn→∞1n=0\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n}} = 0 ?
    Wie würdest du denn im erweiterten reelen Zahlenraum die Festlegung ∞−1=0\infty^{-1} = 0 begründen?

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  • M

    Jodocus schrieb:

    Leider können wir 0 nicht in die abelsche Multiplikationsgruppe aufnehmen, weil uns ein inverses fehlt (das ist für mich eindeutig eine Definitionslücke!).

    Nö, wieso sollte das eine Lücke sein?

    Aus infinitesemaler Betrachtung

    Da du allgemein von Körpern redest, sei mir die Bemerkung erlaubt, dass du im Allgemeinen bei Körpern keine infinitesimalen Betrachtungen machen kannst, weil Körper nicht einmal unendlich sein müssen. Wie willst du hier das Inverse der 0 definieren?

    Wir erfinden also ein Symbol ∞\infty für die größte aller Zahlen

    Was ist die größte aller Zahlen?

    dessen inverses vernünftigerweise ∞−1=0\infty^{-1} = 0 ist.

    Vernünftigerweise? Wieso ist es denn vernünftig, überhaupt ein Inverses zu definieren? Immerhin musst du dafür deine Definition von "Inverses" ändern.

    Man kann z.B. das Inverse als eine bijektive Abbildung auffassen:
    (⋅)−1:R‾→R‾( \cdot )^{-1} : \mathbb{\overline{R}} \rightarrow \mathbb{\overline{R}}
    x↦x−1:x⋅x−1=1x \mapsto x^{-1} : x \cdot x^{-1} = 1
    ∞↦0\infty \mapsto 0

    Diese Abbildung ist nicht bijektiv, ja nicht einmal wohldefiniert, weil sie nicht auf 0 definiert ist. (Oder triffst du wieder die Annahme 0−1=∞0^{-1} = \infty?)

    Diese Definition lässt nun die Frage offen

    Welche Frage?

    da die neue Zuweisung willkürlich erscheint, aber augenscheinlich vernünftig ist (also ein Axiom).

    Erstens definierst du Axiom ganz schön großzügig. Zweitens: Durch "augenscheinlich vernünftig" gewinnt man in der Mathematik keinen Blumenstrauß.

    Ich hab mir die Geschichte nicht selber ausgedacht, aber sie ist an jeder Stelle vernünftig

    Ich bezweifle gar nicht, dass es Anwendungen für diese Räume gibt, die die reellen Zahlen kompaktifizieren. Aber natürlich muss man durch diese Erweiterungen auch Abstriche machen, z.B. dass die Multiplikation nicht mehr an allen Stellen bestimmt ist. Je nach Anwendung kann man entscheiden, durch welchen Raum man größere Vereinfachungen hat, aber du kannst nicht so tun, als ob der Körper der reellen Zahlen jetzt überflüssig geworden wäre, weil deine Erweiterung für jeden "vernünftig" ist.

    und impliziert, dass mit einer neuen, vernünftigen Definition von "Invers" auch eine Division durch 0 möglich ist.

    Die Division durch 0 hast du immer noch nicht vollständig definiert.

    Du kannst sie gerne Willkür nennen, andererseits ist sie mit Infinitesemalmathematik vernünftig.

    Dort werden unendlich große und unendlich kleine Zahlen benutzt.

    Nenne mir eine andere, willkürliche Definition von Invers, die intuitiv und/oder vernünftig erscheinen mag. 🙂

    Ich wähle die Standarddefinition, dass ein Element multpliziert mit seinem Inversen das neutrale Element ergibt. Wie gesagt: Wenn du mit den einhergehenden Abstrichen leben kannst, kannst du dir gerne die reellen Zahlen erweitern, meinetwegen auch so, dass du es als "vernünftig" (was auch immer das sein mag) ansiehst. Das führt aber nicht dazu, dass du die Division durch 0 komplett definieren kannst.

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  • N

    Ginge auch irgendwie umgekehrt in einem anderen Film: 1+1 = 0 0:1 = 1 rest 1

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  • B

    Die Festlegung 0−1=∞0^{-1} = \infty in R‾\overline{\mathbb{R}} ist doch noch nichtmal intuitiv vernünftig, weil es genausogut auch −∞-\infty sein könnte.

    Wenn man nur noch ein ∞\infty haben will landet man bei der Riemannschen Zahlenkugel (C∪{∞}≠R‾\mathbb{C}\cup\{\infty\}\neq\overline{\mathbb{R}}), wo es auf einmal doch ein Inverses der 0 gibt ...

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  • J

    Naja, eine solche projektive Erweiterung gibt es für die erweiterten reelen Zahlen doch auch.

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  • C

    Jodocus schrieb:

    Naja, eine solche projektive Erweiterung gibt es für die erweiterten reelen Zahlen doch auch.

    Die projektiven Räume funktionieren völlig anders und haben damit nichts zu tun. Ein projektiver Raum P^n ist einfach die Menge aller Linien durch den Ursprung im R^{n+1}. Das hat erstmal rein gar nichts mit "unendlich" zu tun, jede Linie durch den Ursprung ist völlig gleichberechtigt und entspricht einem Punkt im projektiven Raum.

    Wenn man ein Element "unendlich" dazuerfindet, dann kann man das als Einpunkt-Kompaktifizierung ansehen. Das ist aber was rein topologisches und hat auch nichts zu tun mit den Rechenoperationen wie Addition und Multiplikation. Also alles ziemlich sinnlos.

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  • J

    Christoph schrieb:

    Jodocus schrieb:

    Naja, eine solche projektive Erweiterung gibt es für die erweiterten reelen Zahlen doch auch.

    Die projektiven Räume funktionieren völlig anders und haben damit nichts zu tun.

    Hm, ist PR^1 nicht homöomorph zu S^1 und damit genau die Einpunkt-Kompaktifizierung von R?

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  • C

    Jester schrieb:

    Hm, ist PR^1 nicht homöomorph zu S^1 und damit genau die Einpunkt-Kompaktifizierung von R?

    Ja. Man muss noch willkürlich Koordinaten vergeben, damit man das mit den reellen Zahlen vergleichen kann. Aber stimmt, dann ist es eine mögliche Interpretation des Konzepts "Reelle Zahlen mit unendlich".

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  • G

    "Division durch 0 durch Paralleluniversum"

    verschoben in

    "Neuigkeiten aus der realen Welt"

    🙂

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  • R

    Erhard Henkes schrieb:

    Parallelmathematik, eine neue mathematischen Disziplin

    Ja, wäre ganz gut für Politiker und Volkswirtschaftler. Da könnten sie gleichzeitig sparen, investieren und Schulden machen. Plan A === Plan B === Plan C. 👍

    wobei mindestens ein Universum bankrott geht 🤡

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