4. Brauche Hilfe beim Integrieren!

Brauche Hilfe beim Integrieren!

  • ?

    Hallo,

    es geht mir nicht darum, die Nullstellen zu finden (ich weiß, dass im intervall von -pi/2 bis pi keine sind.

    Mir geht es darum, dass ich das INTEGRIEREN SELBST nicht hinbekomme!!!

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  • W

    Sicher, dass du nicht numerisch integrieren musst? Die Stammfunktion zu sin(x²) zu finden ist auf den ersten Blick schwierig bis unmöglich. Oder meinst du sin²(x)?

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  • A

    Hab mal das Ding in Maple eingegeben, aber dabei ist nichts rausgekommen.
    Dachte mir dann, dass es vielleicht über die Reihenentwicklung geht. Bin dann auf folgendes gekommen:
    sin(x)=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

    Also ist
    sin(x2)=∑n=0∞(−1)nx2(2n+1)(2n+1)!=∑n=0∞(−1)nx4n+2)(2n+1)!\sin(x^2) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2(2n+1)}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{4n + 2)}}{(2n+1)!}

    Da die Reihe glm auf ganz R\mathbb{R} konvergiert kann man Summe und Integral vertauschen, es gilt also

    ∫sin(x2)dx=∫∑n=0∞(−1)nx4n+2(2n+1)!dx=∑n=0∞(−1)n∫x4n+2(2n+1)!dx\int \sin(x^2) dx = \int \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{4n + 2}}{(2n+1)!} dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \int \frac{x^{4n + 2}}{(2n+1)!}dx

    =∑n=0∞(−1)nx4n+3(2n+1)!(4n+3)= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{4n + 3}}{(2n+1)!(4n+3)}

    Ob das allerdings alles stimmt?

    Wenns stimmt, wäre
    ∫−kksin(x2)dx=2∑n=0∞(−1)nk4n+3(2n+1)!(4n+3)\int\limits_{-k}^{k} sin(x^2) dx = 2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{k^{4n + 3}}{(2n+1)!(4n+3)}

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  • A

    Habs auch mal numerisch ausgerechnet (mit einem von mir geschriebenen Programm, also für richtigkeit keine Garantie)

    Ist dann folgendes rausgekommen:
    bei einer vorgegebenen genauigkeit von 1*10^(-9) kam für
    ∫−1010sin(x2)dx\int\limits_{-10}^{10} sin(x^2) dx
    das Ergebnis 1.1673418 heraus (dabei wurde das Intervall in ca. 9 Millionen Teilintervalle zerlegt)
    Maple-Ergebnis (numerisch) : 1.167341803

    Maple-Ergebnis nicht numerisch:
    FresnelS(102π)⋅2π\mathrm{FresnelS}\left(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\right) \cdot \sqrt{2\pi}

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  • B

    das integral von sin(x^2) ist nicht so ohne weiteres zu berechnen. da hat sich entweder der aufgabensteller vertan oder du hast es falsch abgeschrieben. vielleicht sin(x)^2?
    da würde wenn mich mein gedächtnis nicht trübt 1/2(x-cos(x)*sin(x)) rauskommen.

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  • ?

    Hallo,

    ja mein Computerprogramm hat beim Unbestimmten Integral auch extreme Probleme, aber komischerweise nicht beim bestimmten. Welches ich ja brauche (-pi/2 bis +pi/2). Gibt es bei bestimmten Integralen irgendein Trick mit dem diese leichter zu berechnen sind als unbestimmte?

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  • L

    wie waers mit sustitution x^2=y dy=2*x

    dann partielle integration 😉

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  • J

    @lokias: hast Du das mal ausprobiert?

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  • L

    ups vertan muss ja mal sqrt(y)

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  • L

    fresnels(z) := int(sin((Pi*t^2)/2),t=0..z)

    da diese funktion symmetrisch ist kann man x auch von 0 bis Pi laufen lassen

    x^2 ist also auf die form Pi*t^2/2 zu briungen durch substitution

    x2=(Pi*t2)/2 <=> 2*x^2/Pi = t^2 => dx= (4*x/Pi)/(2*x2/Pi)(1/2)

    = 2*sqrt(2)/sqrt(Pi);

    dann die grenzen substituieren und alles einsetzen und ausrechnen

    aber ohne wissen von fresnels sollte sone aufgabe doch net gestellt werden oda?

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