Kleines Problem mit Beweis
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Mit der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel geht das aber wesentlich einfacher. Oder kam die bei dir in der Vorlesung nicht dran?
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Die musst du natürlich vorher auch beweisen. In meinem Beweis wird nichts als bekannt vorausgesetzt. Ich kenne außerdem diese Ungleichung nicht und hab auch keinen Bock, die nachzuschlagen.
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hallo!
mit hilfe der "starken induktion" (nennt unser prof so) könnte man das noch einfacher zeigen, finde ich:
Ind. Annahme:
sei die Aussage wahr für alle i mit 1 ≤ i ≤ nInd. Schluss:
1. Fall:
x1 * x2 * ...* xn = 1
=> xn+1 = 1 und somit ist es für diesen Fall bewiesen.2. Fall
x1 * x2 * ...* xn ≠ 1
=> es gibt ein a im Produkt mit a * xn+1 = 1
wir stellen die Faktoren so um, dass die ersten s Faktoren a ergeben, also:
x´1 * x~2~ \* ... \* xs * x~s+1~ \* ... \* x~n~ und a = x´~1~ \* x2 * ... * x~s~ =\> nach Ind.Annahme: x´~1~ \+ x2 + ... + x~s~ \+ x~n+1~ ≥ s + 1 und xs+1 + ... x`n ≥ n - s=> beide Gleichungen addieren ergibt:
x´1 + x~2~ \+ ... \+ xs + x~s+1~ ... \+ xn + xn+1 ≥ n + 1Gruß mathik
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Abbadon schrieb:
Mit der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel geht das aber wesentlich einfacher. Oder kam die bei dir in der Vorlesung nicht dran?
Kam nur für den Fall n=2 als Beweisübung dran. Deswegen glaube ich nicht, dass wir die verwenden sollen.
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@mathik: Dein Beweis ist nicht in Ordnung! Stell dir mal vor, es gäbe nur die eine Möglichkeit, dass s = n. Dann kannst du für s+1 nicht mehr die Induktionsannahme verwenden. Verstehste?
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WebFritzi schrieb:
@mathik: Dein Beweis ist nicht in Ordnung! Stell dir mal vor, es gäbe nur die eine Möglichkeit, dass s = n. Dann kannst du für s+1 nicht mehr die Induktionsannahme verwenden. Verstehste?
hmmh...
du hast recht. für diesen fall hab ich ja:x´1 + x
~2~ \+ ... \+ xn + xn+1 ≥ n + 1das muss man ja erst zeigen
immer diese voreiligen Schlüsse
aber vieleicht kann man ja diesen speziellen fall noch irgendwie nachweisen...
Gruß mathik
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mathik schrieb:
aber vieleicht kann man ja diesen speziellen fall noch irgendwie nachweisen...
Spezieller Fall? Aber das ist doch genau die Ausgangsbehauptung.