Kleines Problem mit Beweis

[Walli]

Also...

\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x\_i}\leq\frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{n}x_i

Danke, probiere ich morgen mal aus...

[mathik]

hallo!

du kannst es mit der Induktion beweisen.

dazu ein Tipp beim Ind.Schluss:

falls x₁ * x₂ * ... * x_n ≠ 1
=> dann gibt es in diesem Produkt einen Faktor a mit a * x_n+1 = 1
und mit s Faktoren in a. Das Produkt der übrigen n-s Faktoren ergibt dann 1!

hoffe, bringt dich weiter.

Gruß mathik

[Walli]

Hi, ich werde es mal ausprobieren. Danke!

[WebFritzi]

Der Beweis mit vollst. Ind. ist schon ein wenig trickreich: Sei die Behauptung für $n\in\mathbf{N}$ wahr. Sind alle $x_i = 1$, so ist die Behautung eh wahr. Gibt es ein $x_i < 1$, dann auch ein $x_j > 1$ mit $j\neq i$ und umgekehrt. Sei dieser Fall nun gegeben. Dann können wir so umordnen, dass $x_n < 1$ und $x_{n+1} > 1$. Setze dann $x_{n+1}' := x_{n+1} - 1 > 0$. Dann folgt $x_{n+1}' (1-x_n) > 0$ bzw. $x_{n+1}' > x_{n+1}' x_n$. Addieren mit $x_n$ auf beiden Seiten ergibt dann $x\_n + x\_{n+1}' > x\_n (1 + x\_{n+1}') = x\_n x\_{n+1}$ bzw.

$x\_n + x\_{n+1} > 1 + x\_n x\_{n+1}$.

Diese Ungleichung brauchen wir noch! Setze $y\_i := x\_i$ für i = 1,\dots,n-1 und $y\_n := x\_n\cdot x_{n+1}$. Dann ist $\Pi_{i=1}^n y_i = 1$, also nach Induktionsvoraussetzung: $\sum_{i=1}^n y_i \ge n$ bzw.

$\begin{eqnarray*} n+1 &\le& 1 + \sum_{i=1}^n y_i\\ &=& 1 + x\_n\cdot x\_{n+1} + \sum_{i=1}^{n-1} x_i\\ &<& x\_n + x\_{n+1} + \sum_{i=1}^{n-1} x_i\\ &=& \sum_{i=1}^{n+1} x_i\,, \end{eqnarray*}

was zu zeigen war.

[Walli]

Wow, das ist echt druckreif. Vielen Dank .

[WebFritzi]

Büdde. Gern geschehen.

[Abbadon]

Mit der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel geht das aber wesentlich einfacher. Oder kam die bei dir in der Vorlesung nicht dran?

[WebFritzi]

Die musst du natürlich vorher auch beweisen. In meinem Beweis wird nichts als bekannt vorausgesetzt. Ich kenne außerdem diese Ungleichung nicht und hab auch keinen Bock, die nachzuschlagen.

[mathik]

hallo!

mit hilfe der "starken induktion" (nennt unser prof so) könnte man das noch einfacher zeigen, finde ich:

Ind. Annahme:
sei die Aussage wahr für alle i mit 1 ≤ i ≤ n

Ind. Schluss:
1. Fall:
x₁ * x₂ * ...* x_n = 1
=> x_n+1 = 1 und somit ist es für diesen Fall bewiesen.

2. Fall
x₁ * x₂ * ...* x_n ≠ 1
=> es gibt ein a im Produkt mit a * x_n+1 = 1
wir stellen die Faktoren so um, dass die ersten s Faktoren a ergeben, also:
x´₁ * x~2~ \* ... \* x_s * x~s+1~ \* ... \* x~n~ und a = x´~1~ \* x₂ * ... * x~s~ =\> nach Ind.Annahme: x´~1~ \+ x₂ + ... + x~s~ \+ x~n+1~ ≥ s + 1 und x_s+1 + ... x`_n ≥ n - s

=> beide Gleichungen addieren ergibt:
x´₁ + x~2~ \+ ... \+ x_s + x~s+1~ ... \+ x_n + x_n+1 ≥ n + 1

Gruß mathik

[Walli]

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[Walli]

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[Walli]

Abbadon schrieb:

Mit der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel geht das aber wesentlich einfacher. Oder kam die bei dir in der Vorlesung nicht dran?

Kam nur für den Fall n=2 als Beweisübung dran. Deswegen glaube ich nicht, dass wir die verwenden sollen.

[WebFritzi]

@mathik: Dein Beweis ist nicht in Ordnung! Stell dir mal vor, es gäbe nur die eine Möglichkeit, dass s = n. Dann kannst du für s+1 nicht mehr die Induktionsannahme verwenden. Verstehste?

[mathik]

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[mathik]

WebFritzi schrieb:

@mathik: Dein Beweis ist nicht in Ordnung! Stell dir mal vor, es gäbe nur die eine Möglichkeit, dass s = n. Dann kannst du für s+1 nicht mehr die Induktionsannahme verwenden. Verstehste?

hmmh...
du hast recht. für diesen fall hab ich ja:

x´₁ + x~2~ \+ ... \+ x_n + x_n+1 ≥ n + 1

das muss man ja erst zeigen
immer diese voreiligen Schlüsse

aber vieleicht kann man ja diesen speziellen fall noch irgendwie nachweisen...

Gruß mathik

[WebFritzi]

mathik schrieb:

aber vieleicht kann man ja diesen speziellen fall noch irgendwie nachweisen...

Spezieller Fall? Aber das ist doch genau die Ausgangsbehauptung.