Schwieriges Rätzel für mathematisch Interessierte...

[fubar]

lookias schrieb:

e^1=\lim{x \to \infty}(1+1/n)^n$

e\_n(x) := (1+\frac x n )^n, \; E\_n(x) := \sum _{k=0}^n \frac {x^k} {k!}$ Dann wird die exp-Fkt. def. durch: $exp(x) = \lim _{n \to \infty}e\_n(x)= \lim \_{n \to \infty} E_n(x)$

[scrub]

lookias schrieb:

na gut das ist dann ansichtssache aber sicher nicht ganz legitim

weil ohne taylor und die ableitungen auch keine reihe

und ohne reihe auch nicht die besagte ableitung

wenns ansichtssache ist, warum ists dann nicht legittm?

Das Repetitorium der höheren Mathematik (aka schrieb:

3.3
[...]
Neben der strengen Definition der trigonometrischen Funktionen durch unendliche Reihen gibt es die anschauliche Definition mittels rechtwinkliger Dreiecke am Einheitskreis.

desweiteren ist es blödsinn, zu behaupten, daß zuerst das dreieck und dann die taylorreihe da war.

[lookias]

$e^x=lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n$
das ist bloedsinn selbst euler wusste nicht was e^x ist wenn x nicht aus$\mathbb{Z}$
ist

[lookias]

scrub schrieb:

lookias schrieb:

na gut das ist dann ansichtssache aber sicher nicht ganz legitim

weil ohne taylor und die ableitungen auch keine reihe

und ohne reihe auch nicht die besagte ableitung

wenns ansichtssache ist, warum ists dann nicht legittm?

Das Repetitorium der höheren Mathematik (aka schrieb:

3.3
[...]
Neben der strengen Definition der trigonometrischen Funktionen durch unendliche Reihen gibt es die anschauliche Definition mittels rechtwinkliger Dreiecke am Einheitskreis.

desweiteren ist es blödsinn, zu behaupten, daß zuerst das dreieck und dann die taylorreihe da war.

naja fuer mich ist es nicht legitim wenn man das ganze von hinten aufrollt denn irgendwie ist doch die entstehung der ganzen sache wichtig um die gedankengaenge nachzuvollziehen

und diese potenzreihen sind alle durch die taylorformel entstanden welche nunmal nicht ohne das wissen der ableitung auskommt

nun laesst sich natuerlich darueber streiten ob man jemanden das so erklaehrt

um solchen umwegen wie potenzreihen (was zb an dewr fh nicht gelehrt wird da es zu schwer ist) aus dem weg zu gehen

oder ob man doch eher versucht den leuten ein verstaendnis fuer mathe zu geben

[fubar]

lookias schrieb:

und diese potenzreihen sind alle durch die taylorformel entstanden welche nunmal nicht ohne das wissen der ableitung auskommt

Hast du dir die anderen Beiträge eigentlich durchgelesen? Guck dir doch die Definition der Expfkt. an, dann siehst du, daß du für die Ableitung KEINE Taylorreihe benötigst.

lookias schrieb:

(was zb an dewr fh nicht gelehrt wird da es zu schwer ist)

Das meinst du doch nicht ernst? Wie kommst du zu solchen Verallgemeinerungen?

[fubar]

lookias schrieb:

$e^x=lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n$
das ist bloedsinn selbst euler wusste nicht was e^x ist wenn x nicht aus$\mathbb{Z}$
ist

Was ist Blödsinn? Mag ja sein, daß Euler das nicht wußte, aber was hat das mit der Formel zu tun. Seit Euler hat sich in der Mathematik durchaus ein wenig geändert.

[lookias]

fubar schrieb:

lookias schrieb:

$e^x=lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n$
das ist bloedsinn selbst euler wusste nicht was e^x ist wenn x nicht aus$\mathbb{Z}$
ist

Was ist Blödsinn? Mag ja sein, daß Euler das nicht wußte, aber was hat das mit der Formel zu tun. Seit Euler hat sich in der Mathematik durchaus ein wenig geändert.

und?

[lookias]

fubar schrieb:

lookias schrieb:

und diese potenzreihen sind alle durch die taylorformel entstanden welche nunmal nicht ohne das wissen der ableitung auskommt

Hast du dir die anderen Beiträge eigentlich durchgelesen? Guck dir doch die Definition der Expfkt. an, dann siehst du, daß du für die Ableitung KEINE Taylorreihe benötigst.

lookias schrieb:

(was zb an dewr fh nicht gelehrt wird da es zu schwer ist)

Das meinst du doch nicht ernst? Wie kommst du zu solchen Verallgemeinerungen?

I: und wie siehts mit cos aus?

II: Stimmts denn?

[scrub]

Die Bibel schrieb:

Potenzreihen und Taylorentwicklung
Bei gleichem Entwicklungspunkt $x_0$ stimmen Potenzreihenentwicklung und Taylorreihenentwicklung einer Funktion $f$ überein.
Sofern möglich, benutzt man daher für Taylorreihenentwicklungen nicht die Definition, sondern lieber bereits bekannte Potenzreihendarstellungen.

das heißt für mich, daß erst die potenzreihendarstellung "da war" (und so war es in der vorlesung und in der reihenfolge stehts auch in der bibel).
deine argumentation ist also insofern nicht allzu stabil.

[lookias]

stabil war das vor 2 tausend jahren auch noch nicht

nur wenn man mit taylor die ableitung von cos berechnet kann man sie sich auch gleich merken

das kommt dann dem auswendiglernen von telefonbuechern gleich

wenn naemlich die reihe als erstes dagewesen waere dann waeren die zusammenhaenge danach gekommen und so funktioniert mathematik nunmal nicht

man kann sich durch reihenfolge natuerlich ne menge einfach machen wenn man nem anfaenger was klar machen will

nur ist der weg von a nach b dann nicht nachzuvollziehen

[Gast]

@lookias
Es gibt Mittel und Wege die Koeffizienten in der Taylorentwicklung OHNE die Ableitung zu definieren und zu berechnen. Oben wurde doch bereits ein Beispiel gegeben. Viele Potenzreihen bekannter Funktionen können auch ganz ohne das Wissen vom Taylorsatz hergeleitet werden.
Außerdem benötigt man für die Taylorentwicklung nur den WERT von Funktion und Ableitungen an EINEM Punkt.

Es ist also durchaus ein legitimer Weg die Reihe Gliedweise abzuleiten (falls möglich natürlich) um Zusammenhänge zu beweisen oder zu neuen Informationen zu kommen. Es kommt eben ganz darauf an wie der Dozent bzw Autor vorgeht aber es ist kein Zirkelschluss wie du meinst.

(was zb an dewr fh nicht gelehrt wird da es zu schwer ist)

Uff...

[lookias]

klingt logisch

und mir ist das auch egal ob sich jemand mit irgendwelchen formeln begnuegt oder doch lieber hintergruende erfragt

[scrub]

D1BAKEL schrieb:

Was mich noch brennend interessiert: Wie leitet man ne Summe ab? Wie geht man mit Fakultäten um?

also hier werden keine hintergründe gefragt.

mal davon abgesehen, daß es für alle nicht-matehmatiker ziemlich müßig sein dürfte, der geschichte der darstellung der funktionen und reihen nachzuforschen, um herauszufinden, was zuerst da war.

[lookias]

wie gesagt das geht schon beim flaecheninhalt vom kreis los

vielleicht sollte sich da der lehrer dann gedanken darueber machen ob es ueberhaupt sinnvoll ist mit solchen reihen im unterricht zu kommen

denn ohne weitere betrachtungen, bleibt einem jeden der keine ahnung von taylor hat, nur der blick auf eine reihe die dann keinen sinn macht.

wo schulmathematik ja eher nur anschauungsmathematik ist

[Jester]

lookias schrieb:

denn ohne weitere betrachtungen, bleibt einem jeden der keine ahnung von taylor hat, nur der blick auf eine reihe die dann keinen sinn macht.

Wozu in aller Welt braucht man Taylor für die Reihe?
Man kann Reihen auch ohne sehr gut untersuchen.

[lookias]

jo trotzdem ist die cos reihe durch taylor reihenentwicklung mit hilfe von der bekannten ableitung entstanden

untersuchung hin oder her
:p

[scrub]

lookias schrieb:

jo trotzdem ist die cos reihe durch taylor reihenentwicklung mit hilfe von der bekannten ableitung entstanden

mal ganz plakativ gefragt: woher weißt du das so genau? warst du dabei, damals, du weißt schon?

[Jester]

@lookias:
In der Vorlesung die ich gehört habe wurde der cos durch diese Reihe definiert. Das hat übrigens den riesigen Vorteil, daß man ihn auch leicht komplex definieren kann. Wie genau hab ich mir nochmal so ein rechtwinkliges Dreieck mit komplexen Eckpunktkoordinaten vorzustellen?