Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

TGGC

finix schrieb:

Wenn eure 50% richtig sind, dann muss im folgenden Absatz ein Fehler sein, da er im Widerspruch dazu steht; gehe also bitte einmal auf etwas ein und verrate mir wo er steckt:

[...]

Durch die Annahme dass die Wahrscheinlichkeit männlichen Nachwuchs auf die Welt zu setzen genauso groß ist wie ein Mädchen zu bekommen, und weiterhin die Tatsache dass beide Geburten unabhängig voneinander sind, ist jede dieser drei Variationen gleich wahrscheinlich.

[...]

Die drei Fälle JM/MJ/JJ, sind nicht gleichwahrscheinlich, wenn ein zufällig gewähltes Kind ein Junge ist. Wurde schon oft genug gesagt, plausibel erklärt und bewiesen.

Bye, TGGC

finix

TGGC schrieb:

Die drei Fälle JM/MJ/JJ, sind nicht gleichwahrscheinlich, wenn ein zufällig gewähltes Kind ein Junge ist. Wurde schon oft genug gesagt, plausibel erklärt und bewiesen.

Dann solltest du vielleicht mal erklären was du meinst. Vor allem was dein zufälliges wählen eines Kindes damit zu tun hat wie wahrscheinlich eine bestimmte Variation ist.

TGGC

Sorry, der Thread spackt mittlerweile wohl etwas, kein Wunder bei der Länge.

Yogibär schrieb:

Ich möchte es nun mal auf ganz einfache Weise anschaulich machen.
Es gibt die Kombinationen MJ JM JJ MM. Da wir nicht wissen ob das 1. oder das 2. Kind am Fenster steht gibt es zusätzlich nochmal vier Kombinationen:
MJ
MJ
JM
JM
JJ
JJ
MM
MM
das jeweils fettgedrucke Kind steht am Fenster. Da ein Junge am Fenster steht fallen alle Möglichkeiten bei denen M fettgedruckt ist raus. D.h. es bleiben folgende Möglichkeiten übrig.
JJ
JJ
JM
MJ
Das sind vier und nicht wie viele hier angenommen haben 3 Möglichkeiten da die Reihenfolge wichtig ist ob erstes bzw. zweites Kind am Fenster steht da sons MJ das gleiche wie JM wäre und es nur die Möglichkeit MJ und JJ gäbe wo die Wahrscheinlichkeit für Mädchen auch nur 50% ist.
Bei diesen vier Möglichkeiten ist eindeutig, dass die Wahrscheinlichkeit 50% beträgt greetz.
Hoffentlich haben die Leute es jetzt begriffen was TGGC die ganze Zeit versucht klar zu machen.

TGGC schrieb:

Deine Interpretatioon ist ja auch nicht falsch, nur die Folgerung daraus, das JM, MJ und JJ nun alle gleichwahrscheinlich sind. Denn in JJ Familien stehen viel öfter Jungen am Fenster.

TGGC|_work schrieb:

Tun sie ja auch. Daher ist JM oder MJ weniger wahrscheinlich als JJ, da dort ein Mädchen am Fenster stehen kann.

TGGC|_work schrieb:

Das tun wir, und zwar so wie es logisch ist. Wir teilen die Wahrscheinlickeiten so auf: JJ: 50%; JM: 25% und MJ 25%.

JJ ist wahrscheinlicher als JM und MJ, weil man bei JJ die doppelte Chance hat, das überhaupt erst der Junge am Fenster stand.

Nochmal folgendes, weil du gestern im IRC nicht mehr zuhören wolltest: angenommen bei der Notation xy steht das x für das ältere Kind und y für das jüngere Kind. Nun stehe j für Junge und m für Mädchen, sowie J für einen Jungen, der als erster am Fenster steht und M für Mädchen, das zuerst am Fenster steht. Es gibt folgenen Möglichkeiten:

mM
Mm
jM
Jm
mJ
Mj
jJ
Jj

Jede ist gleichwahrscheinlich. So, nun zähle...

TGGC

finix schrieb:

Dann solltest du vielleicht mal erklären was du meinst. Vor allem was dein zufälliges wählen eines Kindes damit zu tun hat wie wahrscheinlich eine bestimmte Variation ist.

Also dazu: angenommen ich verteile 'nen 32 Kartenspiel, an 16 Leute. Der Einfachheit halber habe ich perfekt verteilt, also 4 Leute haben zwei schwarze, 4 zwei rote und 8 haben eine rote, eine schwarze Karte (Hinweis rot im französischen Blatt Karo und Herz im deutschen Schellen und Herz). Nun fordere ich alle auf die Karte verdeckt zu mischen, und die unterste Karte ihres Stapel anzuschauen. Dann sollen alle mit roter Karte "hier" schreien. Für unsere Idealwelt werden genau 8 Mann antworten, die 4 mit den zwei roten Karten und noch 4 von den 8 mit den unterschiedlichen Karten (ich könnte jetzt hier abzweigen und damit den Sieg erklären...). Und das ist eben ein gewaltiger Unterschied gegenüber "Hier schreien we 'ne rote Karte hat". Da du schonmal eingesehen hast, das die Chance auf den Jungen am Fenster 50% ist kann ich dies prima als Argument verwenden, das hier eben der erste Fall gemeint sein muss. Aber nochmal zur Verdeutlichung, wäre zweiteres gemeint, so hiesse dies in allen Schwester/Bruder paaren "meldet" sich der Junge ungefragt zu Wort und rennt sofort ans Fenster. Das gibt die Aufgabenstellung aber einfach nicht her, aus der Beobachtung des Jungen kann ich nicht darauf schliessen, das in allen Familien mit Bruder und Schwester sich immer der Junge vordrängeln wird.

Bye, TGGC

nö

so, dann ist das ja komplett abgehandelt. wer veröffentlicht jetzt ein paper darüber?

pm_Snake

Immer der, der fragt

Sry aber was ist nun die Lösung?
Und warum unterscheidet man JM und MJ? Hat man hier eine Reihenfolge? wenn ja, kann es doch MJ nicht geben, da ich J (als erstes) sehe.
Somit ist für meinen Kopf p WW = 0, MJ = 0, JM = 0.5, JJ = 0.5
bin ein armer dummer schüler aber vllt ließt jemand meinen beitrag und kommentiert ihn.
thx

finix

Black Shadow__ schrieb:

Sry aber was ist nun die Lösung?

2/3

Black Shadow__ schrieb:

Und warum unterscheidet man JM und MJ? Hat man hier eine Reihenfolge? wenn ja, kann es doch MJ nicht geben, da ich J (als erstes) sehe.

Es geht um die Geburtsreihenfolge.

TGGC

finix schrieb:

Black Shadow__ schrieb:

Sry aber was ist nun die Lösung?

2/3

Falsch.

@Black Shadow: Ja, so kann man es sehen.

Bye, TGGC

TGGC

finix schrieb:

Black Shadow__ schrieb:

Sry aber was ist nun die Lösung?

2/3

Falsch.

@Black Shadow: Ja, so kann man es sehen.

Stehem die Buchstaben aber nicht in der Reihenfolge, wie Kinder am Fenster auftauchen, sondern wie sie geboren sind, ist die Verteilung so:
p WW = 0, MJ = 0.25, JM = 0.25, JJ = 0.5

Bye, TGGC

scrub

finix schrieb:

Die Nachbarn haben zwei Kinder. Die Geschlechterverteilung bei zwei Kindern kann im allgemeinen MM, MJ, JM und JJ sein. Da nun aber bekannt ist dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist, ist die Variation MM im konkreten Fall ausgeschlossen.

ja, und jetzt geh doch alle übrigen fälle mal einzeln durch:

MJ: hier stehen im schnitt ein halbes mädchen und ein halber junge am fenster.
JM: dito
JJ: hier steht im schnitt ein junge am fenster.

insgesamt stehen also 1 mädchen und zwei jungen am fenster.

jetzt sehen und wissen wir: ein junge steht am fenster.

davon entfällt ein junge auf JJ, jeweils ein halber auf MJ bzw. JM. also entfällt die hälfte auf eine kombination mit einem mädchen, die andere hälfte auf die mit einem jungen. also 50% im ergebnis.

finix

Wie kommt ihr auf diese Idee? Das ist doch Unsinn.

TGGC schrieb:

Da du schonmal eingesehen hast, das die Chance auf den Jungen am Fenster 50% ist

Das fällt wohl unter Lesekompetenz. Ich mich lediglich korrigiert, da ich dich falsch gequotet habe; ich dachte du meinst allgemein bestünde eine Chance von 50% einen Jungen in unter den zwei Kindern zu finden, obwohl sie 75% beträgt (ja, auch wenn die Summe der Jungen aller Variationen lediglich 50% der Summe aller Kinder aller Variationen ausmacht).

Wir wissen nicht warum der Junge am Fenster steht, wir wissen nicht wie groß die Chance ist dass überhaupt ein Kind am Fenster steht, wir wissen nicht wie sich das gegenüber der Wahrscheinlichkeit dass ein Mädchen am Fenster steht verhält, wir wissen nicht wie groß die Chance ist einen Jungen oder ein Mädchen auch zu sehen wenn es am Fenster steht.
Die einzig verwertbare Information ist dass ein Junge am Fenster steht, d.h. dass unter den beiden Kindern ein Junge ist.

@scrub
Ich wette dass du in deinem nächsten Leben als Regenwurm wiedergeboren wirst. Meine Chancen diese Wette zu gewinnen sollten ja gar nicht so schlecht stehen, oder? Gibt ja nur die beiden Möglichkeiten dass dieses Ereigniss eintritt oder eben nicht... 50% Chance

TGGC

finix schrieb:

Ich wette dass du in deinem nächsten Leben als Regenwurm wiedergeboren wirst. Meine Chancen diese Wette zu gewinnen sollten ja gar nicht so schlecht stehen, oder? Gibt ja nur die beiden Möglichkeiten dass dieses Ereigniss eintritt oder eben nicht... 50% Chance

Ach versuchen wir es schon mit Polemik? Nunja wenn aber ein Kind am Fenster steht, dann gibt es wirklich nur 2 Möglichkeiten, entweder es ist ein Junge, oder ein Mädchen. Oder willst du das bestreiten.

Du kannst dir natürlich nun das Leben schwer machen und noch einrechnen das 70% aller Kinder fensterscheu sind usw. Das wird aber am Ergebnis nichts ändern. Wichtig ist allein, das ich bei einer JJ Familie eine höhere Chance habe, einen Jungen am Fenster zu entdecken, als bei JM, denn es sind einfach mehr Jungen da! Daher gilt P(JM) = P(MJ); P(JM) < P (JJ) nachdem der Junge gesehen wurde. Und das ist genau was scrub (in einer vielleicht mathemathisch inkorrekten Weise) gesagt hat.

Und übrigens wissen wir tatsächlich nicht, warum der Junge am Fenster steht, daher Frage ich mich wovon hier immer wieder abgeleitet wird, das er da steht, weil er sich vor seine Schwester drängelt? Nein, er ist zufällig vor ihr da, es hätte andersrum dein können, daher schliesst man die Hälfte der JM Fälle aus!

Bye, TGGC

finix

TGGC schrieb:

finix schrieb:

Ich wette dass du in deinem nächsten Leben als Regenwurm wiedergeboren wirst. Meine Chancen diese Wette zu gewinnen sollten ja gar nicht so schlecht stehen, oder? Gibt ja nur die beiden Möglichkeiten dass dieses Ereigniss eintritt oder eben nicht... 50% Chance

Ach versuchen wir es schon mit Polemik?

Polemik? lofl.. ich wende nur eure Logik an.

TGGC schrieb:

Nunja wenn aber ein Kind am Fenster steht, dann gibt es wirklich nur 2 Möglichkeiten, entweder es ist ein Junge, oder ein Mädchen. Oder willst du das bestreiten.

Versuchen wir's jetzt selbst mit Polemik oder was? Ich hab nie bestritten das ein Kind normalerweise entweder ein Junge oder ein Mädchen ist.

TGGC schrieb:

Du kannst dir natürlich nun das Leben schwer machen und noch einrechnen das 70% aller Kinder fensterscheu sind usw. Das wird aber am Ergebnis nichts ändern. Wichtig ist allein, das ich bei einer JJ Familie eine höhere Chance habe, einen Jungen am Fenster zu entdecken, als bei JM, denn es sind einfach mehr Jungen da! Daher gilt P(JM) = P(MJ); P(JM) < P (JJ) nachdem der Junge gesehen wurde. Und das ist genau was scrub (in einer vielleicht mathemathisch inkorrekten Weise) gesagt hat.

Die Wahrscheinlichkeit dass bei JJ ein Junge am Fenster steht ist tatsächlich größer als bei JM oder MJ, da dort schlicht keine Mädchen vorhanden sind.
Aber das alles ist relativ wertlos; ihr könnt schlicht nicht sagen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist dass da ein Junge oder Mädchen steht, weil ganz einfach Informationen und Modelle fehlen.

TGGC schrieb:

Und übrigens wissen wir tatsächlich nicht, warum der Junge am Fenster steht, daher Frage ich mich wovon hier immer wieder abgeleitet wird, das er da steht, weil er sich vor seine Schwester drängelt? Nein, er ist zufällig vor ihr da, es hätte andersrum dein können, daher schliesst man die Hälfte der JM Fälle aus!

Niemand behauptet dass sich der Junge vor seine mit ~33%iger Wahrscheinlichkeit existierende Schwester drängelt. Allein ihr behauptet dass er es nicht tut und gründet eure Theorie darauf.
Man kann es schlicht nicht sagen wie groß diese Wahrscheinlichkeit war. Es fehlen die Informationen!
Vor allem: selbst wenn die Wahrscheinlichkeit dass ein Junge am Fenster steht unter den gegebenen, unbekannten, Umständen 0,3% betrug, genau dieses Ereignis ist in diesem einen konkreten Fall eingetreten.

Ein weiterer Lösungsansatz, unter zuhilfenahme eurer Taktik.

das Rätsel schrieb:

Man bekommt neue Nachbarn, eine Familie mit zwei Kindern.

Ok, da gibt es nichts zu rütteln, die Familie hat zwei Kinder.

das Rätsel schrieb:

Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

Aha. Ein Junge steht am Fenster.
Gleich mal eine Liste machen:

A := Es handelt sich um eines der Nachbarskinder
B := Es ist ein Freund eines der Nachbarskinder
C := Es handelt sich um einen Verwandten der Familie

So spontan aus dem Bauch heraus würde ich sagen dass alle weiteren Möglichkeiten (der Junge ist ein Einbrecher; man erkennt nicht dass das Kind eigentlich ein Mädchen ist das wie ein Junge aussieht; etc).

Da ich nicht wissen kann wie die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten aussehen sind alle Fälle natürlich gleich wahrscheinlich:

P(A) = 1/3
P(B) = 1/3
P(C) = 1/3

Bei B (willkürlich rausgegriffen) stellt sich natürlich die Frage ob eher Mädchen oder eher Jungen männliche Freunde haben.

D := Der Junge ist Freund eines weiblichen Nachbarkinds

Da das von vielen (mal wieder unbekannten) Faktoren abhängt nehme ich einfach folgendes ab:

P(D) = 1/2

Weiterhin ist mir nicht klar wie und warum ein Junge am Fenster steht, und wie wahrscheinlich bei Jungen das Fensterstehverhalten bei den wesentlichen Gründen für die Sichtbarkeit an irgendwelchen Fenstern unter welchen (dto, unbekannten) Umständen ist, also übernehme ich also eure Tabelle:

P(JM) = 1/4
P(MJ) = 1/4
P(JJ) = 1/2

Daraus ergibt sich

Das absolute Endergebnis schrieb:

P("Nachbarn haben ein Mädchen"|"Junge steht am Fenster")
= P(A) * P(EUER_ERGEBNIS) + P(B) * P(D)
= 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2
= 2/5

Damit sollte zweifelsfrei bewiesen sein das wir alle falsch lagen und die Wahrscheinlichkeit in Wahrheit^tm 40% beträgt.

Naja, ihr wart zumindest näher dran.

q.e.d.

dooya

Die Frage, wie oft und warum ein Junge am Fenster steht ist für die Aufgabe nicht relevant, denn in der Aufgabenstellung wird dies explizit gefordert, d.h. alle Fälle in denen ein Mädchen am Fenster steht werden a priori ausgeschlossen. Oder anders: die Frage nach dem Geschlecht des zweiten Kindes soll unter der Vorraussetzung, dass eines der beiden Kinder ein Junge ist, beantwortet werden.

Unstrittig dürfte sein, dass für Familien mit zwei Kindern immer gilt:
$\Omega = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$

mit

$P(\{M,M\}) = P(\{M,J\}) = P(\{J,M\}) = P(\{J,J\}) = .25$

Aus dem Ereignis "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge" und sei mit A bezeichnet und kann formuliert werden als:
$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

$P(A | \Omega) = P(A) = .75$

Analog zu A kann Ereignis B "mindestens ein Kind ist ein Mädchen" definiert werden:

$B = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{M\} \vee y = \{M\} \right\}$

Und offensichtlich ist
$B = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$ mit

$P(B|\Omega) = P(B) = .75$

In der Aufgabenstellung wird nun gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Mädchen unter den Kindern ist (Ereignis B), wenn man einen Jungen am Fenster sieht (Ereignis A), also

$P(B | A)$ .

Dies kann bekanntlich berechnet werden nach

$P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}$

Offensichtlich ist

$A \cap B = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} \cap \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$
$= \{\{M,J\}, \{J,M\}\}$

und natürlich ist P(A \cap = P (\{\{M,J\}, \{J,M}}\}) = .5

Also ist

$P(B | A) = \frac{.5}{.75} = .66$

_edit
Korrektur in der Herleitung von A:
Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge" ersetzt durch: aus "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge"

finix

dooya schrieb:

Die richtige Lösung, sogar in Latex

Hey, hast meine 40% widerlegt.
Wird nur leider nix bringen.

dooya schrieb:

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

warum ist das offensichtlich?
ich finde jm und mj darf nicht unterschieden werden. man beschreibt mit beidem ein und dasselbe. Somit hat man diese Wahscheinlichkeit doppelt.
eins muss gezwungenermaßen herausfliegen.
wenn wir j m und m j als reihenfolge verstehen, kann m j nicht zutreffen. man sieht ja nicht m. somit ist m j keine lösung bzw 0.
kann gut sein dass ich falsch liege.
aber dies als offensichtlich zu deklarieren finde ich falsch.
es ist ofensichtlich wenn du damit die geburtenreihenfolge beschreibst. aber beim Übertragen auf das Problem mit dem Fenster muss eines rausfliegen. s(so sehe ich das)

finix

Black Shadow__ schrieb:

dooya schrieb:

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

ich finde jm und mj darf nicht unterschieden werden. man beschreibt mit beidem ein und dasselbe. Somit hat man diese Wahscheinlichkeit doppelt.
...
es ist ofensichtlich wenn du damit die geburtenreihenfolge beschreibst. aber beim Übertragen auf das Problem mit dem Fenster muss eines rausfliegen. s(so sehe ich das)

Es ist immer noch die Geburtsreihenfolge, und es sind unterschiedliche Fälle..

finix schrieb:

Es ist immer noch die Geburtsreihenfolge, und es sind unterschiedliche Fälle..

wenn jm und mj zwei unterschiedlichen fälle sind, kann ein fall nicht zutreffen. oder kannst du diese fälle in bezug auf das fensterproblem verbal darstellen (nich mit mathematischen xy schnickschnak) und deren unterschiede zeigen?
meine meinung: egal ob jm oder mj - in beidn fällen gibt es 1 junge und 1 mädchen. sie sind identisch. entweder man schmeißt eins raus oder p ist die hälfte im vergleich zu jj.