Mathe: Problem mit einem Beweis
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Frag doch mal auf http://www.zahlentheorie/forum nach.
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Mit den Werten von hardy könntest du diesen Ansatz versuchen:
a) a=b => ... Ergibt sich daraus, dass q eine Quadratzahl ist? Gibt es überhaupt eine andere Lösung als (1;1 : 1)?
b) a!=b; sei jetzt o.B.d.A. a<b. Wenn man die Lösungen betrachtet fällt folgendes Muster auf: Für ein festes q \in N sei a_0, b_0 eine Lösung. Dann ist auch a_1 = q*a_0 - b_0, b_1 = a_0 eine Lösung:a_1^2 + b_1^2 = q*(a_1*b_1 + 1) q^2*a_0^2 - 2*q*a_0*b_0 + b_0^2 + a_0^2 = q*(q*a_0^2 - a_0*b_0 + 1) = q*(a_0*b_0 + 1) + q*(q*a_0^2 - 2*a_0*b_0) [Die Voraussetzung anwenden:] a^2*a_0^2 - 2*q*a_0*b_0 = q^2*a_0^2 - 2*a_0*b_0,was offenbar wahr ist. Kann man zeigen, dass a_i streng monoton fallend ist? Ergibt sich daraus, dass q eine Quadratzahl ist?
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Danke für die Antworten. Ich habe etwas rumprobiert. Man kann aus der Reihe von Hardy ableiten, dass zumindest immer
c^2 + c^6 = c^2 (c^4 + 1)
gilt. Damit hat man zumindest immer eine Lösung für eine Quadratzahl. [(a, b, q) = (x, x^3, x^2)]
Schaut man sich jetzt die Tripel an, die dasselbe q liefern, z. B. q = 4:
2 8 30 112 a b 8 30 112 418 b a1 8 4 4 4 q qDie zweite Komponente jedes Tripels ist die erste Komponente des nächsten Tripels. Dies deutet m. E. auf die Transformation
(a, b, q) -> (b, a1, q)hin. Die Gleichung a^2 + b^2 = q(ab + 1), oder
a^2 - qab + b^2 - q = 0 ist eine quadratische Gleichung in a und hat zwei Lösungen a, a1. Für sie gilta + a1 0 qb (1) a * a1 = b^2 - q (2)(1) zeigt, dass mit a auch a1 ganz ist, und es ist a1 = qb - a.
Hier muss ich jetzt noch mal weitermachen.
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Sind a, b, q natürliche Zahlen, so dass a^2 + b^2 = q(ab + 1) ist, dann ist q eine Quadratzahl
Bist du sicher, dass da nicht noch eine Bedingung fehlt?
Denn:
3²+5²=q(3*5+1)
<=>9+25=q(15+1)
<=>34=16q
<=>q=2,125q ist in diesem Fall keine natürliche Zahle und somit stimmt die Behauptung, so wie sie da steht, nicht.
Und wenn man ganz genau sein will dann ist diese Schlussfolgerung Quatsch denn jede natürlich Zahl ist eine Quadratzahl. Du müsstest noch als Bedingung hinzu schreiben, dass die Quadratwurzel von q eine natürliche Zahl sein muss (ich geh mal davon aus, dass du dies gemeint hast).
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@drVoodoo: Als Quadratzahl bezeichnet man alle Zahlen der Form n^2 mit einer natürlichen Zahl n.
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@drVoodoo Die Vorderung ist doch, dass a,b,q alle natürliche Zahlen sind. 2,125 ist keine, ja und?
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Meines dafürhaltens müßte folgender Beweis genügen:
Sei Q(v) eine Relation des Inhalts: Es exist. ein c € N: (v=c^2) (entspricht "v ist quadratisch") Behauptung (Y): Für alle a,b,q € N: (((a^2+b^2)=q(ab+1))->(Q(q))) <=> Für alle a,b,q € N: (((a^2+b^2)=q(ab+1))->(Es exist. c € N: q=c^2)) <=> Für alle a,b,q € N: (NICHT((a^2+b^2)=q(ab+1)) ODER (Es exist. c € N: q=c^2)) <=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1)) ODER (Es exist. kein c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1)) Sei X(a,b,c) im folgenden definiert als ((a^2+b^2)=c^2(ab+1)): Es gilt also Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: X(a,b,c)) ODER (Es exist. kein c € N: X(a,b,c)) Nach Definition des Existenzquantors gilt also Für alle a,b,c € N: X(a,b,c) oder NICHT(X(a,b,c)) <=> Wahr <=> Tautologie Somit gilt Y als bewiesen.Oder irre ich da?
Gruß Jens
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JensC schrieb:
<=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1)) ODER (Es exist. kein c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1))Nein. Es muss wie folgt sein:
<=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1)) ODER (Es exist. kein q € N: (a^2+b^2)=q(ab+1))
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WebFritzi schrieb:
JensC schrieb:
Nein. Es muss wie folgt sein:
<=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^2+b^2)=c^2(ab+1)) ODER (Es exist. kein q € N: (a^2+b^2)=q(ab+1))Denke ich eigentlich nicht. die Aussage soll ja explizit heißen, daß NICHT(Q(q)) wahr ist. Und die Negation von Q(q) ist nunmal, daß es kein c € N gibt, für das gilt, daß q=c^2.
Gruß Jens
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Ähm und wo ist der Beweis?
Du hast gezeigt, daß die Aussage entweder gilt oder nicht gilt. Nirgendwo findet auch nur die leisteste Benutzung einer Voraussetzung statt.
Aber Du hast nicht gezeigt, daß immer wenn es Zahlen a,b,q€N gibt, so daß die Gleichung erfüllt ist, daß dann q auch wirklich Quadratzahl ist.Falls der Beweis doch korrekt sein sollte werde ich heute abend den Beweis der Riemannschen Vermutung vorstellen.
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Jester schrieb:
Ähm und wo ist der Beweis?
Du hast gezeigt, daß die Aussage entweder gilt oder nicht gilt. Nirgendwo findet auch nur die leisteste Benutzung einer Voraussetzung statt.
Eine Voraussetzung benötige ich doch aber eigentlich nur bei einem Beweis durch strukturelle Induktion. Für einen einfachen Prädikatenlogischen Vergleich ist das eigentlich nicht notwendig. Ich muss eigentlich nur beweisen, daß eine Aussage über mehrere Aussagen wahr ist, und das geht auch ganz gut ohne Vorraussetzung, indem man Äquivalente Meta-Aussagen beweist.
Jester schrieb:
Aber Du hast nicht gezeigt, daß immer wenn es Zahlen a,b,q€N gibt, so daß die Gleichung erfüllt ist, daß dann q auch wirklich Quadratzahl ist.
[...]Gehen wir das ganze nochmal durch:
Wir haben zwei Aussagen (nennen wir sie mal A und B), wobei gilt "A impliziert B". Diese Aussage ist (AFAIK) äquivalent zu der Aussage "NICHT(A) ODER B", weil der einzige Fall, in dem die Implikation "falsch" wird der ist, daß A wahr ist und daraus etwas falsches, also "B=Falsch", folgert. Negiert man dieses, so erhält man die erwähnte Äquivalenz.Wenn ich nun also zeigen kann, daß "NICHT(A) ODER B" eine Tautologie ist, also immer wahr ist, so ist auch die ursprüngliche Aussage tautologisch und somit bewiesen. Bis zu diesem Punkt - nehme ich an - sind wir uns einig, denn ich beweise ja damit, daß jede Zahl aus N, die Eingangsformel nicht erfüllt, oder eben quadratisch ist (unabhängig davon, ob sie die Eingangsformel erfüllt). Ist diese Aussage tautologisch, so müssen logischerweise auch alle Zahlen q quadratisch sein, die die Eingangsformel erfüllen.
Gruß Jens
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Behauptung (Y):
Nehmen wir mal an, die Behauptung sei falsch. Wo wuerde Dein Beweis kaputt gehen?
Aus etwas Falschem kannst Du immer etwas Richtiges folgern, wegenWir haben zwei Aussagen (nennen wir sie mal A und B), wobei gilt "A impliziert B". Diese Aussage ist (AFAIK) äquivalent zu der Aussage "NICHT(A) ODER B"
Sei nun A falsch. Was spricht dagegen, dass B nicht wahr sein soll. In Deinem Fall ist
Behauptung (Y)=Aund
Für alle a,b,c € N: X(a,b,c) oder NICHT(X(a,b,c)) = B.
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Ich habe mir erlaubt, das Ganze mal mit dem Exponenten n zu beweisen!
Sei Q(v) eine Relation des Inhalts: Es exist. ein c € N: (v=c^n) (entspricht "v ist quadratisch") Behauptung (Y): Für alle a,b,q € N: (((a^n+b^n)=q(ab+1))->(Q(q))) <=> Für alle a,b,q € N: (((a^n+b^n)=q(ab+1))->(Es exist. c € N: q=c^n)) <=> Für alle a,b,q € N: (NICHT((a^n+b^n)=q(ab+1)) ODER (Es exist. c € N: q=c^n)) <=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^n+b^n)=c^n(ab+1)) ODER (Es exist. kein c € N: (a^n+b^n)=c^n(ab+1)) Sei X(a,b,c) im folgenden definiert als ((a^n+b^n)=c^n(ab+1)): Es gilt also Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: X(a,b,c)) ODER (Es exist. kein c € N: X(a,b,c)) Nach Definition des Existenzquantors gilt also Für alle a,b,c € N: X(a,b,c) oder NICHT(X(a,b,c)) <=> Wahr <=> Tautologie Somit gilt Y als bewiesen.Das ist nicht boese gemeint! Nur macht es klar, dass Du mit diesem Beweis alles beweisen kannst.
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Für alle a,b,q € N: (NICHT((a2+b2)=q(ab+1))
ODER
(Es exist. c € N: q=c^2))
<=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a2+b2)=c^2(ab+1))
ODER
(Es exist. kein c € N: (a2+b2)=c^2(ab+1))genau hier liegt übrigens der Fehler, diese Aussagen sind schlicht nicht äquivalent. Ich kann zum Beispiel a=3, b=5 und q=4 nehmen.
Dann ist a2+b2=9+25 = 34 != 4*(3*5+1) = 48, denn ex. c mit c^2=4, nämlich 2.
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JensC schrieb:
Denke ich eigentlich nicht.
Dann denkst du falsch! Üb nochmal ein bißchen Logik, dann sehen wir weiter... Meine Äquivalenz ist richtig!
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WebFritzi schrieb:
JensC schrieb:
Denke ich eigentlich nicht.
Dann denkst du falsch! Üb nochmal ein bißchen Logik, dann sehen wir weiter... Meine Äquivalenz ist richtig!
Autsch! Warum denn gleich so unfreundlich?
Ich sehe ja ein, daß ich im Bezug auf die Äquivalnezen daneben liege, meine aber eigentlich auch, daß in meinem ersten Posting durchaus erkenntlich war, daß es hauptsächlich als Diskussionsvorschlag gedacht war. Mir ist durchaus bewusst, daß ich mich mit formaler Logik nicht mehr wirklich auskenne - das ist alles schon wieder zu viele Jahre her.
Ich behaupte aber weiterhin, daß die grobe Richtung für einen Beweis der genannten Implikation funktionieren kann. Ich hab jetzt nicht grade nicht die Zeit (und das alte TheGI-Buch
) um mich da wieder rein zu friemeln, deshalb kann ich diese Behauptung leider nicht beweisen.Gruß Jens
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Ne, war auch nicht so gemeint, wie du es aufgefasst hast.
JensC schrieb:
und das alte TheGI-Buch
Ahhh, THEGI??? Schrecklich! Das müssen wir jetzt im Nebenfach (Info) machen. Wir kotzen alle, weil das so schrecklich einfach ist.
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WebFritzi schrieb:
[...] Wir kotzen alle, weil das so schrecklich einfach ist.
Das hab ich damals im ersten Semester auch noch gedacht. Im dirtten wurde es dann langsam wirklich niveauvoll und im vierten war's dann auf einmal richtig happig. Immer mit der Ruhe - das kommt schon noch!
Gruß Jens
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Bitte entschuldigt meine grausame Rechtschreibung heute nacht
Gruß Jens
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JensC schrieb:
Immer mit der Ruhe - das kommt schon noch!
Das glaube ich nicht. Bisher haben mir alle Mathematiker, die damit in Berührung gekommen sind, gesagt, dass das immer so einfach weitergeht.