Surjektiv und Injektiv... Wozu diese Begriffe?

Mis2com

Hi,

nachdem ich die Begriffe nun verstanden habe, frage ich mich, wozu ich die wissen soll.
Haben injektive, surjektive Funktionen bestimme Eigenschaften, wenn ja, welche?

Oder gehören die Begriffe in den ,,Merkwürdige Zahlen'' Thread als Wortspielereien gesteckt?

Jester hat schon ein wenig was gesagt:

Jester schrieb:

Angenommen, die Funktion ist surjektiv, dann kann ich folgendes sagen:
Wenn ich ein y \in Y gefunden habe, dann ex. auch ein x \in X so daß gilt: f(x)=y.

Und wenn sie injektiv ist, dann kann ich aus f(x)=f(y) folgern, daß x=y ist.

Das ganze gilt auch in der Umkehrung. Wenn ich also eine der Eigenschaften nachweisen kann weiß ich, daß die Funktion injektiv bzw. surjektiv ist.

Leuchtet natürlich ein, gibt es sonst noch was?

MfG MAV

Jester

Naja, wozu definiert man überhaupt irgendwelche Begriffe?
Man möchte damit eine gewisse Abstraktion schaffen um besser damit umgehen und arbeiten zu können. Das ist ähnlich wie beim Programmieren. Warum schreibt man Klassen? Damit man mit ihnen arbeiten kann ohne genau zu wissen, wie sie ihre Arbeit erledigen.
Ich kann jetzt Sätze über injektive Funktionen formulieren, die anders wesentlich komplexer gewesen wären.

Ein kleiner Satz wäre zum beispiel:

Sei f:Y-->Z, g:X-->Y.
Die Verkettung (f o g) ist wieder eine Funktion, sie ist folgendermaßen definiert:

(f o g):X-->Z, x |--> f(g(x))

Und nun der Satz:

sind f,g injektiv, so ist auch f o g injektiv. Sind beide surjektiv, so ist auch f o g surjektiv.
Sind f,g bijektiv, so ist auch f o g bijektiv.

Den Beweis dazu kannst Du ja selbst mal versuchen zu erbringen.

Mis2com

Ich weiß nicht einaml was eine Verkettung ist

Online

Mis2com schrieb:

Ich weiß nicht einaml was eine Verkettung ist

sagen wir du hast 2 Funktionen

f: 1/x = y
g: 2x = y

dann ist (f o g) (heißt stecke g in f )

f o g => 1/(2x) = y

Henno

Von bijektiven Funktionen kannst du ohne Einschränkung eine Umkehrfunktion bilden...

Mis2com

hm, ahso, aber wieso ist denn bei f(g(x)) die Menge, auf die abgebildet wird, Z und nicht Y?
Weil f ist doch außen und f bildet auf Y ab.

Online

Mis2com schrieb:

hm, ahso, aber wieso ist denn bei f(g(x)) die Menge, auf die abgebildet wird, Z und nicht Y?
Weil f ist doch außen und f bildet auf Y ab.

f: 1/y = z
g: 2x = y

(f o g) ==> 1/(2x) = z

EDIT:

(g o f) ==> 2* (1/x) = y

es ist egal was für Buchstaben du benutzt. Es ist nichts weiter als einsetzen.

EDIT END

jetzt klar?

ah ja, immer von rechts nach links verknüpfen

WebFritzi

@Jester: Damit hast du aber immernoch nicht erklärt, wozu!

@Mis2com: Zum Beispiel ist es gut, wenn eine Abbildung injektiv ist, weil man dann eine Umkehrfunktion definieren kann. Beispiel:

1  --->  8
2  --->  7
3  --->  6

Die obige Abbildung sei f und bilde {1,2,3} auf {1,2,3,4,5,6,7,8} ab. Der Wertebereich ist {6,7,8}. Die Abbildung ist injektiv! Wir können nun vom Wertebereich ausgehend die Umkehrabbildung f^-1 definieren durch
6->3, 7->2, 8->1. Es ist oftmals gut, wenn man sowas kann. Wenn eine Abbildung f:X->Y nun injektiv und auch noch surjektiv ist, dann können wir die Umkehrabbildung auf ganz Y definieren, und nicht nur auf dem Wertebereich.

Z.B. kann man Mengen darüber miteinander vergleichen. Man sagt nämlich, dass 2 Mengen M und N gleich groß sind, wenn es eine bijektive (injektive und surjektive) Abbildung von N nach M gibt. Im Beispiel oben sieht man, dass die Mengen {1,2,3} und {6,7,8} gleich groß sind, denn es gibt eine bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen, die wir oben auch angegeben haben. Für endliche Mengen ist das natürlich langweilig. Interessant wird das erst bei unendlichen Mengen. Stelle dir zum Beispiel mal die natürlichen Zahlen, also 0,1,2,3,4,5,... und die ganzen Zahlen, also ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... vor. Zuerst denkt man, die Menge der ganzen Zahlen sei größer. Eine genauere Betrachtung zeigt aber, dass die Mengen gleich groß sind. Dazu ist eine bijektive Abbildung von |N (nat. Zahlen) nach |Z (ganze Zahlen) anzugeben. Wir definieren

$ $f: \mathbf{N}\rightarrow\mathbf{Z}, f(n) := \frac{n}{2}$, falls $n$ gerade und $f(n) := -\frac{n+1}{2}$, falls $n$ ungerade.$ Jetzt werde ich dir beweisen, dass diese Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Surjektiv: Sei $k\in\mathbf{Z}$ beliebig. Wir müssen nun ein $n\in\mathbf{N}$ finden, so dass $f(n) = k$. Ist k < 0, dann wähle n = -(2k + 1). Diese Zahl ist dann positiv und damit aus $\mathbf{N}$. Weiter ist diese Zahl ungerade. Also folgt $f(n) = -\frac{n+1}{2} = -\frac{-(2k + 1) + 1}{2} = -\frac{-2k}{2} = k$. Wir haben also ein $n\in\mathbf{N}$ gefunden mit $f(n) = k$. Ist k ≥ 0, dann wähle n = 2k. Diese Zahl ist zweifellos eine natürliche Zahl, und es gilt f(n) = k. Auch in diesem Fall haben wir eine natürliche Zahl n gefunden mit f(n) = k. Zu jeder ganzen Zahl k finden wir also eine natürliche Zahl n, so dass f(n) = k. Injektiv: Sei f(n) = f(m) für zwei Zahlen $n,m\in\mathbf{N}$. Wir müssen zeigen, dass dann m = n folgt. Dazu haben wir die folgenden 3 Fälle abzuhandeln: (a) m und n gerade, (b) m und n ungerade, (c) n gerade und m ungerade. Der Fall n ungerade und m gerade ergibt sich dann aus dem Fall (c). (c) Es sei n gerade und m ungerade. Da f(n) ≥ 0 und f(m) < 0, kann f(n) = f(m) garnicht gelten. (a) Es seien m und n gerade. Dann gilt: $n = 2\cdot\frac{n}{2} = 2 f(n) = 2 f(m) = 2\cdot\frac{m}{2} = m$. (b) Es seien m und n ungerade. Dann gilt $n = 2\cdot\frac{n+1}{2} - 1 = -2 f(n) - 1 = -2 f(m) - 1 = 2\cdot\frac{m+1}{2} - 1 = m$. In jedem Fall folgt also aus f(n) = f(m), dass n = m, was die Injektivität von f zeigt. Die Menge $\mathbf{Z}$ ist also genauso groß wie die Menge $\mathbf{N}$.

elise

vielleicht passt es nicht ganz...

aber bijektiv wurde mir zum ersten mal ein wenig klarer (flutscht leider immernoch ein wenig weg, vor allem, wenn ich an die klausur denke ), als es um isomorphismus ging..

zum thema gibts viele links... zm bleistift hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Isomorphismus

wenn daneben der gödel, escher, bach offen liegt, und man seine ausführungen s. 53ff. zu isomorphismus liest, bekommt... oder bekam zumindest ich zum ersten mal das gefühl eines etwas größeren (wie gesagt, leider nur kurzzeitigen) verständnisses vons janze.

WebFritzi

Dazu bedarf es aber einer Gruppenstruktur auf der Menge, elise (siehe Homomorphismus). Eine solche ist i.A. aber nicht gegeben.

elise

ja klar.. nur vielleicht kommt es bei ihm ja auch..

bei uns ist isompophismus im mathe 1 dabei, deswegen habe ich es angeführt..
als beispiel.. nur.

Jester

Ja, meine Definition war falsch, Mis2com hat's bemerkt, es muß g o f heißen. Werd ich gleich noch editieren. Bzw. ich werde die Mengen vertauschen, das ist einfacher.

Ich denke schon, daß ich das damit etwas begründet habe. Man braucht es nicht, zumindest nicht zwingend. Genauswowenig, wie man Klassen bei der Programmierung braucht.
Aber es wird damit einfacher, weil man mit einem Wort sagen kann, was in Formeln oft deutlich länger und damit viel schlechter lesbar ist.
Um nochmal bei der Analogie zu C++ zu bleiben:

Vector x,y;
Matrix M;
...
y = M*x;

Ist wohl deutlich lesbarer, als Vector und Matrix als Array zu nehmen und bei jeder Multiplikation einfach zwei geschachtelte for-Schleifen hinzuschreiben.
Genauso ist es auch in der Mathematik. Wenn bestimmte Eigenschaften eines mathematischen Objektes sich als wichtig herausstellen, dann gibt man ihnen einen Namen. Natürlich weiß man erst im nachhinein, was wirklich wichtig ist. Deswegen muß man das am Anfang halt mal glauben. Es ist sicher kein Mathematiker hergegangen und hat gesagt: "Das nenne ich jetzt mal Günther, und anschließénd untersuche ich es." Zuerst wurde untersucht und wenn es sich als zwckmäßig erwies dem Ding nen Namen zu geben, dann hat man das halt gemacht.

WebFritzi

Jester schrieb:

Ich denke schon, daß ich das damit etwas begründet habe.

Ich nicht. Wenn jemand fragt "wozu", dann sind meines Erachtens Beispiele angebracht.

Mis2com

Achso,

Gut, damit habe ich das besser verstanden, auch wenn ich das mit den Beweisen zu den injektiven und surjektiven FUnktionen nicht ganz peile.

Z sind ganze Zahlen, oder? (auch negativ dann?)

Danke wieder Mal

MFg MAV

WebFritzi

Mis2com schrieb:

Z sind ganze Zahlen, oder? (auch negativ dann?)

Ich sage es dir zum dritten und letzten mal: du sollst aufmerksam, langsam und sorgfältig lesen, was dir dargeboten wird. Ich schreib das Zeug schließlich nicht umsonst - sondern für dich! Wenn du meinen Beitrag so gelesen hättest, wie ich es dir angeraten habe, dann müsstest du die Frage nach den ganzen Zahlen garnicht erst stellen! Steht alles drin.

@elise: Mis2com ist Schüler in einer Klassenstufe <= 10.

Mis2com

natürlichen Zahlen, also 0,1,2,3,4,5,... und die ganzen Zahlen, also ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... vor.

Kommt mir jetzt nur komisch vor, weil die 1. sind ja auch ganz, also sind ganze Zahlen negativ und positiv ganz und natürliche Zahlen nur positiv ganz?

Weil 2 Äpfel und ein halber... ist ja irgendwie auch natürlich

elise

WebFritzi schrieb:

@elise: Mis2com ist Schüler in einer Klassenstufe <= 10.

habe ihn woanders eingeordnet

WebFritzi

Das "ganz" in "ganze Zahlen" ist doch nur ein Wort. Sie hätten genauso "blöde Zahlen" heißen können. Mach dir nichts aus den Begriffen, sondern kümmere dich mehr um die mathematische Bedeutung.

Mis2com

@elise: Wo denn?

@WebFritzi:
Gut, ich war nur nicht ganz sicher, ob du dich nicht... unaussprechlich... ich wage es kaum zu sagen, und lasse es daher auch.

MfG MAV

elise

Mis2com schrieb:

@elise: Wo denn?

MfG MAV

irgendwo hast du bei mir schon abi, hmm keine ahnung, vielleicht eine positive vorahnung

Mis2com

Olala, fein fein ^^

Leider bin ich in Mathe nicht wirklich gut