Brauche Hilfe beim Integrieren!

Hallo,

wie kann ich diese Aufgabe berechnen ?

Bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen der Funktion f(x)=sin(x^2) und der
x Achse zwischen - π und π

Theoretisch kann ich diese Aufgabe lösen (Bestimmtes Integral) aber in diesem speziellen Fall schaffe ich es leider nicht!

Hallo

Es würde auch genügen wenn ich wüßte wie man die Aufgabe im intervall von
-pi/2 bis pi/2 berechnet (Dann fällt das blöde Nullstellensuchen weg)

scrub

mein tip: zeichne einfach mal den funktionsgraphen in ein koordinatensystem ein. dann erst weiter vorgehen.

wir hamm das thema grad in der schule angefangen (trigonometrische funktionen...)
das wichtigste ist denke ich erstmal die Nullstellen von f rauszubekommen..
meiner meinung nach sind diese für alle k>=0 sqrt(k*pi)
für alle k<0 sind sie dann ja sqrt(|k|*pi)*(-1)
dann könnte man doch das Integral von 0 bis n als summe ausdrücken und diese summe dann mit 2 Multiplizieren ( da f ja symmetrische zur y-achse ist..)

naja muss das auch erst selbst noch richtig erlernen, aber interessant ist s auf jeden fall..

Hallo,

es geht mir nicht darum, die Nullstellen zu finden (ich weiß, dass im intervall von -pi/2 bis pi keine sind.

Mir geht es darum, dass ich das INTEGRIEREN SELBST nicht hinbekomme!!!

Walli

Sicher, dass du nicht numerisch integrieren musst? Die Stammfunktion zu sin(x²) zu finden ist auf den ersten Blick schwierig bis unmöglich. Oder meinst du sin²(x)?

asmodis

Hab mal das Ding in Maple eingegeben, aber dabei ist nichts rausgekommen.
Dachte mir dann, dass es vielleicht über die Reihenentwicklung geht. Bin dann auf folgendes gekommen:
$\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Also ist
$\sin(x^2) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2(2n+1)}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{4n + 2)}}{(2n+1)!}$

Da die Reihe glm auf ganz $\mathbb{R}$ konvergiert kann man Summe und Integral vertauschen, es gilt also

$\int \sin(x^2) dx = \int \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{4n + 2}}{(2n+1)!} dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \int \frac{x^{4n + 2}}{(2n+1)!}dx$

$= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{4n + 3}}{(2n+1)!(4n+3)}$

Ob das allerdings alles stimmt?

Wenns stimmt, wäre
$\int\limits_{-k}^{k} sin(x^2) dx = 2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{k^{4n + 3}}{(2n+1)!(4n+3)}$

asmodis

Habs auch mal numerisch ausgerechnet (mit einem von mir geschriebenen Programm, also für richtigkeit keine Garantie)

Ist dann folgendes rausgekommen:
bei einer vorgegebenen genauigkeit von 1*10^(-9) kam für
$\int\limits_{-10}^{10} sin(x^2) dx$
das Ergebnis 1.1673418 heraus (dabei wurde das Intervall in ca. 9 Millionen Teilintervalle zerlegt)
Maple-Ergebnis (numerisch) : 1.167341803

Maple-Ergebnis nicht numerisch:
$\mathrm{FresnelS}\left(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\right) \cdot \sqrt{2\pi}$

borg

das integral von sin(x^2) ist nicht so ohne weiteres zu berechnen. da hat sich entweder der aufgabensteller vertan oder du hast es falsch abgeschrieben. vielleicht sin(x)^2?
da würde wenn mich mein gedächtnis nicht trübt 1/2(x-cos(x)*sin(x)) rauskommen.

Hallo,

ja mein Computerprogramm hat beim Unbestimmten Integral auch extreme Probleme, aber komischerweise nicht beim bestimmten. Welches ich ja brauche (-pi/2 bis +pi/2). Gibt es bei bestimmten Integralen irgendein Trick mit dem diese leichter zu berechnen sind als unbestimmte?

lookias

wie waers mit sustitution x^2=y dy=2*x

dann partielle integration

Jester

@lokias: hast Du das mal ausprobiert?

lookias

ups vertan muss ja mal sqrt(y)

lookias

fresnels(z) := int(sin((Pi*t^2)/2),t=0..z)

da diese funktion symmetrisch ist kann man x auch von 0 bis Pi laufen lassen

x^2 ist also auf die form Pi*t^2/2 zu briungen durch substitution

x^2=(Pi*t2)/2 <=> 2*x^2/Pi = t^2 => dx= (4*x/Pi)/(2*x^2/Pi)(1/2)

= 2*sqrt(2)/sqrt(Pi);

dann die grenzen substituieren und alles einsetzen und ausrechnen

aber ohne wissen von fresnels sollte sone aufgabe doch net gestellt werden oda?