Mengenlehre

[rudiM]

Hallo,

für meine Aufgabenstellung muß ich EXAKT wissen wie die Definition ist, ob zwei oder mehr Mengen verbunden sind. Oder sind die Mengen schon verbunden, wenn sie sich nur berühren (evtl. erst in der Unendlichkeit). Und wenn sie verbunden sind, gelten diese dann nur noch als eine Menge? Oder gibt es noch andere Verbindungsmöglichkeiten ausser berühren und überschneiden? Wie ist der Begriff "Zusammenhängend" definiert?

Grüße
Rudi

[Jester]

Die Frage macht so keinen Sinn. "Zusammenhang" und "Berühren" sind keine Begriffe aus der Mengenlehre. Sowas macht erst dann Sinn, wenn man noch mehr Struktur hat, nämlich einen topologischen Raum. (google/wikipedia-stichwort!)

[rudiM]

ja, Topologie ist wohl insgesamt ein größeres Ding. Da wirkt meine Frage schon etwas naiv.
Speziell wird in der wikipwdia/Mandelbrotmenge davon gesprochen sie sei

einfach zusammenhängend

. Es wäre aber nicht bekannt ob sie

wegzusammenhängend

sei.
Die Hauptmenge hat ja viele Knospen. Berühren diese sich, oder nicht? Daß ein Weg sie verbindet, glaube aber ich nicht mehr.

Gruß
Rudi

[JFB]

Deine Aussage macht keinen Sinn. Und steht so hoffentlich auch nicht auf Wikipedia. Einfacher Zusammenhang beinhaltet nämlich Wegzusammenhang. Was meinst du mit berühren? Was meinst du mit Weg?

[rudiM]

oH, doch:

Die Mandelbrot-Menge ist spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Sie ist zusammenhängend (das heißt, sie bildet keine Inseln) und voll (sie hat also keine Löcher). (Ob M einfach zusammenhängend ist, ist nicht bekannt, denn es ist nicht einmal bekannt, ob M wegzusammenhängend ist.)

My Slang: Weg ist wegzusammenhängend.
Ich habs schon bemerkt: Berühren gibst in Mathe nicht. Die Frage ist wie nah können sich 2 Mengen kommen bis sie wegzusammenhängend werden. zB. aus einer Reihe von Pixeln werden 2 Mengen wenn ein Pixel dazwischen ausfällt, oder?

Gruß Rudi

[JFB]

Dein Zitat passt nicht zu deiner Behauptung oben, es sei bekannt, dass die Mandelbrotmenge einfach zusammenhängend ist, aber nicht ob Wegzusammenhang vorliegt.

Slang der Mathematiker: Ein Weg ist eine stetige Funktion f: I -> X, wobei I ein reelles Intervall und X ein topologischer Raum ist. Deine Frage macht dann immer noch wenig Sinn, denn "2 Mengen" kommen sich nicht nahe, bis sie wegzusammenhängend werden. Wegzusammenhang ist eine Eigenschaft, die man einer einzelnen Menge zusprechen kann. Und zwar genau dann, wenn je zwei Punkte der Menge durch einen Weg erreichbar sind, d.h. es gibt für alle a,b aus einem topologischen Raum X eine Abbildung wie oben (etwa auf dem Einheitsintervall, das ist irrelevant) mit f(0) = a, f(1) = b. Steht auch alles ausführlich auf Wikipedia.

zB. aus einer Reihe von Pixeln werden 2 Mengen wenn ein Pixel dazwischen ausfällt, oder?

Was ist eine Reihe von Pixeln? Eine Menge? Was soll das "aus dem einen wird das andere" bedeuten? Wenn die Menge nichtleer ist hat sie immerhin schon zwei Teilmengen. Sind das dann zwei Mengen? Es ist aber immer noch *eine* Menge von Pixeln, selbst wenn sie nicht unmittelbar nebeneinander (was auch immer das bedeuten soll...) angeordnet sind. Alles andere (insbesondere das einfach so dahingeschriebene Wörtchen "dazwischen") muss über (präzise!) Abstandsbegriffe gefasst werden.ä

Mathe funktioniert so nicht.

[volkard]

JFB schrieb:

Mathe funktioniert so nicht.

Nehmen wir mal so einen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Raum#Euklidische_R.C3.A4ume_in_der_Topologie
Funktioniert sie dann wieder?

[rudiM]

Ja, Wikipedia ist toll. Aber mir raucht der Kopf

Also glaube ich es ist so, dass bei einer f(x) alle x zu einer Menge gehören.
Wenn ich aber die Mandelbrotformel (die mich interssiert) c = z²+ c iteriere, dann liegen doch die Ergbnisse von c verstreut in der komplexen Ebene rum und es ist keine Kurve(Weg) mehr erkennbar.

[JFB]

volkard schrieb:

Funktioniert sie dann wieder?

Bei dir schon. Bei dir tut sie das aber vermutlich auch sonst. Aber wenn rudiM Begriffe in "his Slang" benutzt versteht im besten Fall er selbst was er meint. Aber er wollte ja exakt wissen, was es heißt, wenn zwei oder mehr Mengen verbunden sind. Diese rumjongliererei hilft dabei aber nicht.

rudiM schrieb:

Also glaube ich es ist so, dass bei einer f(x) alle x zu einer Menge gehören.

Da bin ich überfragt...

rudiM schrieb:

dann liegen doch die Ergbnisse von c verstreut in der komplexen Ebene rum und es ist keine Kurve(Weg) mehr erkennbar.

Die Mandelbrotmenge ist ja auch nicht die Werte dieser Iteration, sondern die Menge der Punkte in der Zahlenebene für die die Iteration beschränkt bleibt.

[Michael E.]

rudiM schrieb:

Also glaube ich es ist so, dass bei einer f(x) alle x zu einer Menge gehören.

Du solltest genauer ausdrücken, was du meinst. Jedes x gehört zur Menge {x}, also stimmt die Aussage, beinhaltet aber ziemlich null Informationen. Meinst du, dass der Definitionsbereich einer Funktion eine Menge ist? Ja natürlich (naja, eigentlich eine Klasse, aber die Antwort "ja" ist für dich hinreichend). Also was wolltest du aussagen?

[rudiM]

Hallo,

nun bin zur Erkenntnis gelangt, dass Mathe etwas ganz anders ist, als sich ein Softwareler das so vorstellt.
Noch ein Versuch, zu beschreiben, was micht interessiert. Alle konvergierenden C's in der Mandelbrotmenge streben, früher oder später, dem Wert Null zu. Zwischen den kreisförmigen Blasen ist bei jeder Vergrößerung ein Spalt zu sehen, der sich anscheinend schließt. Bis zu einer Vergrößerung von 10E-40 habe ich das schon gemessen. Da es ab hier technisch schwierig wird zu simulieren,
steht die Frage im Raum :
"Bleibt der Spalt offen und erweitert sich dann irgendwann wieder?"
( das heißt die C's dazwischen bleiben divergent) oder:
"Schließt sich der Spalt, und der Abstand der zwei Blasen wird zu Null"?

[LOLALter]

rudiM schrieb:

Hallo,

nun bin zur Erkenntnis gelangt, dass Mathe etwas ganz anders ist, als sich ein Softwareler das so vorstellt.

Ehm nein, das gilt leider nur für dich und du solltest nicht pauschalisieren. Informatiker haben an der Hochschule beispielsweise gelernt, wie man mit mathematischer Formulierung umgeht.

[rudiM]

hallo, LOLALter,

es lag mir fern die "Informatiker" zu schmähen, deshalb habe ich auch diese Bezeichnung nicht benutzt.

Also, sei wieder gut!

[Michael E.]

rudiM schrieb:

Alle konvergierenden C's in der Mandelbrotmenge streben, früher oder später, dem Wert Null zu.

Also erst mal kann eine komplexe Zahl C nicht "konvergieren". Du meinst die Folge, die die Mandelbrotmenge definiert. Und diese muss für ein komplexes C nicht konvergieren, damit C zur Mandelbrotmenge gehört. Und wenn die Folge konvergiert, muss sie nicht gegen 0 konvergieren. Wie kommst du darauf?

Zwischen den kreisförmigen Blasen ist bei jeder Vergrößerung ein Spalt zu sehen, der sich anscheinend schließt.

Ich weiß nicht, was du meinst. Ist das von dir gemeinte Bild im Wikipediaartikel zu finden?

[rudiM]

Ja, gröberen Anfänge dieser Spalten sind in "Wikipedia/Mandelbrot-Menge/Bildergalerie einer Zoomfahrt" Ausschnitt 1 bis 2 zu sehen.

Ach ja, ich denke zu kurz und in meiner eigenen Logik. Wenn eine Folge konvergiert, dann natürlich nicht auf die Koordinaten 0i,0r sondern auf einen oder mehrere Punkte, wobei die Radien dieser annähernden Spiralen immer kleiner werden. Ich meinte der Abstand zu diesen Attraktoren (ist das schon wieder falsch?) wird immer kleiner, und vermutlich irgendwann zu Null.

Und diese muss für ein komplexes C nicht konvergieren, damit C zur Mandelbrotmenge gehört.

Aber das das weiß ich bestimmt: Die Frage, die Mandelbrot klären wollte war, welche Folgen konvergieren und welche nicht. Die Folgen am Rande, die erst spät divergieren, sind eine andere Frage. Diese bilden eher die "Apfelmännchen" Darstellung. Zu unterscheiden ob ein "C" zur MBM gehört, ist unter Umständen erst nach Unendlich-1 Itationen (Aufschrei!!) zu klären.

[Michael E.]

rudiM schrieb:

Ja, gröberen Anfänge dieser Spalten sind in "Wikipedia/Mandelbrot-Menge/Bildergalerie einer Zoomfahrt" Ausschnitt 1 bis 2 zu sehen.

Der Spalt schließt sich, weil die Mandelbrotmenge zusammenhängend ist. Das heißt aber nicht automatisch, dass du einen Weg von der linken zur rechten Seite der Spalte hast. Dafür bräuchte man Wegzusammenhang. Schau dir am besten mal das Beispiel unter http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum#Wegzusammenh.C3.A4ngend an.

Ach ja, ich denke zu kurz und in meiner eigenen Logik. Wenn eine Folge konvergiert, dann natürlich nicht auf die Koordinaten 0i,0r sondern auf einen oder mehrere Punkte, wobei die Radien dieser annähernden Spiralen immer kleiner werden. Ich meinte der Abstand zu diesen Attraktoren (ist das schon wieder falsch?) wird immer kleiner, und vermutlich irgendwann zu Null.

Eine Folge kann immer nur zu einem einzigen Punkt konvergieren. Damit c zur MBM gehört, muss die Folge mit c aber nicht konvergieren, sondern sie darf nur nicht bestimmt divergieren, d.h. c gehört genau dann zur MBM, wenn du eine beschränkte Menge, z.B. einen großen Kreis, um alle Folgenglieder legen kannst.

Die Folgen am Rande, die erst spät divergieren, sind eine andere Frage.

Es gibt kein "spät" divergieren. Entweder eine Folge divergiert oder sie tut es nicht.

Zu unterscheiden ob ein "C" zur MBM gehört, ist unter Umständen erst nach Unendlich-1 Itationen (Aufschrei!!) zu klären.

Zurecht Aufschrei. Tut mir leid, aber der Satz macht keinen Sinn.

[rudiM]

Ja, hab ich mir längst angesehen. Ich glaube eher, dass auch bei genauesten Hinsehen ein Spalt übrigbleibt. - worüber weiterhin zu diskutieren wäre.

Allen andern Punkten muß ich widersprechen:
Jede Knospe, jeder Satellit hat eine andere Periodizität. Das heißt er konvergiert wie der Hauptkörper nicht nur auf einen Punkt hin, sondern mit mehreren Punkten, die seiner Periodidizität entsprechen hin. Das können im Extremfall unendlich viele Punkte sein.

c gehört genau dann zur MBM, wenn du eine beschränkte Menge, z.B. einen großen Kreis, um alle Folgenglieder legen kannst.

Da haben wir wieder das mit der Menge, was bisher nicht klar wurde. Nichts, desto trotz divergieren diese C's im Kreis drumherum und gehören nicht zur Fragestellung Mandelbrots.

Es gibt kein "spät" divergieren. Entweder eine Folge divergiert oder sie tut es nicht.

Gänzlich falsch! Außerhalb der der Koordinaten 2i,2r divergieren alle C's sofort. Nähere erst nach ein paar Iterationen. Im "Spalt" kann man schon mal ein paar Millionen Iterationen laufen lassen bis die Grenze 2i,2r überschritten wird - also die Folge divergiert. Ist das Spät genug?

[otze]

Hi.

Konvergenz:

eine Folge x_n (n→∞) konvergiert genau dann gegen einen Punkt x, wenn für alle ε > 0 ein n_0 existiert, so dass für alle n > n_0
||x_n-x||<ε. Man schreit dann auch x_n → x

Korolloar: Sei x_n Folge und x_n → x. Dann xistiert kein Punkt y ≠ x so dass x_n → y

1. Semester Mathe.

[Michael E.]

rudiM schrieb:

Ja, hab ich mir längst angesehen. Ich glaube eher, dass auch bei genauesten Hinsehen ein Spalt übrigbleibt. - worüber weiterhin zu diskutieren wäre.

Darüber gibt es nichts zu diskutieren. Das musst du dir unbedingt klar machen, um Wegzusammenhang verstehen zu können.

Allen andern Punkten muß ich widersprechen:
Jede Knospe, jeder Satellit hat eine andere Periodizität. Das heißt er konvergiert wie der Hauptkörper nicht nur auf einen Punkt hin, sondern mit mehreren Punkten, die seiner Periodidizität entsprechen hin. Das können im Extremfall unendlich viele Punkte sein.

Es muss nicht mal eine Periodizität geben. Das Ganze nennt man aber nicht "Konvergieren". Beim Konvergieren läufst du immer auf einen einzigen Punkt zu. Ist aber letztlich nicht so schlimm, sondern nur eine Begrifflichkeitsfrage.

Nichts, desto trotz divergieren diese C's im Kreis drumherum und gehören nicht zur Fragestellung Mandelbrots.

Ich weiß nicht, was du mir sagen willst.

Es gibt kein "spät" divergieren. Entweder eine Folge divergiert oder sie tut es nicht.

Gänzlich falsch! Außerhalb der der Koordinaten 2i,2r divergieren alle C's sofort. Nähere erst nach ein paar Iterationen. Im "Spalt" kann man schon mal ein paar Millionen Iterationen laufen lassen bis die Grenze 2i,2r überschritten wird - also die Folge divergiert. Ist das Spät genug?

Du betrachtest die Iteration, in der eine Folge einen gewissen Schwellwert überschreitet. Zwar steht in der Wikipedia:

Sobald der Betrag |z_n| eines Folgengliedes den Wert R=2 überschreitet, divergiert die Folge.

Aber das ist ziemlich umgangssprachlich. Entweder divergiert eine Folge bestimmt oder sie tut es nicht.

Edit: Um das Ganze mal ein wenig zu vereinfachen, betrachte das Bild mal nach unendlich vielen Iterationen. Dann entsteht auch keine Verwirrung mehr durch nicht ganz sauber verwendete Begriffe.

[Bashar]

Michael E. schrieb:

Edit: Um das Ganze mal ein wenig zu vereinfachen, betrachte das Bild mal nach unendlich vielen Iterationen. Dann entsteht auch keine Verwirrung mehr durch nicht ganz sauber verwendete Begriffe.

Du meinst mit Ausnahme von "unendlich viel"?

[Michael E.]

Bashar schrieb:

Du meinst mit Ausnahme von "unendlich viel"?

Ein bisschen Verlust ist immer :p