4. Probleme bei der Bestimmung eines MTM

Probleme bei der Bestimmung eines MTM

  • W

    Hi,
    ich habe heute versucht das Massenträgheitsmoment eines Zylindermantels um die zur Körperachse senkrechte Achse zu bestimmen. Die Dicke der Mantelfläche beträgt δ≪R,L\delta \ll R, L.

    Mein Ansatz war folgender:

    \[\Theta\_y = \int r^2 dm = \int\_{-L/2}^{L/2} \int\_0^{2\pi} (x^2+R^2)~\rho~\delta~R~d\varphi~dx = 2\pi~\rho~\delta~R \int\_{-L/2}^{L/2}(x^2+R^2)~dx \]

    \[=2\pi~\rho~\delta~R(R^2~L+\frac{1}{12}L^3)=2\pi~\rho~\delta~R~L(R^2+\frac{1}{12}L^2)=m(R^2+\frac{1}{12}L^2)\]

    Laut Wikipedia kommt aber was anderes raus (m R22+m L212)\left(\frac{m~R^2}{2}+\frac{m~L^2}{12}\right). Ich habe nun schon 3 Mal drüber geschaut, finde aber keinen Fehler.

    Wo habe ich etwas falsch gemacht?

    Gruß,
    Christian

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  • F

    Hmm, habe sowas zwar noch nie gemacht (also nicht wundern, wenn jetzt nur Unsinn kommt), aber ich glaube dein Ansatz ist falsch.

    Der Abstand von der Drehachse ist IMHO z2+r2sin2ϑ\sqrt{z^2+r^2\sin^2 \vartheta} und nicht z2+r2\sqrt{z^2+r^2}(Ist ja der Abstand vom Ursprung). Wenn du jetzt damit weiterrechnest kommt auch das Gewünschte raus, könnte aber Zufall sein ...

    Edit: OMG, viele Fehler.

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  • F

    Sorry, war eben etwas in Eile. So habe ich gerechnet:

    Θ_y=ρδ∫_02π∫−L2L2(z2+R2sin2ϑ)Rdzdϑ=ρδ(πR3L+16πRL3)\Theta\_y = \rho \, \delta \int \_{0}^{2\,\pi }\!\int _{-\frac L 2}^{\frac L 2}\! \left( z^2+R^2 \sin^2 \vartheta \right) R{dz}\,{d \vartheta}= \rho \, \delta (\pi R^3L +\frac 1 6 \pi RL^3)

    =ρδ2πLR(12R2+112L2)= \rho \, \delta 2 \pi L R (\frac 1 2 R^2 + \frac 1 {12} L^2)

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  • W

    Danke fubar, das war es 🙂 ! Ich hatte wohl mal wieder ein kleines Brett vorm Kopf.

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