4. Kleines Problem mit Beweis

Kleines Problem mit Beweis

  • W

    Hi, ich soll folgenden Beweis führen...

    F"ur $x\_1,x\_2,...,x\_n > 0$ mit $\prod\_{i=1}^{n}x\_k=1$ gilt $\sum\_{k=1}^{n}x_k\geq n

    Nun komme ich aber nicht weiter... Ich habe per allgemeiner Bernoulli-Ungleichung umgeformt.

    a_k:=x_k−1a\_k:=x\_k-1

    ∏k=1n(1+a_k)>1+∑_k=1nak\prod_{k=1}^{n}(1+a\_k) > 1 + \sum\_{k=1}^{n}a_k

    \Leftrightarrow\underbrace{\prod_{k=1}^{n}x\_k}\_{=1} > 1 + \sum_{k=1}^{n}(x_k-1)

    ⇔1>1+∑k=1nxk−n\Leftrightarrow 1>1+\sum_{k=1}^{n}x_k-n

    ⇔n>∑k=1nxk\Leftrightarrow n > \sum_{k=1}^{n}x_k

    Nun habe ich aber genau das Gegenteil bewiesen. Ich kann aber auch keinen Fehler entdecken.

    Btw: Warum rendert \LaTeX manchmal die Beschriftungen vom Summen-/Produktzeichen daneben und manchmal richtig drunter/drüber?

    Gruß,

    Mastah

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  • B

    MaSTaH schrieb:

    Btw: Warum rendert \LaTeX manchmal die Beschriftungen vom Summen-/Produktzeichen daneben und manchmal richtig drunter/drüber?

    Innerhalb des Fließtextes (also wenn du über $ ... $ in den math-Mode gehst) ist weniger Platz als bei freistehenden Formeln (equation/displaymath-Umgebung.)

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  • A

    Ich glaub deine "allgemeine Bernoulli-Ungleichung" ist falsch. Jedenfalls wenn ich mich nicht verrechnet habe.

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  • W

    Nope, genau so kam sie in der Vorlesung vor. Ich tippe sie mal von dem Übungsblatt ab. Habe sie in einer Übung mal beweisen müssen.

    Verallgemeinerung der Bernoulli-Ungleichung:

    ∏k=1n(1+x_k)>1+∑_k=1nxk\prod_{k=1}^{n}(1+x\_k)>1+\sum\_{k=1}^{n}x_k
    für den Fall, dass alle x positiv oder alle negativ und größer -1 sind.

    EDIT: Aber ich habe einen Denkfehler gefunden. Ich darf die Ungleichung nicht verwenden, weil xk−1x_k-1 ja nicht zwangsläufig größer gleich 0 ist, sondern nur für alle xk≥1x_k\geq 1.

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  • H

    versuchs mal mit der geometrisch-arithmetischen Mittelungleichung für n-Variable, die ich dir jetzt mit vernünftiger Tastatur auch verraten könnte...

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  • W

    Meinst du ab≤a+b2\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}?

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  • H

    ich meine
    die n-te Wurzel von Produkt(x_1 bis x_n)ist geometrisches Mittel.
    1/n * Summe(x_1 bis x_n) ist arithmetisches Mittel.
    G <= A.
    Deine Formel ist der Fall n=2.
    sorry, aber meine geschwuffene Klammer geht grad ned und ich bin zu faul nach Sonderzeichen zu googeln 😉

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  • W

    Also...

    \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x\_i}\leq\frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{n}x_i

    Danke, probiere ich morgen mal aus...

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  • M

    hallo!

    du kannst es mit der Induktion beweisen.

    dazu ein Tipp beim Ind.Schluss:

    falls x1 * x2 * ... * xn ≠ 1
    => dann gibt es in diesem Produkt einen Faktor a mit a * xn+1 = 1
    und mit s Faktoren in a. Das Produkt der übrigen n-s Faktoren ergibt dann 1!

    hoffe, bringt dich weiter.

    Gruß mathik

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  • W

    Hi, ich werde es mal ausprobieren. Danke!

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  • W

    Der Beweis mit vollst. Ind. ist schon ein wenig trickreich: Sei die Behauptung für n∈Nn\in\mathbf{N} wahr. Sind alle xi=1x_i = 1, so ist die Behautung eh wahr. Gibt es ein xi<1x_i < 1, dann auch ein xj>1x_j > 1 mit j≠ij\neq i und umgekehrt. Sei dieser Fall nun gegeben. Dann können wir so umordnen, dass xn<1x_n < 1 und xn+1>1x_{n+1} > 1. Setze dann xn+1′:=xn+1−1>0x_{n+1}' := x_{n+1} - 1 > 0. Dann folgt xn+1′(1−xn)>0x_{n+1}' (1-x_n) > 0 bzw. xn+1′>xn+1′xnx_{n+1}' > x_{n+1}' x_n. Addieren mit xnx_n auf beiden Seiten ergibt dann x_n+x_n+1′>x_n(1+x_n+1′)=x_nx_n+1x\_n + x\_{n+1}' > x\_n (1 + x\_{n+1}') = x\_n x\_{n+1} bzw.

    x_n+x_n+1>1+x_nx_n+1x\_n + x\_{n+1} > 1 + x\_n x\_{n+1}.

    Diese Ungleichung brauchen wir noch! Setze y_i:=x_iy\_i := x\_i für i = 1,\dots,n-1 und y_n:=x_n⋅xn+1y\_n := x\_n\cdot x_{n+1}. Dann ist Πi=1nyi=1\Pi_{i=1}^n y_i = 1, also nach Induktionsvoraussetzung: ∑i=1nyi≥n\sum_{i=1}^n y_i \ge n bzw.

    $\begin{eqnarray*} n+1 &\le& 1 + \sum_{i=1}^n y_i\\ &=& 1 + x\_n\cdot x\_{n+1} + \sum_{i=1}^{n-1} x_i\\ &<& x\_n + x\_{n+1} + \sum_{i=1}^{n-1} x_i\\ &=& \sum_{i=1}^{n+1} x_i\,, \end{eqnarray*}

    was zu zeigen war. 🙂

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  • W

    Wow, das ist echt druckreif. Vielen Dank 🙂 .

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  • W

    Büdde. Gern geschehen. 🙂

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  • A

    Mit der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel geht das aber wesentlich einfacher. Oder kam die bei dir in der Vorlesung nicht dran?

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  • W

    Die musst du natürlich vorher auch beweisen. In meinem Beweis wird nichts als bekannt vorausgesetzt. Ich kenne außerdem diese Ungleichung nicht und hab auch keinen Bock, die nachzuschlagen. 😉

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  • M

    hallo!

    mit hilfe der "starken induktion" (nennt unser prof so) könnte man das noch einfacher zeigen, finde ich:

    Ind. Annahme:
    sei die Aussage wahr für alle i mit 1 ≤ i ≤ n

    Ind. Schluss:
    1. Fall:
    x1 * x2 * ...* xn = 1
    => xn+1 = 1 und somit ist es für diesen Fall bewiesen.

    2. Fall
    x1 * x2 * ...* xn ≠ 1
    => es gibt ein a im Produkt mit a * xn+1 = 1
    wir stellen die Faktoren so um, dass die ersten s Faktoren a ergeben, also:
    x´1 * x~2~ \* ... \* xs * x~s+1~ \* ... \* x~n~ und a = x´~1~ \* x2 * ... * x~s~ =\> nach Ind.Annahme: x´~1~ \+ x2 + ... + x~s~ \+ x~n+1~ ≥ s + 1 und xs+1 + ... x`n ≥ n - s

    => beide Gleichungen addieren ergibt:
    x´1 + x~2~ \+ ... \+ xs + x~s+1~ ... \+ xn + xn+1 ≥ n + 1

    Gruß mathik

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  • W

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  • W

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  • W

    Abbadon schrieb:

    Mit der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel geht das aber wesentlich einfacher. Oder kam die bei dir in der Vorlesung nicht dran?

    Kam nur für den Fall n=2 als Beweisübung dran. Deswegen glaube ich nicht, dass wir die verwenden sollen.

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  • W

    @mathik: Dein Beweis ist nicht in Ordnung! Stell dir mal vor, es gäbe nur die eine Möglichkeit, dass s = n. Dann kannst du für s+1 nicht mehr die Induktionsannahme verwenden. Verstehste?

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