4. Lineare Gleichungen mit 2 Var.

Lineare Gleichungen mit 2 Var.

  • M

    Ich würde diese Lösung bevorzugen:

    I : x + y = 86
    II: x - y = 35

    --beide nach x auflösen:

    I : x = 86 - y
    II: x = 35 + y

    --gleich setzen:

    III: 86 - y = 35 + y

    --nach y auflösen:

    III: -2y = 35 - 86
    => y = -51 / -2 => y = 25,5

    --y in eine der oberen gleichungen einsetzen (z.B. I) :
    IV: x = 86 - 25,5 => x = 60,5

    Die Zahlen lauten also 25,5 und 60,5

    0
  • B

    Löse die zweite Gleichung nach x auf und setzt sie in die erste Gleichung ein, Schon hast du nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten. Ausrechnen und in die zweite einsetzten, schon ist dein Problem gelöst.

    0
  • B

    I x + y = 85
    II x - y = 35
    ------------
    Addieren von I und II zu I', indem jeweils die linken und die rechten Seiten addiert werden:

    I' x + y + x - y = 85 + 35
    2x = 120
    => x = 60

    Einsetzen in I oder II, nach y umstellen: y = 25.

    0
  • W

    Das von Bashar vorgeschlagene Verfahren ist vor allem bei Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten schneller als die anderen vorgeschlagenen.

    0
  • M

    Bashar schrieb:

    I x + y = 85
    II x - y = 35
    ------------
    Addieren von I und II zu I', indem jeweils die linken und die rechten Seiten addiert werden:

    I' x + y + x - y = 85 + 35
    2x = 120
    => x = 60

    Einsetzen in I oder II, nach y umstellen: y = 25.

    Da ist aber ein Fehler drin
    X + Y sollen 86, nicht 85 ergeben.
    Ansonsten kann man das natürlich auch so machen

    0
  • B

    In der Textaufgabe stand 85. Ich bin davon ausgegangen, dass die 86 weiter unten ein Schreibfehler war. Kann natürlich auch sein, dass du recht hast, aber bei mir kommen die runderen Zahlen raus 😉

    0
  • M

    Hups, du hast recht. Da stehen wirklich beide Zahlen. Ich hab halt nur auf die beiden Gleichungen geguckt 😉

    0
  • P

    nehmt zum lösen von gleichungssystemen doch entweder den gauss-Algorithmus oder löst das system mit determinaten. Beim lösen mit dterminaten ist der vorteil, dass man schon vor dem entgültigen auflösen des systems weiss ob das Gleichungssystem eine lösung hat oder die lösungsmenge eine leere menge ist.

    0
  • W

    Liebes Spülmittel,
    es soll in diesem Forum auch Schüler der 6. oder 7. Klasse geben. Erzähl denen mal was vom Gauß-Algorithmus oder von Determinanten. Die werden dir was husten...

    0
  • O

    pril schrieb:

    nehmt zum lösen von gleichungssystemen doch entweder den gauss-Algorithmus oder löst das system mit determinaten. Beim lösen mit dterminaten ist der vorteil, dass man schon vor dem entgültigen auflösen des systems weiss ob das Gleichungssystem eine lösung hat oder die lösungsmenge eine leere menge ist.

    du gehst auf ein LGS mit zwei Unbekannten mit Determinanten los? Na wenn man sonst nix zutun hat 😃

    0
  • F

    Online schrieb:

    du gehst auf ein LGS mit zwei Unbekannten mit Determinanten los? Na wenn man sonst nix zutun hat 😃

    Naja, bei LGS mit mehr als zwei Unbekannten wird es auch nicht besser 🙄
    Die Cramersche Regel ist zwar in der Theorie (Beweise,...) recht nützlich, in der Praxis aber IMHO unbrauchbar!

    0
  • O

    ja da hast du recht...bei LSG ist ne Matrix doch zu empfehlen
    Matrix erstellen, Diagonalmatrix herleiten und Vektor bestimmen...fertig

    0
  • W

    Online schrieb:

    Matrix erstellen, Diagonalmatrix herleiten ...

    Du meintest wohl eher "Dreiecksmatrix".

    0
  • O

    WebFritzi schrieb:

    Online schrieb:

    Matrix erstellen, Diagonalmatrix herleiten ...

    Du meintest wohl eher "Dreiecksmatrix".

    Nein ich mein durchaus eine Diagonalmatrix.

    eine n-reihige, quadratische Martix A heißt Diagonalmatrix wenn alle außerhalb der Hauptdiagonalen Elemente verschwinden.

    Was man ja fürs LGS braucht.

    Eine Dreiecksmatrix entsteht wenn alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden. damit hast du das LGS ja noch nicht gelößt.

    0
  • P

    wenn man das lgs in dreiecksform gebracht hat kann man es abe riegntlich schon als gelöst ansehen, da man dann nur die gleichung ausrechnen muss in der nur ncoh eine variable ist und dann den wert dieser variablen in die beiden andern gleichungen einsetzen muss und das gleiche nochmal mit der gleichung machen in der es nur zwei variablen gibt.

    0
  • O

    pril schrieb:

    wenn man das lgs in dreiecksform gebracht hat kann man es abe riegntlich schon als gelöst ansehen, da man dann nur die gleichung ausrechnen muss in der nur ncoh eine variable ist und dann den wert dieser variablen in die beiden andern gleichungen einsetzen muss und das gleiche nochmal mit der gleichung machen in der es nur zwei variablen gibt.

    Genau, du musst da noch einsetzten...das ist nichts weiter als eine Dreiecksmatrix in eine Diagonalmatrix umwandeln. Daraus kann man dann ganz einfach den Lösungsvektor bestimmen. In LSG's mit mehr als einer Lösung kannst du natürlich keine Diagonalmatrix erzäugen weil es da ja freie Parameter gibt.

    0
  • P

    Jo, man lernt nie aus, den Begriff Diagonalmatrix kannte ich bis jetzt gar nicht. Bin ja auch nur ein armer SChüler 🙄

    0
  • W

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar! Merk dir das! Dafür ist z.B. notwendig, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Lös mir z.B. mal das LGS

    x  + y = 1
-x + y = 1

    in |R^2 mit deinem "Verfahren". Es wird dir nicht gelingen, denn das charakteristische Polynom der Matrix ist p(x) = (1-x)^2 + 1. Dieses hat keine reellen Nullstellen.

    0
  • O

    WebFritzi schrieb:

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar! Merk dir das! Dafür ist z.B. notwendig, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Lös mir z.B. mal das LGS

    x  + y = 1
-x + y = 1

    in |R^2 mit deinem "Verfahren". Es wird dir nicht gelingen, denn das charakteristische Polynom der Matrix ist p(x) = (1-x)^2 + 1. Dieses hat keine reellen Nullstellen.

    Das du die Diagonalmatrix nur benutzen kannst wenn das LGS eindeutig lösbar ist, ist mir schon klar. Bei freien Parametern lässt sich die Matrix ja nicht eindeutig lösen da der Lösungsvektor nicht eindeutig lösbar ist.

    Zu deinem kleinen LGS da oben...kannst du mir mal die Lösung aufschreiben? Würde mich interessieren...der Lösungsvektor wäre für deine Aufgabe hier wohl

    |0|
    |1| oder? (x=0, y =1)

    0
  • S

    WebFritzi schrieb:

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar!

    diagonalisierbar != kann durch elementare Umformungen in Diagonalform gebracht werden. Und nur um letzteres ging es in diesem Thread.

    0
Anmelden zum Antworten