Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[pumuckl]

Irgendeine beliebige Formel anzuwenden, die einem gerade in den Kopf kommt, ist nicht mathematisch. Eine Logisch begründete formulierung und Lösung des Problems ist mathematisch. und da kommt nunmal immer 1/2 bei raus.

[TGGC]

Jester schrieb:

Ich habe ja weiter vorne schon erläutert, wie ich die Aufgabe verstehe:
Einer wirft zwei Münzen und muß danach sagen, ob mindestens einmal Kopf dabei war. (So ist mein Verständnis der Information, daß man einen Jungen sieht, man weiß dann nämlich, daß er existiert).

Das ist falsch.

@Stammtischler: Siehe mein Gedankenspiel oben, welches viel klarer ist. Wenn man ein Kind beliebigen Geschlechts am Fenster sieht, ist die Chance SB/BS plötzlich grösser als BB/SS, wo sie doch vorher gleich waren. Das nur weil man ein Kind am Fenster gesehen hat.

Wie oft muss ich eigentlich einen Jungen sehen, bis ich mir zu 75% sicher sein kann, das es zwei (nichtunterscheidbare) Jungen gibt? Sobald ich dann einmal Mädchen sehe, weiss ich ja JM oder MJ. Nach Eurer Theorie ist selbst nachdem mir meine Nachbarin 10 Jahren lang erzählt hat, sie hat heut wieder nur einen Jungen am Fenster gesehen, die Chance auf ein Mädchen in der Familie 2/3.

Bye, TGGC

[MisterX]

Boar, das hätte ich nicht für möglich gehalten:
Ich bin der selben Meinung wie TGGC

[volkard]

MisterX schrieb:

Boar, das hätte ich nicht für möglich gehalten:
Ich bin der selben Meinung wie TGGC

ich bleibe da mal linientreu und anderer meinung als TGGC.

Wie oft muss ich eigentlich einen Jungen sehen, bis ich mir zu 75% sicher sein kann, das es zwei (nichtunterscheidbare) Jungen gibt? Sobald ich dann einmal Mädchen sehe, weiss ich ja JM oder MJ. Nach Eurer Theorie ist selbst nachdem mir meine Nachbarin 10 Jahren lang erzählt hat, sie hat heut wieder nur einen Jungen am Fenster gesehen, die Chance auf ein Mädchen in der Familie 2/3.

<ironie>hast recht. ich vergaß, daß auch die münze eine viel viel höhere wahrsceinlichkeit hat, zahl zu zeigen, wenn sie 10 jahre lang jeden tag zahl zeigte. </ironie>

[TGGC|_work]

b7f7 schrieb:

Das Einzige was man aus der Aufgabe herleiten kann ist das Mädchen,Mädchen nicht mehr möglich ist. Daher muss sich die Wahrscheinlichkeit auf die restlichen 3 Möglichkeiten verteilen, von denen 2 Möglichkeiten gut für Junge,Mädchen sind.

Das tun wir, und zwar so wie es logisch ist. Wir teilen die Wahrscheinlickeiten so auf: JJ: 50%; JM: 25% und MJ 25%.

JJ ist wahrscheinlicher als JM und MJ, weil man bei JJ die doppelte Chance hat, das überhaupt erst der Junge am Fenster stand.

Nochmal folgendes, weil du gestern im IRC nicht mehr zuhören wolltest: angenommen bei der Notation xy steht das x für das ältere Kind und y für das jüngere Kind. Nun stehe j für Junge und m für Mädchen, sowie J für einen Jungen, der als erster am Fenster steht und M für Mädchen, das zuerst am Fenster steht. Es gibt folgenen Möglichkeiten:

mM
Mm
jM
Jm
mJ
Mj
jJ
Jj

Jede ist gleichwahrscheinlich. So, nun zähle...

@MisterX: Logisch, weil ich recht hab. Weitere Diskussion ist damit ja unnötig...

Bye, TGGC

[TGGC|_work]

volkard schrieb:

Wie oft muss ich eigentlich einen Jungen sehen, bis ich mir zu 75% sicher sein kann, das es zwei (nichtunterscheidbare) Jungen gibt? Sobald ich dann einmal Mädchen sehe, weiss ich ja JM oder MJ. Nach Eurer Theorie ist selbst nachdem mir meine Nachbarin 10 Jahren lang erzählt hat, sie hat heut wieder nur einen Jungen am Fenster gesehen, die Chance auf ein Mädchen in der Familie 2/3.

<ironie>hast recht. ich vergaß, daß auch die münze eine viel viel höhere wahrsceinlichkeit hat, zahl zu zeigen, wenn sie 10 jahre lang jeden tag zahl zeigte. </ironie>

Klar. Die Münzen werden ja nur einmal geworfen und man sieht hin und wieder eine von beiden. Sieht man 100 mal Zahl, ist die Chance hoch das beide Zahl sind. Sonst hätte man jedes mal nur die eine mit der Zahl gesehen, dazu wäre die Chance 1:2^100.

Bye, TGGC

[volkard]

TGGC|_work schrieb:

@MisterX: Logisch, weil ich recht hab. Weitere Diskussion ist damit ja unnötig...

sagen wir es mal eingeschränkter. deine lösung ist nicht falsch.
und die andere lösung ist ebenfalls nicht falsch.

das ist wie die rechenaufgabe "x*0=0" und der eine sagt x=5 und der andere sagt x=7. beide haben recht.

[volkard]

ich kenne keine münze, die auf beiden seiten zahl hat. mußt du nicht auch das noch einrechnen, daß realexistierende münzen nunmal die besondere eigenschaft haben, auf einer seite zahl und auf der anderen seite kopf/wappen zu haben?

[b7f7]

volkard schrieb:

<ironie>hast recht. ich vergaß, daß auch die münze eine viel viel höhere wahrsceinlichkeit hat, zahl zu zeigen, wenn sie 10 jahre lang jeden tag zahl zeigte. </ironie>

man könnt fast annehmen das die Münze eine Fehlprägung ist und Beidseitig Zahl hat?

[volkard]

b7f7 schrieb:

volkard schrieb:

<ironie>hast recht. ich vergaß, daß auch die münze eine viel viel höhere wahrsceinlichkeit hat, zahl zu zeigen, wenn sie 10 jahre lang jeden tag zahl zeigte. </ironie>

man könnt fast annehmen das die Münze eine Fehlprägung ist und Beidseitig Zahl hat?

ab wann soll man das annehmen. ab einem wurf? ab 10 würfen? ab 100 würfen? vielleicht reichen 100000 würfe nicht aus, um eine fehlprägung eines euros glaubwürdig zu machen, weil es einfach keine gibt. vielleicht reichen 5 würfe aus, um eine fehlprägung eines texanischen dollars aus dem vorletzten jahrhundert glaubhaft zu machen?
mit dem wissen über die münze ändert sich also die wahrscheinlichkeit, die ich annehmen muss. aber ihr seid so vermessen, völlig ohne zusatzwissen einfach etwas anzunehmen und dan ganz mathematisch zu tun und einen scheiß auszurechnen. die mädchen-jungen-aufgabe bleibt uneindeutig. ich gebe euch recht, daß man nach 10 jahren und jedem tag zahl als normaler mensch doch annehmen sollte, daß die münze eine fehlprägung ist. aber aber ganz ganz sicher bin ich nicht. mit welcher wahrscheinlichkeit soll ich fehlprägung annehmen und mit welcher wahrscheinlichkeit soll ich korrrekte münze annehmen? dann rechne ich beide lösunen aus und gewichte mit den wahrscheinlichkeiten und das gewichtete mittel ist die echte lösung.

um genau zu sein, ihr schwappt ruckartig, unstetig von JJ, JM, MJ, MM nach JJ, JM, MJ, sobald ihr einen nachweis habt, daß MM nicht sein kann. mit diesem unglaubhaften ruck erzeugt man 2/3. und die anderen bewegen sich gar nicht und bleiben bei 1/2. und wer sich ein wenig bewegen würde, bekäme eine lösung dazwischen.

[TGGC|_work]

volkard schrieb:

mußt du nicht auch das noch einrechnen, daß realexistierende münzen nunmal die besondere eigenschaft haben, auf einer seite zahl und auf der anderen seite kopf/wappen zu haben?

Das tun wir ja die ganze Zeit, nennt sich bedingte Wahrscheinlichkeit.

Anderes Experiment. 100 neue "gleichverteilte" Nachbarn ziehen ein. Nach der Wahrscheinlichkeit schauen logsicherweise 50 Jungen und 50 Mädchen raus. Du siehst nur einen der 50 Jungen. Die Chance ist eindeutig 25:25 da es 25 Brüderpaare gibt.

Also wer es jetzt immer noch nicht begreift, dem ist vermutlich nicht zu helfen...

Bye, TGGC

[ungeholfen]

[Neescher]

@volkard:

Du sagst, also folgendes: Wenn ich ein Kind am Fenster sehe, ist die Chance 2/3, dass das andere Kind vom anderen Geschlecht ist?

[Neescher]

net schrieb:

borg schrieb:

ich fasse zusammen:
man wirft solange 2 münzen bis mindestens eine kopf zeigt, die chance für kopf-zahl/zahl-kopf ist 2/3.
man wirft solange 2 münzen bis mindestens eine kopf zeigt, die chance das die andere münze zahl zeigt ist 1/2.
jetzt nochmal die aufgabenstellung:

Man bekommt neue Nachbarn, eine Familie mit zwei Kindern. Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

jetzt ist es eine frage des textverständnisses ob man es als fall 1 oder 2 interpretiert. gemeint vom autor wurde wohl fall 1.

nö, fall 2 ist nicht gemeint. stell dir mal vor du wirfst 99 mal kopf hintereinander, wie hoch ist die wahrscheinlichkeit, dass das du beim 100.ten wurf auch kopf wirfst? 1/2? niemals!

Auch wenn's inzwischen indirekt beantwortet wurde: Doch, die Chance ist 50%, dass du Kopf wirfst...

[Brutus]

Neescher, glaubst du eigtl. immernoch, dass MJ das gleiche wie JM ist?

[Neescher]

Es kommt auf die Aufgabe an. Spielt die Reihenfolge bzw. das Alter der Kinder keine Rolle, ist MJ das gleiche wie JM.

[Neescher]

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;

namespace Wahrscheinlichkeit
{
	class Program
	{
		static void Main(string[] args)
		{
			Random rdm = new Random();

			int count_Kind1_am_Fenster = 0;
			int count_Kind2_am_Fenster = 0;

			int count_MM = 0;
			int count_MF = 0;
			int count_FM = 0;
			int count_FF = 0;

			int count_AnderesGeschlechtWieAmFenster = 0;
			int count_GleichesGeschlechtWieAmFenster = 0;

			int Kind1_Geschlecht;
			int Kind2_Geschlecht;

			const int Male = 0;
			const int Female = 1;

			for (int i = 0; i < 1000000; ++i)
			{
				Kind1_Geschlecht = rdm.Next() % 2;
				Kind2_Geschlecht = rdm.Next() % 2;

				int Kind_Am_Fenster = rdm.Next() % 2;
				if (Kind_Am_Fenster == 0)
					++count_Kind1_am_Fenster;
				else
					++count_Kind2_am_Fenster;

				if (Kind1_Geschlecht == Male)
				{
					if (Kind2_Geschlecht == Male)
					{
						++count_MM;
						++count_GleichesGeschlechtWieAmFenster;
					}
					else
					{
						++count_MF;
						++count_AnderesGeschlechtWieAmFenster;
					}
				}
				else
				{
					if (Kind2_Geschlecht == Male)
					{
						++count_FM;
						++count_GleichesGeschlechtWieAmFenster;
					}
					else
					{
						++count_FF;
						++count_AnderesGeschlechtWieAmFenster;
					}
				}
			}
			Console.WriteLine("Kind 1 am Fenster: " + count_Kind1_am_Fenster.ToString());
			Console.WriteLine("Kind 2 am Fenster: " + count_Kind2_am_Fenster.ToString());
			Console.WriteLine();
			Console.WriteLine("M/M: " + count_MM.ToString());
			Console.WriteLine("M/F: " + count_MF.ToString());
			Console.WriteLine("F/M: " + count_FM.ToString());
			Console.WriteLine("F/F: " + count_FF.ToString());
			Console.WriteLine();
			Console.WriteLine("Anderes Geschlecht: " + count_AnderesGeschlechtWieAmFenster.ToString());
			Console.WriteLine("Gleiches Geschlecht: " + count_GleichesGeschlechtWieAmFenster.ToString());
			Console.Read();
		}
	}
}

Output:

Kind 1 am Fenster: 499717
Kind 2 am Fenster: 500283

M/M: 249682
M/F: 249905
F/M: 249254
F/F: 251159

Anderes Geschlecht: 501064
Gleiches Geschlecht: 498936

Das ist jetzt fuer beide Geschlechter. Wenn wir jetzt nur die Welten zaehlen, in denen ein Junge (wird mir wohl jeder zustimmen, dass das 50% sind) am Fenster steht, bleiben die Wahrscheinlichkeiten ja gleich. Also 50%, dass das andere Kind vom gleichen Geschlecht ist.

Neescher

[b7f7]

volkard schrieb:

b7f7 schrieb:

volkard schrieb:

<ironie>hast recht. ich vergaß, daß auch die münze eine viel viel höhere wahrsceinlichkeit hat, zahl zu zeigen, wenn sie 10 jahre lang jeden tag zahl zeigte. </ironie>

man könnt fast annehmen das die Münze eine Fehlprägung ist und Beidseitig Zahl hat?

ab wann soll man das annehmen. ab einem wurf? ab 10 würfen? ab 100 würfen? vielleicht reichen 100000 würfe nicht aus, um eine fehlprägung eines euros glaubwürdig zu machen, weil es einfach keine gibt. vielleicht reichen 5 würfe aus, um eine fehlprägung eines texanischen dollars aus dem vorletzten jahrhundert glaubhaft zu machen?
mit dem wissen über die münze ändert sich also die wahrscheinlichkeit, die ich annehmen muss. aber ihr seid so vermessen, völlig ohne zusatzwissen einfach etwas anzunehmen und dan ganz mathematisch zu tun und einen scheiß auszurechnen. die mädchen-jungen-aufgabe bleibt uneindeutig. ich gebe euch recht, daß man nach 10 jahren und jedem tag zahl als normaler mensch doch annehmen sollte, daß die münze eine fehlprägung ist. aber aber ganz ganz sicher bin ich nicht. mit welcher wahrscheinlichkeit soll ich fehlprägung annehmen und mit welcher wahrscheinlichkeit soll ich korrrekte münze annehmen? dann rechne ich beide lösunen aus und gewichte mit den wahrscheinlichkeiten und das gewichtete mittel ist die echte lösung.

um genau zu sein, ihr schwappt ruckartig, unstetig von JJ, JM, MJ, MM nach JJ, JM, MJ, sobald ihr einen nachweis habt, daß MM nicht sein kann. mit diesem unglaubhaften ruck erzeugt man 2/3. und die anderen bewegen sich gar nicht und bleiben bei 1/2. und wer sich ein wenig bewegen würde, bekäme eine lösung dazwischen.

das gild alles bei einem Stichprobenumfang von unendlich. Ich dachte soetwas muss man nicht noch definieren und kann es als gegeben ansehen.
Ich für meinen Teil Schwappe garnicht.
ich schliesse lediglich die unmögliche Möglichkeit aus.
ich schliesse aus das [Mädchen,Mädchen] existiert.
und dadurch gibt es nur noch 3 Gleichwahrscheinliche Möglichkeiten.
und wenn ich unendlich oft die Belegung beobachte wird sich ein 2/3: !/3 Verhältis für das restkind ergeben.
Wenn nicht, dann liegt der Fehler daran, das zB eltern dazu tendieren gemischtgeschlechtige Kinder zu zeugen, oder der Storch sich denkt, die ham Abwechslung verdient. aber in der Aufgabe sind mir keine demographischen Anhaltpunkte gegeben und ich dar Dinge wie Gleichverteilung annehmen.

[Neescher]

b7f7 schrieb:

volkard schrieb:

b7f7 schrieb:

volkard schrieb:

<ironie>hast recht. ich vergaß, daß auch die münze eine viel viel höhere wahrsceinlichkeit hat, zahl zu zeigen, wenn sie 10 jahre lang jeden tag zahl zeigte. </ironie>

man könnt fast annehmen das die Münze eine Fehlprägung ist und Beidseitig Zahl hat?

ab wann soll man das annehmen. ab einem wurf? ab 10 würfen? ab 100 würfen? vielleicht reichen 100000 würfe nicht aus, um eine fehlprägung eines euros glaubwürdig zu machen, weil es einfach keine gibt. vielleicht reichen 5 würfe aus, um eine fehlprägung eines texanischen dollars aus dem vorletzten jahrhundert glaubhaft zu machen?
mit dem wissen über die münze ändert sich also die wahrscheinlichkeit, die ich annehmen muss. aber ihr seid so vermessen, völlig ohne zusatzwissen einfach etwas anzunehmen und dan ganz mathematisch zu tun und einen scheiß auszurechnen. die mädchen-jungen-aufgabe bleibt uneindeutig. ich gebe euch recht, daß man nach 10 jahren und jedem tag zahl als normaler mensch doch annehmen sollte, daß die münze eine fehlprägung ist. aber aber ganz ganz sicher bin ich nicht. mit welcher wahrscheinlichkeit soll ich fehlprägung annehmen und mit welcher wahrscheinlichkeit soll ich korrrekte münze annehmen? dann rechne ich beide lösunen aus und gewichte mit den wahrscheinlichkeiten und das gewichtete mittel ist die echte lösung.

um genau zu sein, ihr schwappt ruckartig, unstetig von JJ, JM, MJ, MM nach JJ, JM, MJ, sobald ihr einen nachweis habt, daß MM nicht sein kann. mit diesem unglaubhaften ruck erzeugt man 2/3. und die anderen bewegen sich gar nicht und bleiben bei 1/2. und wer sich ein wenig bewegen würde, bekäme eine lösung dazwischen.

das gild alles bei einem Stichprobenumfang von unendlich. Ich dachte soetwas muss man nicht noch definieren und kann es als gegeben ansehen.
Ich für meinen Teil Schwappe garnicht.
ich schliesse lediglich die unmögliche Möglichkeit aus.
ich schliesse aus das [Mädchen,Mädchen] existiert.
und dadurch gibt es nur noch 3 Gleichwahrscheinliche Möglichkeiten.
und wenn ich unendlich oft die Belegung beobachte wird sich ein 2/3: !/3 Verhältis für das restkind ergeben.
Wenn nicht, dann liegt der Fehler daran, das zB eltern dazu tendieren gemischtgeschlechtige Kinder zu zeugen, oder der Storch sich denkt, die ham Abwechslung verdient. aber in der Aufgabe sind mir keine demographischen Anhaltpunkte gegeben und ich dar Dinge wie Gleichverteilung annehmen.

Bei meinem obigen Beispiel hat sich aber 1/2 : 1/2 ergeben. Die Kinder waren aber gleich verteilt.

Neescher

[scrontch]

Mein Senf hat noch gefehlt...
Die zwei Lösungen haben ihre Berechtigung und die entsprechende Herleitung ist jeweils unbestritten.
Jetzt bleibt nur die Frage welchen "Versuchsaufbau" man aus der Fragestellung herausliest.
Das Grundproblem ist doch folgendes:
Wir machen Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten (d.h. zu relativen Häufigkeiten von bestimmten Variablen bei hinreichend vielen Versuchen), ausgehend von einem einzigen konkreten Experiment. Wir müssen also die Aussagen in Beziehung setzen zu der Art und Weise wie wir die relativen Häufigkeiten der Variablen bei n Versuchen definieren würden, kurz wie wir die Reihe aufbauen würden um n Versuche zu machen.

Die zwei Möglichkeiten sind (übertrieben formuliert):

A. "Man sieht einen Jungen am Fenster" ==
Ein Zufallsexperiment bei dem mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein beliebiges der zwei Kinder am Fenster steht (=dessen Geschlecht mir mitgeteilt wird), ist zu Gunsten eines Jungen ausgegangen.

Um eine Aussage über den Erwartungswert des Geschlechts des zweiten (nicht gesehenen) Kindes zu machen müsste man das Experiment mit vielen beliebig konfigurierten (gleichverteilten) 2-Kind-Nachbarsfamilien durchführen, wobei das Geschlecht des ungesehenen Kindes nur dann gezählt wird, wenn das gesehene ein Junge ist.

=> Der Erwartungswert für Mädchen bei dieser Versuchsreihe ist 1/2

B. "Man sieht einen Jungen am Fenster" ==
Von allen möglichen Konstellationen von Nachbarsfamilien mit zwei Kindern sind nur diejenigen zu betrachten, welche mindestens einen Jungen haben. Von diesen wird ein Junge als "am Fenster gesehen" definiert.
Nur für diese Familien mache ich eine Aussage zum Geschlecht des zweiten Kindes.

Um eine Aussage über den Erwartungswert des Geschlechts des zweiten (nicht gesehenen) Kindes zu machen müsste man das Experiment mit vielen ausgewählten (mindestens 1 Junge-)Nachbarsfamilien durchführen, bei denen jedesmal das Geschlecht des ungesehenen Kindes gezählt wird.

=> Der Erwartungswert für Mädchen bei dieser Versuchsreihe ist 2/3

Bezüglich der Überprüfbarkeit ist Variante B zweifellos restriktiver und erscheint weniger natürlich. Denn hier benötigt man einen Experimentator der bewußt bestimmte natürlich auftretende Fälle aussortiert. Es wird vor dem Beginn des eigentlichen Experimentes eine Wahl getroffen und diese per Definiton (a posteriori) festgelegt.

Wir gehen hier davon aus, dass uns in der fiktiven Versuchsreihe überhaupt nur solche Fälle präsentiert werden könnten die mit den Beobachtungen des vorliegenden konkreten Falls übereinstimmen.
Variante A hingegen setzt lediglich voraus, dass der vorliegende konkrete Fall eine kompatible Realisierung der allgemeinst möglichen Versuchsreihe ist.
Man beachte den subtilen Unterschied.

Scrontch!