4. Lineare Gleichungen mit 2 Var.

Lineare Gleichungen mit 2 Var.

  • B

    In der Textaufgabe stand 85. Ich bin davon ausgegangen, dass die 86 weiter unten ein Schreibfehler war. Kann natürlich auch sein, dass du recht hast, aber bei mir kommen die runderen Zahlen raus 😉

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  • M

    Hups, du hast recht. Da stehen wirklich beide Zahlen. Ich hab halt nur auf die beiden Gleichungen geguckt 😉

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  • P

    nehmt zum lösen von gleichungssystemen doch entweder den gauss-Algorithmus oder löst das system mit determinaten. Beim lösen mit dterminaten ist der vorteil, dass man schon vor dem entgültigen auflösen des systems weiss ob das Gleichungssystem eine lösung hat oder die lösungsmenge eine leere menge ist.

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  • W

    Liebes Spülmittel,
    es soll in diesem Forum auch Schüler der 6. oder 7. Klasse geben. Erzähl denen mal was vom Gauß-Algorithmus oder von Determinanten. Die werden dir was husten...

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  • O

    pril schrieb:

    nehmt zum lösen von gleichungssystemen doch entweder den gauss-Algorithmus oder löst das system mit determinaten. Beim lösen mit dterminaten ist der vorteil, dass man schon vor dem entgültigen auflösen des systems weiss ob das Gleichungssystem eine lösung hat oder die lösungsmenge eine leere menge ist.

    du gehst auf ein LGS mit zwei Unbekannten mit Determinanten los? Na wenn man sonst nix zutun hat 😃

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  • F

    Online schrieb:

    du gehst auf ein LGS mit zwei Unbekannten mit Determinanten los? Na wenn man sonst nix zutun hat 😃

    Naja, bei LGS mit mehr als zwei Unbekannten wird es auch nicht besser 🙄
    Die Cramersche Regel ist zwar in der Theorie (Beweise,...) recht nützlich, in der Praxis aber IMHO unbrauchbar!

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  • O

    ja da hast du recht...bei LSG ist ne Matrix doch zu empfehlen
    Matrix erstellen, Diagonalmatrix herleiten und Vektor bestimmen...fertig

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  • W

    Online schrieb:

    Matrix erstellen, Diagonalmatrix herleiten ...

    Du meintest wohl eher "Dreiecksmatrix".

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  • O

    WebFritzi schrieb:

    Online schrieb:

    Matrix erstellen, Diagonalmatrix herleiten ...

    Du meintest wohl eher "Dreiecksmatrix".

    Nein ich mein durchaus eine Diagonalmatrix.

    eine n-reihige, quadratische Martix A heißt Diagonalmatrix wenn alle außerhalb der Hauptdiagonalen Elemente verschwinden.

    Was man ja fürs LGS braucht.

    Eine Dreiecksmatrix entsteht wenn alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden. damit hast du das LGS ja noch nicht gelößt.

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  • P

    wenn man das lgs in dreiecksform gebracht hat kann man es abe riegntlich schon als gelöst ansehen, da man dann nur die gleichung ausrechnen muss in der nur ncoh eine variable ist und dann den wert dieser variablen in die beiden andern gleichungen einsetzen muss und das gleiche nochmal mit der gleichung machen in der es nur zwei variablen gibt.

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  • O

    pril schrieb:

    wenn man das lgs in dreiecksform gebracht hat kann man es abe riegntlich schon als gelöst ansehen, da man dann nur die gleichung ausrechnen muss in der nur ncoh eine variable ist und dann den wert dieser variablen in die beiden andern gleichungen einsetzen muss und das gleiche nochmal mit der gleichung machen in der es nur zwei variablen gibt.

    Genau, du musst da noch einsetzten...das ist nichts weiter als eine Dreiecksmatrix in eine Diagonalmatrix umwandeln. Daraus kann man dann ganz einfach den Lösungsvektor bestimmen. In LSG's mit mehr als einer Lösung kannst du natürlich keine Diagonalmatrix erzäugen weil es da ja freie Parameter gibt.

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  • P

    Jo, man lernt nie aus, den Begriff Diagonalmatrix kannte ich bis jetzt gar nicht. Bin ja auch nur ein armer SChüler 🙄

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  • W

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar! Merk dir das! Dafür ist z.B. notwendig, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Lös mir z.B. mal das LGS

    x  + y = 1
-x + y = 1

    in |R^2 mit deinem "Verfahren". Es wird dir nicht gelingen, denn das charakteristische Polynom der Matrix ist p(x) = (1-x)^2 + 1. Dieses hat keine reellen Nullstellen.

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  • O

    WebFritzi schrieb:

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar! Merk dir das! Dafür ist z.B. notwendig, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Lös mir z.B. mal das LGS

    x  + y = 1
-x + y = 1

    in |R^2 mit deinem "Verfahren". Es wird dir nicht gelingen, denn das charakteristische Polynom der Matrix ist p(x) = (1-x)^2 + 1. Dieses hat keine reellen Nullstellen.

    Das du die Diagonalmatrix nur benutzen kannst wenn das LGS eindeutig lösbar ist, ist mir schon klar. Bei freien Parametern lässt sich die Matrix ja nicht eindeutig lösen da der Lösungsvektor nicht eindeutig lösbar ist.

    Zu deinem kleinen LGS da oben...kannst du mir mal die Lösung aufschreiben? Würde mich interessieren...der Lösungsvektor wäre für deine Aufgabe hier wohl

    |0|
    |1| oder? (x=0, y =1)

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  • S

    WebFritzi schrieb:

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar!

    diagonalisierbar != kann durch elementare Umformungen in Diagonalform gebracht werden. Und nur um letzteres ging es in diesem Thread.

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  • W

    WebFritzi schrieb:

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar! Merk dir das!

    Gut, dass ich keine Ahnung habe! Entschuldige bitte, Online. Natürlich kann man jede invertierbare Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen. Darauf beruht ja das allgemein bekannte Verfahren zur Berechnung der Inversen einer Matrix. Ich glaub, ich muss meine Kenntnisse in Linearer Algebra nochmal auffrischen. Ist doch schon ne Weile her. 😉

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  • O

    WebFritzi schrieb:

    WebFritzi schrieb:

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar! Merk dir das!

    Gut, dass ich keine Ahnung habe! Entschuldige bitte, Online. Natürlich kann man jede invertierbare Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen. Darauf beruht ja das allgemein bekannte Verfahren zur Berechnung der Inversen einer Matrix. Ich glaub, ich muss meine Kenntnisse in Linearer Algebra nochmal auffrischen. Ist doch schon ne Weile her. 😉

    Meinst du das jetzt Ernst oder ist das Sarkasmus? 😕 🙂

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  • W

    Ich meine das ernst. Warum sollte ich es nicht ernst meinen, wenn es absoluter Quatsch war, den ich geschrieben hatte?! Du hattest recht und ich unrecht. Zu meinem Beispiel:

    x + y = 1
-x + y = 1

    Die Matrix dazu ist

    1  1 | 1
-1  1 | 1

    Addieren der ersten und zweiten Zeile und Stehenlassen der ersten Zeile ergibt:

    1  1 | 1
 0  2 | 2

    Multiplizieren der zweiten Zeile mit -1/2:

    1  1 |  1
 0 -1 | -1

    Addieren der beiden Zeilen und Stehenlassen der zweiten Zeile ergibt:

    1  0 |  0
 0 -1 | -1

    So! Und da hast du deine Diagonalmatrix. Man kann stets durch elementare Zeilenumformungen erreichen, dass links die Einheitsmatrix steht. Dann steht rechts der Lösungsvektor.

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  • O

    Ja, genau so meinte ich das. Ich war mir plötzlich nicht so sicher als du mich
    so angefahren hast, hab ich angefangen an meinem Wissen zu zweifeln. 🙂
    Schwamm drüber.... 😃

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