Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

Plotter

@CStoll
Deine Auflistung kannst du rauchen, sie schiesst am Ziel vorbei.
Erst soll heissen, das erstgeborene. Also zuerst kam ein Junge auf die Welt, als zweites ein Mädchen. Im anderen Fall kommt zuerst das Mädchen auf die Welt, dann der Junge.
Ausserdem musst du die Kinder auch nicht unterscheiden, da es für die Aufgabe nicht relevant ist. Und sobald du sie unterscheiden kannst, dann kennst du sie wohl und dann ist die Aufgabe eh für die Katz. So, wie weit kommst du nun? Können wir eine Zeile weiter debuggen?

Jester schrieb:

CStoll schrieb:

Erster Punkt - woran definierst du "erst"?

Ganz einfach: Die Kinder sind in natürlicher Weise zum Beispiel nach ihrem Alter geordnet.

Ja, man kann sie aber eben auch nach dem Faktor ordnen, unter dem eines der Kinder bestimmt wurde. Wie wir festgestellt haben, handelt es sich ja um einen Fall, wo wir das Geschlecht eines bestimmtes Kindes (das am Fenster) erfahren.

Bye, TGGC (Fakten)

Plotter

Kann man, hat aber auf die Rechnung keinen Einfluss. Denn die Verteilung ist nach wie vor gegeben.

Jester

Dann sind aber die Fälle nicht gleichwahrscheinlich.

Sortieren wir mal nach Alter, dann gibt es vier gleichwahrscheinliche Fälle:

m/m
m/w
w/m
w/w

Die beiden mittleren fallen aber unter der andere Sortierung zum Fall
m/w zusammen (der Junge ist ja x)

Damti ist dieser Fall doppelt so wahrscheinlich wie der andere verbleibende.

Plotter

Jeder dieser 4 Fälle ist gleich wahrscheinlich, oder es ist doppelt wahrscheinlich, ein Junge und ein Mädchen zu haben (halt beide Geburtsfolgen), wie zwei Jungs, oder zwei Mädchen.

CStoll

Plotter schrieb:

Ausserdem musst du die Kinder auch nicht unterscheiden, da es für die Aufgabe nicht relevant ist.

Falsch: Ich kann sie sehr wohl unterscheiden in "Das Kind am Fenster" und "das andere Kind".

Deine Auflistung kannst du rauchen, sie schiesst am Ziel vorbei.

Nein, macht sie nicht. Du hast schließlich zwei verschiedene Zufallsereignisse, die du auch gesondert betrachten mußt:

zwei Kinder werden geboren (könnte man noch weiter aufsplitten)
eins der Kinder steht am Fenster

Jester schrieb:

Dann sind aber die Fälle nicht gleichwahrscheinlich.

Sortieren wir mal nach Alter, dann gibt es vier gleichwahrscheinliche Fälle:

m/m
m/w
w/m
w/w

Die beiden mittleren fallen aber unter der andere Sortierung zum Fall
m/w zusammen (der Junge ist ja x)

Damti ist dieser Fall doppelt so wahrscheinlich wie der andere verbleibende.

Wieso sollten unter einer anderen eindeutigen Sortierung Fälle zusammenfallen?

Bye, TGGC (Fakten)

Plotter

Gehen wir zurück zu meiner Liste. Bist du mit Punkt 1 inzwischen einverstanden?

Jester

Okay, es kann nicht Deine Lösung und die richtige Lösung richtig sein, schließlich liefern sie zwei verschiedene Ergebnisse. Zeig uns doch erstmal warum die richtige Lösung falsch ist, danach schaun wir dann, warum Deine Lösung richtig sein sollte, okay?

Bitte liefert eine widerspruchsfreie Lösung für den allgemeinen Fall, die das 2/3 Ergebnis nicht ad absurdum führt. (Achtung, es gibt sie nicht.)

Bye, TGGC (Fakten)

Plotter

Gehen wir zurück zu meiner Liste. Bist du mit Punkt 1 inzwischen einverstanden?

CStoll

Sorry, bei 70 Seiten habe ich etwas den Überblick verloren - welches war die "richtige" Lösung?

Ich habe weiter erklärt, wo der Denkfehler in Plotters 6-Punkteplan liegt. Lest es.

Bye, TGGC (Fakten)[/quote]

Plotter

@Jester
Für welche Lösung plädierst du inzwischen? Hab den Faden bei dir etwas verloren

@TGGC
Ich glaube, wir müssten dir mal 1:1 vorführen, was ich da geschrieben habe. Wo genau stimmst du mit meiner Erklärung nicht überein?

Plotter

TGGC|_work schrieb:

Wenn man den Jungen am Fenster gesehen hat, dann geschah es, so wie es die Aufgabe beschreibt, einfach aus purem Zufall.

Richig, und hier war es jetzt halt Zufall, dass wir einen Jungen gesehen haben.

TGGC|_work schrieb:

Das man einen Jungen am Fenster sieht, geschieht mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit.

Das mag ja sein, aber das Ereignis ist bereits eingetroffen, in der Aufgabe wird nicht gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass man einen Jungen am Fenster sieht, sondern das Ereignis wurde bereits bekannt gegeben. Darum entfällt diese Rechnung.

Plotter schrieb:

Das mag ja sein, aber das Ereignis ist bereits eingetroffen[...] Darum entfällt diese Rechnung.

Falsch.

[quote="Plotter]@TGGC
Ich glaube, wir müssten dir mal 1:1 vorführen, was ich da geschrieben habe. Wo genau stimmst du mit meiner Erklärung nicht überein?[/quote]Das habe ich doch beschrieben.

Bye, TGGC (Fakten)

Plotter

Warum? Hast du in der Schule bei einer Aufgabe auch immer noch gefragt, unter welchen Umständen diese Frage zu Stande kommt? Und wie die Wahrscheinlichkeit ist, dass es zu dieser Fragestellung kommt?

Nein, du sagst einfach nur falsch. Ich frage nochmals, ab welchem Punkt ist es nicht mehr richtig?

Plotter

Ich darf vielleicht nochmals zusammenfassen: Der grosse Knackpunkt ist das erscheinen des Jungen am Fenster.

Die Aufgabe lautet wie folgt: "Man bekommt neue Nachbarn, eine Familie mit zwei Kindern. Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?"

Es gibt dazu zwei Meinungen:
TGGC meint, dass das erscheinen des Jungen Zufall ist, es könnte auch genausogut ein Mädchen sein (da Chance 50:50). Jedenfalls ist dieser Teil der Aufgabe derart unsicher beschrieben, dass man ihn als nicht gegeben ansehen darf (habe ich das gut gesagt? ). Daraus folgt eine Wahrscheinlichkeit von 50%.

Ich sage, dass der Junge aufgrund seines erscheinens gegeben ist, ohne wenn und aber, da es halt eine Tatsache ist. Aus diesem Grund entfällt die Möglichkeit von zwei Mädchen, und für mich ergibt sich aus den oft beschriebenen Gründen eine Wahrscheinlichkeit von 66.7%

Dies einfach nochmal, um unsere unterschiedlichen Standpunkte zu definieren.

Nein, du hast die Argumentation nicht gelesen oder verstanden.

Bye, TGGC (Fakten)

dooya

[quote="Jester"]

Plotter schrieb:

[...]
Wenn Du das damit ansetzt und rechnest kommst Du auf die 1/2-Lösung. Die Interpretation der Aufgabenstellung ist hier seit 65 Seiten das große Problem. Einige behaupten, die Information sei nur: es ex. ein Junge, andere lesen irgendwoher eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für am Fenster stehende Kinder.
[...]

Ich habe nochmal drüber nachgedacht und vermute, dass das Problem vielleicht ein anderes ist. Der Grund für die zwei unterschiedlichen Lösungen ist nicht, dass die beiden "Fraktionen" die Aussage

Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen

anders interpretieren, sondern dass diese Aussage in der "1/2-Lösung" gar nicht genutzt wird.

Folgende Überlegung brachte mich zu dieser Einschätzung.

Wenn eine Information für die Aufgabenlösung relevant ist bzw. verwendet wird, sollte sich die Veränderung eben dieser Information im Ergebnis der Aufgabenlösung niederschlagen.

Für die für uns relevante Information kann man 3 verschiedene Ausprägungen feststellen:

(1) Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen (wie in der Aufgabenstellung)
(2) Nun sieht man am Fenster einen Mädchen stehen (Gegenteil der Aufgabenstellung)
(3) Nun sieht man am Fenster einen Kind stehen (keine zusätzliche Information vorhanden; maximale Unsicherheit, alternativ könnte man den Satz auch einfach weglassen)

Rechnet man diese 3 Möglichkeiten nun für beide Lösungswege durch ergibt sich:

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?
1/2-Lösung:
ad. 1) das andere Kind ist ein Mädchen mit P = 1/2
ad. 2) das andere Kind ist ein Mädchen mit P = 1/2
ad. 3) das andere Kind ist ein Mädchen mit P = 1/2

(Sollte ich mich bei diesen Lösungen vertan haben, wäre ich für einen entsprechenden Hinweis dankbar.)

Die Ergebnisse der 1/2-Lösung bleiben also -sollte ich mich nicht verrechnet haben- gegenüber der Variation der "Fenster Information" invariant; egal ob man einen Jungen oder ein Mädchen sieht, oder das Geschlecht des einen Kindes gar nicht festellen kann, das Ergebnis bleibt immer bei 1/2. Dies lässt sich in meinen Augen als Nichtbenutzen selbiger Information interpretieren.

2/3-Lösung
ad. 1) das andere Kind ist ein Mädchen mit P = 2/3
ad. 2) das andere Kind ist ein Mädchen mit P = 1/3
ad. 3) das andere Kind ist ein Mädchen mit P = 1/2

Hier ist es offensichtlich, dass es sehr wohl einen Unterschied macht, ob man ein Mädchen oder einen Jungen am Fenster sieht; das Wissen über das Geschlecht des Kindes am Fenster hat also eine Bedeutung. Wenn jedoch, wie im Fall (3), keine zusätzliche Information verfügbar ist, ergibt sich für diesen Lösungsweg 1/2, was nicht verwunderlich ist, denn ohne zusätzliches Wissen verharren wir im Zustand der maximalen Unsicherheit. Insbesondere wird hier deutlich, dass die 1/2-Lösung ein Sonderfall der 2/3-Lösung sein dürfte, nämlich für genau den Fall dass keine zusätzliche Information vorhanden ist bzw. verwendet wird.