Beweis der Ungleichung 0 <= a <= ε ∀ε ∈ R ⇒ a = 0

[lange leitung]

Aufgabe:
Wenn für alle reellen, positiven ε gilt: 0 <= a <= ε
dann ist a = 0.
Beweisen Sie diese Aussage.

Okay, ich kenne zwar den Beweis, aber ich verstehe ihn nicht
Ich werde erstmal den Beweis zitieren und dann meine Einwände posten.

Beweis:
Es ist a >= 0, nach Voraussetzung.
Annahme: a > 0. Dann gilt mit der Ungleichung des arithmetischen Mittels 0 < a/2 < a.
Für ε = a/2 ist also ε > 0 und a > ε. Dieser Widerspruch zeigt, dass a = 0 sein muss.

Meiner Meinung nach muss a nicht 0 sein, weil es für jedes reelle, positive ε,
also für jedes ε > 0 ein ε/2 gibt, mit 0 < ε/2 < ε.
Setze ich also a := ε/2, bekomme ich 0 < a < ε, also auch 0 <= a <= ε
Muss ich von einem konstanten a ausgehen? Davon steht aber nix in der Aufgabe.
Wo ist mein Denkfehler?

[Bashar]

lange leitung schrieb:

Setze ich also a := ε/2

Das geht nicht, das a war "zuerst da". Schreib die Behauptung mal komplett formal in Prädikatenlogik, dann siehst du es.

[lange leitung]

Ich muss also ein festes a wählen und dann das Epsilon immer kleiner werden lassen, dann landet das Epsilon irgendwann zwischen 0 und a, wenn a > 0 ist.
Nur wenn a = 0 ist, kann es sich nicht dazwischen zwängen und es gilt 0 <= a = 0 <= Epsilon.
Doofe Aufgabe

[Bashar]

Hast du das mit der Prädikatenlogik gemacht?

[lange leitung]

$\forall \varepsilon > 0, \varepsilon \in \mathbb{R}: 0\leq a \leq \varepsilon \Rightarrow a = 0$
hmm ... und nu?

[Bashar]

Was ist mit a? Wie ist das quantifiziert? Und soll dein epsilon über die ganze Formel allquantifiziert sein?

[lange leitung]

Ich habe die Voraussetzung der Aufgabe in die Prädikantenlogik übertragen.
In der Aufgabe ist das a ja auch nicht quantifiziert.

[lange leitung]

Ja, das Epsilon gilt für die ganze Formel.

[lange leitung]

Worauf willst Du hinaus, muss man das Klammern?
$(\forall \varepsilon > 0, \varepsilon \in \mathbb{R}: 0\leq a \leq \varepsilon) \Rightarrow a = 0$

[Bashar]

OK, Übung im Aufgaben verstehen

Das a ist implizit all-quantifiziert. Man kann sich nicht einfach irgendein a aussuchen, da könnte man ja einfach immer a=0 nehmen. Es steckt implizit in der Aussage drin, dass es für alle a gelten soll.

Und ja, das epsilon ist nur über den ersten Teil quantifiziert.

=>

$\forall a \in \mathbb{R} : \left ( \forall \varepsilon > 0 : 0 \leq a \leq \varepsilon \right ) \Rightarrow a = 0$

[lange leitung]

Naja, Du meintest, das a "sei vorher da".
In der Aufgabe wird aber das Epsilon zuerst erwähnt.
Da ist schon iwie ein bisschen Schummel mit drin!

[Michael E.]

lange leitung schrieb:

Naja, Du meintest, das a "sei vorher da".
In der Aufgabe wird aber das Epsilon zuerst erwähnt.

Hast du heute schon an deine Mutter gedacht?

Ich hab dich zuerst erwähnt, aber wer war zuerst da?

[lange Leitung]

Michael E. schrieb:

lange leitung schrieb:

Naja, Du meintest, das a "sei vorher da".
In der Aufgabe wird aber das Epsilon zuerst erwähnt.

Hast du heute schon an deine Mutter gedacht?

Ich hab dich zuerst erwähnt, aber wer war zuerst da?

Hahhaha, das ist ja Logik pur!
Jetzt verstehe ich die Aufgabe

[lange leitung]

Okay, ich bezweifle ja nicht, dass die Aussage für alle a gilt.
Macht ja sogar Sinn.
Auf jeden Fall danke für die Antworten!

[Prof. Dr. Dipl. Ing.Horst]

Also ich würde das einfach nicht rechnen. Problem gelöst!