Mathe: Problem mit einem Beweis
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also für a und b im bereich von 1-10000 kann ich leider kein gegenbeispiel finden.
hier die ergebnisse (a;b : q)
1;1 : 1
2;8 : 4
3;27 : 9
4;64 : 16
5;125 : 25
6;216 : 36
7;343 : 49
8;30 : 4
8;512 : 64
9;729 : 81
10;1000 : 100
11;1331 : 121
12;1728 : 144
13;2197 : 169
14;2744 : 196
15;3375 : 225
16;4096 : 256
17;4913 : 289
18;5832 : 324
19;6859 : 361
20;8000 : 400
21;9261 : 441
27;240 : 9
30;112 : 4
64;1020 : 16
112;418 : 4
125;3120 : 25
216;7770 : 36
240;2133 : 9
418;1560 : 4
1560;5822 : 4die erste analyse dieser zahlen ergibt, dass man b durch a³ substituieren kann. dann ist q generell a². leider passen nicht alle zahlenpaare hier in dieses schema.
die suche geht weiter!
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Naja, vermutlich wirst Du lange nach nem Gegenbeispiel suchen können. Schließlich ist die Aufgabenstellung ja, es zu beweisen. Dann wird, wenn die Aufgabe korrekt gestellt ist die Aussage wohl auch richtig sein und somit gibt es kein Gegenbeispiel.
MfG Jester
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nachtrag: stutzig macht mich folgendes :
die erste kombo von a und b die aus der reihe fällt ist ja a=8 und b=30 mit q=4. was hierbei evtl. auffällt ist das a=2³ ist und das q dem q entspricht aus dem fall a=2. um dem noch eins draufzusetzen, tritt auch eine unregelmässigkeit für a=30 (b=112) auf. auch hier ist q=4. und oh wunder, bei a=112 ist auch wieder eine unregelmässigkeit mit q=4. usw.
das gleiche spielchen tritt auch bei a=3 auf {(a=3;b=27;q=9),(a=27;b=240;q=9),(a=240;b=2133;q=9),...}.
man könnte damit wohl eine implizite formel erstellen :
a1=n,b1=n³,q1=n²
a2=b1,q2=q1 -> b2 (lässt sich halt aus einer gleichung mit einer unbekannten wohl noch ermitteln)
a3=b2,q3=q2 -> b3
...
a(n+1)=b(n),q(n)=q(1) -> b(n+1)soweit ich das nun sehen kann sind damit alle kombinationen abgedeckt. da "sehen" jedoch nicht als beweismittel zugelassen ist, darf sich nun jemand daran machen zu zeigen, dass beide formeln um a,b und q zu ermitteln wirklich alle lösungen für die ausgangsgleichung enthalten.
da ich jetzt aber noch etwas arbeiten muss überlasse ich das dem geneigten forenleser
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Jester schrieb:
Oder etwas spezieller für diese Aufgabe:
Für alle a,b,q€N: a2+b2=q*(ab+1) => q ist Quadrat
Negation:
Es ex. a,b,q€N: a2+b2=q*(ab+1), q kein Quadrat
und jetzt?
Das einzige was Du hier mit einem Beispiel anfangen könntest wäre zeigen, daß es solche a,b,q gibt und daher die ursprüngliche Aussage nicht gilt.
Daher heißt sowas auch Gegenbeispiel(!). Beweis durch Beispiel hingegen machen nur faule ProfsMfG Jester
hallo,
habe tatsächlich ein denkfehler gehabt. habe diese quantoren nicht berücksichtigt.
Gruß mathik
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Frag doch mal auf http://www.zahlentheorie/forum nach.
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Mit den Werten von hardy könntest du diesen Ansatz versuchen:
a) a=b => ... Ergibt sich daraus, dass q eine Quadratzahl ist? Gibt es überhaupt eine andere Lösung als (1;1 : 1)?
b) a!=b; sei jetzt o.B.d.A. a<b. Wenn man die Lösungen betrachtet fällt folgendes Muster auf: Für ein festes q \in N sei a_0, b_0 eine Lösung. Dann ist auch a_1 = q*a_0 - b_0, b_1 = a_0 eine Lösung:a_1^2 + b_1^2 = q*(a_1*b_1 + 1) q^2*a_0^2 - 2*q*a_0*b_0 + b_0^2 + a_0^2 = q*(q*a_0^2 - a_0*b_0 + 1) = q*(a_0*b_0 + 1) + q*(q*a_0^2 - 2*a_0*b_0) [Die Voraussetzung anwenden:] a^2*a_0^2 - 2*q*a_0*b_0 = q^2*a_0^2 - 2*a_0*b_0,was offenbar wahr ist. Kann man zeigen, dass a_i streng monoton fallend ist? Ergibt sich daraus, dass q eine Quadratzahl ist?
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Danke für die Antworten. Ich habe etwas rumprobiert. Man kann aus der Reihe von Hardy ableiten, dass zumindest immer
c^2 + c^6 = c^2 (c^4 + 1)
gilt. Damit hat man zumindest immer eine Lösung für eine Quadratzahl. [(a, b, q) = (x, x^3, x^2)]
Schaut man sich jetzt die Tripel an, die dasselbe q liefern, z. B. q = 4:
2 8 30 112 a b 8 30 112 418 b a1 8 4 4 4 q qDie zweite Komponente jedes Tripels ist die erste Komponente des nächsten Tripels. Dies deutet m. E. auf die Transformation
(a, b, q) -> (b, a1, q)hin. Die Gleichung a^2 + b^2 = q(ab + 1), oder
a^2 - qab + b^2 - q = 0 ist eine quadratische Gleichung in a und hat zwei Lösungen a, a1. Für sie gilta + a1 0 qb (1) a * a1 = b^2 - q (2)(1) zeigt, dass mit a auch a1 ganz ist, und es ist a1 = qb - a.
Hier muss ich jetzt noch mal weitermachen.
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Sind a, b, q natürliche Zahlen, so dass a^2 + b^2 = q(ab + 1) ist, dann ist q eine Quadratzahl
Bist du sicher, dass da nicht noch eine Bedingung fehlt?
Denn:
3²+5²=q(3*5+1)
<=>9+25=q(15+1)
<=>34=16q
<=>q=2,125q ist in diesem Fall keine natürliche Zahle und somit stimmt die Behauptung, so wie sie da steht, nicht.
Und wenn man ganz genau sein will dann ist diese Schlussfolgerung Quatsch denn jede natürlich Zahl ist eine Quadratzahl. Du müsstest noch als Bedingung hinzu schreiben, dass die Quadratwurzel von q eine natürliche Zahl sein muss (ich geh mal davon aus, dass du dies gemeint hast).
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@drVoodoo: Als Quadratzahl bezeichnet man alle Zahlen der Form n^2 mit einer natürlichen Zahl n.
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@drVoodoo Die Vorderung ist doch, dass a,b,q alle natürliche Zahlen sind. 2,125 ist keine, ja und?
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Meines dafürhaltens müßte folgender Beweis genügen:
Sei Q(v) eine Relation des Inhalts: Es exist. ein c € N: (v=c^2) (entspricht "v ist quadratisch") Behauptung (Y): Für alle a,b,q € N: (((a^2+b^2)=q(ab+1))->(Q(q))) <=> Für alle a,b,q € N: (((a^2+b^2)=q(ab+1))->(Es exist. c € N: q=c^2)) <=> Für alle a,b,q € N: (NICHT((a^2+b^2)=q(ab+1)) ODER (Es exist. c € N: q=c^2)) <=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1)) ODER (Es exist. kein c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1)) Sei X(a,b,c) im folgenden definiert als ((a^2+b^2)=c^2(ab+1)): Es gilt also Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: X(a,b,c)) ODER (Es exist. kein c € N: X(a,b,c)) Nach Definition des Existenzquantors gilt also Für alle a,b,c € N: X(a,b,c) oder NICHT(X(a,b,c)) <=> Wahr <=> Tautologie Somit gilt Y als bewiesen.Oder irre ich da?
Gruß Jens
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JensC schrieb:
<=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1)) ODER (Es exist. kein c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1))Nein. Es muss wie folgt sein:
<=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1)) ODER (Es exist. kein q € N: (a^2+b^2)=q(ab+1))
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WebFritzi schrieb:
JensC schrieb:
Nein. Es muss wie folgt sein:
<=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1)) ODER (Es exist. kein q € N: (a^2+b^2)=q(ab+1))Denke ich eigentlich nicht. die Aussage soll ja explizit heißen, daß NICHT(Q(q)) wahr ist. Und die Negation von Q(q) ist nunmal, daß es kein c € N gibt, für das gilt, daß q=c^2.
Gruß Jens
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Ähm und wo ist der Beweis?
Du hast gezeigt, daß die Aussage entweder gilt oder nicht gilt. Nirgendwo findet auch nur die leisteste Benutzung einer Voraussetzung statt.
Aber Du hast nicht gezeigt, daß immer wenn es Zahlen a,b,q€N gibt, so daß die Gleichung erfüllt ist, daß dann q auch wirklich Quadratzahl ist.Falls der Beweis doch korrekt sein sollte werde ich heute abend den Beweis der Riemannschen Vermutung vorstellen.
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Jester schrieb:
Ähm und wo ist der Beweis?
Du hast gezeigt, daß die Aussage entweder gilt oder nicht gilt. Nirgendwo findet auch nur die leisteste Benutzung einer Voraussetzung statt.
Eine Voraussetzung benötige ich doch aber eigentlich nur bei einem Beweis durch strukturelle Induktion. Für einen einfachen Prädikatenlogischen Vergleich ist das eigentlich nicht notwendig. Ich muss eigentlich nur beweisen, daß eine Aussage über mehrere Aussagen wahr ist, und das geht auch ganz gut ohne Vorraussetzung, indem man Äquivalente Meta-Aussagen beweist.
Jester schrieb:
Aber Du hast nicht gezeigt, daß immer wenn es Zahlen a,b,q€N gibt, so daß die Gleichung erfüllt ist, daß dann q auch wirklich Quadratzahl ist.
[...]Gehen wir das ganze nochmal durch:
Wir haben zwei Aussagen (nennen wir sie mal A und B), wobei gilt "A impliziert B". Diese Aussage ist (AFAIK) äquivalent zu der Aussage "NICHT(A) ODER B", weil der einzige Fall, in dem die Implikation "falsch" wird der ist, daß A wahr ist und daraus etwas falsches, also "B=Falsch", folgert. Negiert man dieses, so erhält man die erwähnte Äquivalenz.Wenn ich nun also zeigen kann, daß "NICHT(A) ODER B" eine Tautologie ist, also immer wahr ist, so ist auch die ursprüngliche Aussage tautologisch und somit bewiesen. Bis zu diesem Punkt - nehme ich an - sind wir uns einig, denn ich beweise ja damit, daß jede Zahl aus N, die Eingangsformel nicht erfüllt, oder eben quadratisch ist (unabhängig davon, ob sie die Eingangsformel erfüllt). Ist diese Aussage tautologisch, so müssen logischerweise auch alle Zahlen q quadratisch sein, die die Eingangsformel erfüllen.
Gruß Jens
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Behauptung (Y):
Nehmen wir mal an, die Behauptung sei falsch. Wo wuerde Dein Beweis kaputt gehen?
Aus etwas Falschem kannst Du immer etwas Richtiges folgern, wegenWir haben zwei Aussagen (nennen wir sie mal A und B), wobei gilt "A impliziert B". Diese Aussage ist (AFAIK) äquivalent zu der Aussage "NICHT(A) ODER B"
Sei nun A falsch. Was spricht dagegen, dass B nicht wahr sein soll. In Deinem Fall ist
Behauptung (Y)=Aund
Für alle a,b,c € N: X(a,b,c) oder NICHT(X(a,b,c)) = B.
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Ich habe mir erlaubt, das Ganze mal mit dem Exponenten n zu beweisen!
Sei Q(v) eine Relation des Inhalts: Es exist. ein c € N: (v=c^n) (entspricht "v ist quadratisch") Behauptung (Y): Für alle a,b,q € N: (((a^n+b^n)=q(ab+1))->(Q(q))) <=> Für alle a,b,q € N: (((a^n+b^n)=q(ab+1))->(Es exist. c € N: q=c^n)) <=> Für alle a,b,q € N: (NICHT((a^n+b^n)=q(ab+1)) ODER (Es exist. c € N: q=c^n)) <=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^n+b^n)=c^n(ab+1)) ODER (Es exist. kein c € N: (a^n+b^n)=c^n(ab+1)) Sei X(a,b,c) im folgenden definiert als ((a^n+b^n)=c^n(ab+1)): Es gilt also Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: X(a,b,c)) ODER (Es exist. kein c € N: X(a,b,c)) Nach Definition des Existenzquantors gilt also Für alle a,b,c € N: X(a,b,c) oder NICHT(X(a,b,c)) <=> Wahr <=> Tautologie Somit gilt Y als bewiesen.Das ist nicht boese gemeint! Nur macht es klar, dass Du mit diesem Beweis alles beweisen kannst.
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Für alle a,b,q € N: (NICHT((a2+b2)=q(ab+1))
ODER
(Es exist. c € N: q=c^2))
<=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a2+b2)=c^2(ab+1))
ODER
(Es exist. kein c € N: (a2+b2)=c^2(ab+1))genau hier liegt übrigens der Fehler, diese Aussagen sind schlicht nicht äquivalent. Ich kann zum Beispiel a=3, b=5 und q=4 nehmen.
Dann ist a2+b2=9+25 = 34 != 4*(3*5+1) = 48, denn ex. c mit c^2=4, nämlich 2.
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JensC schrieb:
Denke ich eigentlich nicht.
Dann denkst du falsch! Üb nochmal ein bißchen Logik, dann sehen wir weiter... Meine Äquivalenz ist richtig!
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WebFritzi schrieb:
JensC schrieb:
Denke ich eigentlich nicht.
Dann denkst du falsch! Üb nochmal ein bißchen Logik, dann sehen wir weiter... Meine Äquivalenz ist richtig!
Autsch! Warum denn gleich so unfreundlich?
Ich sehe ja ein, daß ich im Bezug auf die Äquivalnezen daneben liege, meine aber eigentlich auch, daß in meinem ersten Posting durchaus erkenntlich war, daß es hauptsächlich als Diskussionsvorschlag gedacht war. Mir ist durchaus bewusst, daß ich mich mit formaler Logik nicht mehr wirklich auskenne - das ist alles schon wieder zu viele Jahre her.
Ich behaupte aber weiterhin, daß die grobe Richtung für einen Beweis der genannten Implikation funktionieren kann. Ich hab jetzt nicht grade nicht die Zeit (und das alte TheGI-Buch
) um mich da wieder rein zu friemeln, deshalb kann ich diese Behauptung leider nicht beweisen.Gruß Jens