Kreiskegel Volumen Formel herleiten

michaelwitzik

Hallo, wir sind in Mathe zur Zeit bei Integralrechnung. Heute hatten wir die Formel für das Volumen eines Kreiskegel, die ja bekannterweise $1/3 * Pi * r^2 * h$ ist, dann sollten wir probieren die Formel herzuleiten mit Hilfe unserer Kenntnisse der Integralrechnung (bis Substitution und partieller Integration). Leider war dann die Stunde zu Ende und er wills uns erst am Montag sagen wies geht da, wie er sagte eh Niemand weiß wies geht von uns. Ich wills aber jetzt unbedingt wissen, darum frage ich die Spezialisten ob sie mir helfen können! Das sind keine HA oder so und es gibt auch keine Note oder so wenn mans weiß. Ich habe mir bisher nur überlegt, das man die Matellinie des Kegels als y = mx + n sehen könnte die dann ne Fläche mit der x Achse im Intervall von der Höhe des Kegels einschließt. Was man dann macht weiß ich nicht. Also, ich hoffe das ihr mir helfen könnt und freue mich auf jeden Denkanstoß!!!!

Danke

Walli

Du setzt eine Geradengleichung in die Formel für Rotationskörper ein.

die steigung ist r/h

Wenn ich mich nicht irre war die Formel für Rotationskörper folgende...
$V=\pi\int_0^h f^2(x)$

Und nun kannst du das herleiten.

Walli

Hab ich vergessen zu erwähnen. Gut vorstellen kann man sich die Formel für Rotationskörper, wenn man sich vorstellt, dass man unendlich dünne Kegelscheibchen addiert um auf das Volumen des Kegels zu kommen.

Also so etwa. Wir addieren das Volumen dieser 3 Zylinderchen (Scheibchen) und erhalten somit eine Näherung für das Kegelvolumen.

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Die Scheibchenhöhe wird nun unendlich klein; somit erhalten wir ein exaktes Volumen.

EDIT: Korrekturen an der scheiß Erklärung!

michaelwitzik

Hm, danke für die Antwort aber die Herleitung hab ich nicht ganz verstanden, vor allem kann man denn existierende Gleichungen nehmen um eine andere herzuleiten?

WebFritzi

michaelwitzik schrieb:

Hm, danke für die Antwort aber die Herleitung hab ich nicht ganz verstanden

Die Erklärung war auch scheiße!

vor allem kann man denn existierende Gleichungen nehmen um eine andere herzuleiten?

Äh ja. Warum denn nicht?!

michaelwitzik

Ja, ok so scheiße war sie nicht, habs jetzt auch verstanden *gg*, war vorschnell, aber gibt es denn ne "relativ" kurze Möglichkeit die Rotationskörper Formel herzuleiten? Geht das mit Ober und Untersumme?

Walli

michaelwitzik schrieb:

Hm, danke für die Antwort aber die Herleitung hab ich nicht ganz verstanden

Es war auch keine. Du hattest doch nach Denkanstößen gesucht.

WebFritzi schrieb:

Die Erklärung war auch scheiße!

Und was genau war denn so scheiße?

WebFritzi

1. sind es keine "Scheibchen" sondern (relativ flache) Zylinder und
2. müssen die in der Zeichnung direkt nebeneinander sein.

michaelwitzik

Ok, bitte keinen Streit bitte mal in meinen letzten Post lesen!

WebFritzi

michaelwitzik schrieb:

Geht das mit Ober und Untersumme?

Ja, oder eben nur mit Ober- bzw. Untersumme. Das ist genau das Verfahren, welches MastaH hier angedeutet hatte.

Walli

Wenn wir schon meckern...

WebFritzi schrieb:

1. sind es keine "Scheibchen" sondern (relativ flache) Zylinder

1. sind sie nicht nur relativ flach, sondern infinitesimal flach.

WebFritzi schrieb:

2. müssen die in der Zeichnung direkt nebeneinander sein.

2. hätte man sie dann nicht mehr so gut erkannt. Ich wollte die flachen Zylinder hervorheben. Tschuldigung, aber ASCII-Zeichnungen haben halt ihre Grenzen. Diese Feinheiten unterscheiden halt ein Forum von gedruckter Literatur ;).

WebFritzi

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Walli

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michaelwitzik

Gibts nich ne gute Seite wo ich mir das mal durchlesen könnte?
Ich mein die Herleitung der Rotationsköroerformel? Also ich weiß wie das geht mit Ober und Untersumme, man addiert einfach n - Zylinder, aber wie kommt man am Ende auf diese Formel? Hm, ich werd noch mal sehn.....

Walli

http://www.xsploitz.org/hosted/helpar/martin/test/artikel4/artikel4.html

michaelwitzik

Ja, da war ich auch schon, ich meinte ne Seite für die Herleitung der Rotationsformel!

WebFritzi

Also pass auf. Mal dir mal irgendeine Kurve auf. Vielleicht so:

|*
| **
|   **
|     ***
|        ****
|            ******
|-----------------+------------
0                 x[t]0[/t]

Du weißt hoffentlich, wie das gemeint ist. Jetzt teilst du das Intervall [o,x₀] in N kleine Teilstücke ein (mal dir ein Beispiel auf mit N=6 oder so). Die Länge eines jeden Teils ist dann \Delty x = x_0/N. Und dann malst du wie bei der Untersummenbildung Rechtecke ein, also vielleicht so:

|*
| **
|--|**
|  |--|**
|  |  |--|__
|  |  |  |  |**|***
|-----------------+------------
0                 x[t]0[/t]

Geht ein wenig schlecht zu malen. So, und nun lässt du diese Rechtecke um die x-Achse rotieren. Dabei entsteht für jedes Rechteck ein Zylinder, so wie ein Rad. Für jeden solchen Zylinder können wir das Volumen berechnen. Die Formel ist pi * Radius^2 * h. In diesem Falle ist der Radius der y-Wert des rechten x-Wertes, also f(x), und die Höhe ist unser $\Delta x$ . Die x-Werte sind von rechts nach links x\_1 = x\_0/N, x\_2 = 2x\_0/N, \dots, x\_N = Nx\_0/N = x_0. Das Volumen aller Zylinder zusammen ist dann

$V \approx \sum_{n=1}^N \pi f^2(x_n) \Delta x$

Je größer nun N wird, desto besser wird diese Approximation an das tatsächliche Volumen. Also folgt

$V = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \pi f^2(x_n) \Delta x$

Damit wird die Summe zum Integral, das x_n zu x und das $\Delta x$ zu dx:

$V = \int\_0^{x\_0} \pi f^2(x) dx = \pi \int\_0^{x\_0} f^2(x) dx$

michaelwitzik

Hm, weiß zwar noch nich ganz wo das $f^2$ herkommt bei der ersten Summe, aber ich kuck jetzt noch mal. Danke erstmal

lustig

das kommt von rotierten Rechtecken (den Zylindern). Die Formel für einen Zylinder ist Π*r^2*h. In diesem Fall die Höhe eines Zylinders Δx und der Radius f(x) (Vielleicht siehst du das ja auf dem Bildchen, sonst kannst du es dir ja mal aufmalen). Diese Zylinder zählst du dann zusammen.