4. Mengenlehre

Mengenlehre

  • R

    Ja, Wikipedia ist toll. Aber mir raucht der Kopf 😕

    Also glaube ich es ist so, dass bei einer f(x) alle x zu einer Menge gehören.
    Wenn ich aber die Mandelbrotformel (die mich interssiert) c = z²+ c iteriere, dann liegen doch die Ergbnisse von c verstreut in der komplexen Ebene rum und es ist keine Kurve(Weg) mehr erkennbar.

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  • ?

    volkard schrieb:

    Funktioniert sie dann wieder?

    Bei dir schon. Bei dir tut sie das aber vermutlich auch sonst. Aber wenn rudiM Begriffe in "his Slang" benutzt versteht im besten Fall er selbst was er meint. Aber er wollte ja exakt wissen, was es heißt, wenn zwei oder mehr Mengen verbunden sind. Diese rumjongliererei hilft dabei aber nicht.

    rudiM schrieb:

    Also glaube ich es ist so, dass bei einer f(x) alle x zu einer Menge gehören.

    Da bin ich überfragt...

    rudiM schrieb:

    dann liegen doch die Ergbnisse von c verstreut in der komplexen Ebene rum und es ist keine Kurve(Weg) mehr erkennbar.

    Die Mandelbrotmenge ist ja auch nicht die Werte dieser Iteration, sondern die Menge der Punkte in der Zahlenebene für die die Iteration beschränkt bleibt.

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  • M

    rudiM schrieb:

    Also glaube ich es ist so, dass bei einer f(x) alle x zu einer Menge gehören.

    Du solltest genauer ausdrücken, was du meinst. Jedes x gehört zur Menge {x}, also stimmt die Aussage, beinhaltet aber ziemlich null Informationen. Meinst du, dass der Definitionsbereich einer Funktion eine Menge ist? Ja natürlich (naja, eigentlich eine Klasse, aber die Antwort "ja" ist für dich hinreichend). Also was wolltest du aussagen?

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  • R

    Hallo,

    nun bin zur Erkenntnis gelangt, dass Mathe etwas ganz anders ist, als sich ein Softwareler das so vorstellt.
    Noch ein Versuch, zu beschreiben, was micht interessiert. Alle konvergierenden C's in der Mandelbrotmenge streben, früher oder später, dem Wert Null zu. Zwischen den kreisförmigen Blasen ist bei jeder Vergrößerung ein Spalt zu sehen, der sich anscheinend schließt. Bis zu einer Vergrößerung von 10E-40 habe ich das schon gemessen. Da es ab hier technisch schwierig wird zu simulieren,
    steht die Frage im Raum :
    "Bleibt der Spalt offen und erweitert sich dann irgendwann wieder?"
    ( das heißt die C's dazwischen bleiben divergent) oder:
    "Schließt sich der Spalt, und der Abstand der zwei Blasen wird zu Null"?

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  • ?

    rudiM schrieb:

    Hallo,

    nun bin zur Erkenntnis gelangt, dass Mathe etwas ganz anders ist, als sich ein Softwareler das so vorstellt.

    Ehm nein, das gilt leider nur für dich und du solltest nicht pauschalisieren. Informatiker haben an der Hochschule beispielsweise gelernt, wie man mit mathematischer Formulierung umgeht.

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  • R

    hallo, LOLALter,

    es lag mir fern die "Informatiker" zu schmähen, deshalb habe ich auch diese Bezeichnung nicht benutzt.

    Also, sei wieder gut! 🕶

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  • M

    rudiM schrieb:

    Alle konvergierenden C's in der Mandelbrotmenge streben, früher oder später, dem Wert Null zu.

    Also erst mal kann eine komplexe Zahl C nicht "konvergieren". Du meinst die Folge, die die Mandelbrotmenge definiert. Und diese muss für ein komplexes C nicht konvergieren, damit C zur Mandelbrotmenge gehört. Und wenn die Folge konvergiert, muss sie nicht gegen 0 konvergieren. Wie kommst du darauf?

    Zwischen den kreisförmigen Blasen ist bei jeder Vergrößerung ein Spalt zu sehen, der sich anscheinend schließt.

    Ich weiß nicht, was du meinst. Ist das von dir gemeinte Bild im Wikipediaartikel zu finden?

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  • R

    Ja, gröberen Anfänge dieser Spalten sind in "Wikipedia/Mandelbrot-Menge/Bildergalerie einer Zoomfahrt" Ausschnitt 1 bis 2 zu sehen.

    Ach ja, ich denke zu kurz und in meiner eigenen Logik. Wenn eine Folge konvergiert, dann natürlich nicht auf die Koordinaten 0i,0r sondern auf einen oder mehrere Punkte, wobei die Radien dieser annähernden Spiralen immer kleiner werden. Ich meinte der Abstand zu diesen Attraktoren (ist das schon wieder falsch?) wird immer kleiner, und vermutlich irgendwann zu Null.

    Und diese muss für ein komplexes C nicht konvergieren, damit C zur Mandelbrotmenge gehört.

    Aber das das weiß ich bestimmt: Die Frage, die Mandelbrot klären wollte war, welche Folgen konvergieren und welche nicht. Die Folgen am Rande, die erst spät divergieren, sind eine andere Frage. Diese bilden eher die "Apfelmännchen" Darstellung. Zu unterscheiden ob ein "C" zur MBM gehört, ist unter Umständen erst nach Unendlich-1 Itationen (Aufschrei!!) zu klären.

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  • M

    rudiM schrieb:

    Ja, gröberen Anfänge dieser Spalten sind in "Wikipedia/Mandelbrot-Menge/Bildergalerie einer Zoomfahrt" Ausschnitt 1 bis 2 zu sehen.

    Der Spalt schließt sich, weil die Mandelbrotmenge zusammenhängend ist. Das heißt aber nicht automatisch, dass du einen Weg von der linken zur rechten Seite der Spalte hast. Dafür bräuchte man Wegzusammenhang. Schau dir am besten mal das Beispiel unter http://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum#Wegzusammenh.C3.A4ngend an.

    Ach ja, ich denke zu kurz und in meiner eigenen Logik. Wenn eine Folge konvergiert, dann natürlich nicht auf die Koordinaten 0i,0r sondern auf einen oder mehrere Punkte, wobei die Radien dieser annähernden Spiralen immer kleiner werden. Ich meinte der Abstand zu diesen Attraktoren (ist das schon wieder falsch?) wird immer kleiner, und vermutlich irgendwann zu Null.

    Eine Folge kann immer nur zu einem einzigen Punkt konvergieren. Damit c zur MBM gehört, muss die Folge mit c aber nicht konvergieren, sondern sie darf nur nicht bestimmt divergieren, d.h. c gehört genau dann zur MBM, wenn du eine beschränkte Menge, z.B. einen großen Kreis, um alle Folgenglieder legen kannst.

    Die Folgen am Rande, die erst spät divergieren, sind eine andere Frage.

    Es gibt kein "spät" divergieren. Entweder eine Folge divergiert oder sie tut es nicht.

    Zu unterscheiden ob ein "C" zur MBM gehört, ist unter Umständen erst nach Unendlich-1 Itationen (Aufschrei!!) zu klären.

    Zurecht Aufschrei. Tut mir leid, aber der Satz macht keinen Sinn.

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  • R

    Ja, hab ich mir längst angesehen. Ich glaube eher, dass auch bei genauesten Hinsehen ein Spalt übrigbleibt. - worüber weiterhin zu diskutieren wäre.

    Allen andern Punkten muß ich widersprechen:
    Jede Knospe, jeder Satellit hat eine andere Periodizität. Das heißt er konvergiert wie der Hauptkörper nicht nur auf einen Punkt hin, sondern mit mehreren Punkten, die seiner Periodidizität entsprechen hin. Das können im Extremfall unendlich viele Punkte sein.

    c gehört genau dann zur MBM, wenn du eine beschränkte Menge, z.B. einen großen Kreis, um alle Folgenglieder legen kannst.

    Da haben wir wieder das mit der Menge, was bisher nicht klar wurde. Nichts, desto trotz divergieren diese C's im Kreis drumherum und gehören nicht zur Fragestellung Mandelbrots.

    Es gibt kein "spät" divergieren. Entweder eine Folge divergiert oder sie tut es nicht.

    Gänzlich falsch! Außerhalb der der Koordinaten 2i,2r divergieren alle C's sofort. Nähere erst nach ein paar Iterationen. Im "Spalt" kann man schon mal ein paar Millionen Iterationen laufen lassen bis die Grenze 2i,2r überschritten wird - also die Folge divergiert. Ist das Spät genug?

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  • O

    Hi.

    Konvergenz:

    eine Folge x_n (n→∞) konvergiert genau dann gegen einen Punkt x, wenn für alle ε > 0 ein n_0 existiert, so dass für alle n > n_0
    ||x_n-x||<ε. Man schreit dann auch x_n → x

    Korolloar: Sei x_n Folge und x_n → x. Dann xistiert kein Punkt y ≠ x so dass x_n → y

    1. Semester Mathe.

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  • M

    rudiM schrieb:

    Ja, hab ich mir längst angesehen. Ich glaube eher, dass auch bei genauesten Hinsehen ein Spalt übrigbleibt. - worüber weiterhin zu diskutieren wäre.

    Darüber gibt es nichts zu diskutieren. Das musst du dir unbedingt klar machen, um Wegzusammenhang verstehen zu können.

    Allen andern Punkten muß ich widersprechen:
    Jede Knospe, jeder Satellit hat eine andere Periodizität. Das heißt er konvergiert wie der Hauptkörper nicht nur auf einen Punkt hin, sondern mit mehreren Punkten, die seiner Periodidizität entsprechen hin. Das können im Extremfall unendlich viele Punkte sein.

    Es muss nicht mal eine Periodizität geben. Das Ganze nennt man aber nicht "Konvergieren". Beim Konvergieren läufst du immer auf einen einzigen Punkt zu. Ist aber letztlich nicht so schlimm, sondern nur eine Begrifflichkeitsfrage.

    Nichts, desto trotz divergieren diese C's im Kreis drumherum und gehören nicht zur Fragestellung Mandelbrots.

    Ich weiß nicht, was du mir sagen willst.

    Es gibt kein "spät" divergieren. Entweder eine Folge divergiert oder sie tut es nicht.

    Gänzlich falsch! Außerhalb der der Koordinaten 2i,2r divergieren alle C's sofort. Nähere erst nach ein paar Iterationen. Im "Spalt" kann man schon mal ein paar Millionen Iterationen laufen lassen bis die Grenze 2i,2r überschritten wird - also die Folge divergiert. Ist das Spät genug?

    Du betrachtest die Iteration, in der eine Folge einen gewissen Schwellwert überschreitet. Zwar steht in der Wikipedia:

    Sobald der Betrag |z_n| eines Folgengliedes den Wert R=2 überschreitet, divergiert die Folge.

    Aber das ist ziemlich umgangssprachlich. Entweder divergiert eine Folge bestimmt oder sie tut es nicht.

    Edit: Um das Ganze mal ein wenig zu vereinfachen, betrachte das Bild mal nach unendlich vielen Iterationen. Dann entsteht auch keine Verwirrung mehr durch nicht ganz sauber verwendete Begriffe.

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  • B

    Michael E. schrieb:

    Edit: Um das Ganze mal ein wenig zu vereinfachen, betrachte das Bild mal nach unendlich vielen Iterationen. Dann entsteht auch keine Verwirrung mehr durch nicht ganz sauber verwendete Begriffe.

    Du meinst mit Ausnahme von "unendlich viel"? 😃

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  • M

    Bashar schrieb:

    Du meinst mit Ausnahme von "unendlich viel"? 😃

    Ein bisschen Verlust ist immer :p

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  • R

    Hallo Otze:
    erzähl das doch das Onkel Mandelbrot....

    Hallo Bashar:
    Michael E. hat schon recht. Man müßte die Mandelbrotmenge mal unendlich lange iterieren lassen, um ihre wahre Gestalt sehen zu können. Wenn man bei der Coputersimulation nach 1000 Iterationen abbricht, dann werden C's als konvergend interpretiert, die aber vielleicht erst nach 10E*10 Iterationen divergieren.

    Das schafft aber kein Computer heutzutage. Und Benoit hat sich das Ganze nur mit ein paar hundert Iterationen angesehen.

    Und ich bleib dabei, besagter Spalt bleibt offen!

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  • M

    rudiM schrieb:

    Hallo Otze:
    erzähl das doch das Onkel Mandelbrot....

    Lass den armen Benoît Mandelbrot aus dem Spiel. Der hat nix mit der Definition von Konvergenz zu tun, die otze hingeschrieben hat.

    Das schafft aber kein Computer heutzutage.

    Sag Bescheid, wenn Computer unendlich viele Iterationen schaffen 🤡

    Und Benoit hat sich das Ganze nur mit ein paar hundert Iterationen angesehen.

    Wenn du Eigenschaften der MBM betrachten willst, dann löse dich von der grafischen Darstellung. Die ist nur eine Näherung.

    Und ich bleib dabei, besagter Spalt bleibt offen!

    Kannst du ein Blatt Papier dazwischen stecken?

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  • ?

    Vielleicht ja ein unendlich dünnes...

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  • R

    Sag Bescheid, wenn Computer unendlich viele Iterationen schaffen

    Erwischt.... aber solange habe ich keine Zeit übrig.... sorry 🕶

    Kannst du ein Blatt Papier dazwischen stecken?

    Nö, ich glaub, da passt noch nicht mal ein String rein. (Welcher von den vielen auch immer!)
    🤡 beiseite: Bis zu einem Abstand von ca. 10E-40 habe ich es schon simuliert. Und wenn sich über dieses riesiges Verhältnis nichts ändert, warum sollte es sich dann bei >> 10E-10000 tun ? (Und von da ist die Null ja immernoch ein Stück kleiner.)

    PS.: Jetzt weiß ich was auf jeden Fall dazwischen passt: ein paar C's die divergieren. Darüber könnt Ihr nun nicht mehr lästern!

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  • M

    Wenn es dir recht ist, bleibe ich beim sin-Beispiel, weil das einfacher ist. Da bist du ja auch der Meinung, dass der Spalt offen bleibt. Dann nenne bitte einen beliebigen Punkt, der im Spalt liegt. Gibts nicht? Dann gibts auch keinen Spalt.

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  • R

    wenns weiter nix is:

    TestPunkt(real): -0,75000255446913573755606555477763210115771386199412518180906772613525390624975369
    TestPunkt(imag): 0,00279043709260145516771149357684440467837945950198748808664580186208089192545512

    Aber Interessant wird es erst bei -0,75r/0,0i
    Wenns einen Weg gibt, dann nur da.
    Und wie ist das dann mit den Mengen?

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