Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

scrontch

Mein Senf hat noch gefehlt...
Die zwei Lösungen haben ihre Berechtigung und die entsprechende Herleitung ist jeweils unbestritten.
Jetzt bleibt nur die Frage welchen "Versuchsaufbau" man aus der Fragestellung herausliest.
Das Grundproblem ist doch folgendes:
Wir machen Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten (d.h. zu relativen Häufigkeiten von bestimmten Variablen bei hinreichend vielen Versuchen), ausgehend von einem einzigen konkreten Experiment. Wir müssen also die Aussagen in Beziehung setzen zu der Art und Weise wie wir die relativen Häufigkeiten der Variablen bei n Versuchen definieren würden, kurz wie wir die Reihe aufbauen würden um n Versuche zu machen.

Die zwei Möglichkeiten sind (übertrieben formuliert):

A. "Man sieht einen Jungen am Fenster" ==
Ein Zufallsexperiment bei dem mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein beliebiges der zwei Kinder am Fenster steht (=dessen Geschlecht mir mitgeteilt wird), ist zu Gunsten eines Jungen ausgegangen.

Um eine Aussage über den Erwartungswert des Geschlechts des zweiten (nicht gesehenen) Kindes zu machen müsste man das Experiment mit vielen beliebig konfigurierten (gleichverteilten) 2-Kind-Nachbarsfamilien durchführen, wobei das Geschlecht des ungesehenen Kindes nur dann gezählt wird, wenn das gesehene ein Junge ist.

=> Der Erwartungswert für Mädchen bei dieser Versuchsreihe ist 1/2

B. "Man sieht einen Jungen am Fenster" ==
Von allen möglichen Konstellationen von Nachbarsfamilien mit zwei Kindern sind nur diejenigen zu betrachten, welche mindestens einen Jungen haben. Von diesen wird ein Junge als "am Fenster gesehen" definiert.
Nur für diese Familien mache ich eine Aussage zum Geschlecht des zweiten Kindes.

Um eine Aussage über den Erwartungswert des Geschlechts des zweiten (nicht gesehenen) Kindes zu machen müsste man das Experiment mit vielen ausgewählten (mindestens 1 Junge-)Nachbarsfamilien durchführen, bei denen jedesmal das Geschlecht des ungesehenen Kindes gezählt wird.

=> Der Erwartungswert für Mädchen bei dieser Versuchsreihe ist 2/3

Bezüglich der Überprüfbarkeit ist Variante B zweifellos restriktiver und erscheint weniger natürlich. Denn hier benötigt man einen Experimentator der bewußt bestimmte natürlich auftretende Fälle aussortiert. Es wird vor dem Beginn des eigentlichen Experimentes eine Wahl getroffen und diese per Definiton (a posteriori) festgelegt.

Wir gehen hier davon aus, dass uns in der fiktiven Versuchsreihe überhaupt nur solche Fälle präsentiert werden könnten die mit den Beobachtungen des vorliegenden konkreten Falls übereinstimmen.
Variante A hingegen setzt lediglich voraus, dass der vorliegende konkrete Fall eine kompatible Realisierung der allgemeinst möglichen Versuchsreihe ist.
Man beachte den subtilen Unterschied.

Scrontch!

Daniel E.

Können wir nicht die ganzen Massenversuche, Versuchsreihen und Wörter wie "immer" und "nie" einfach weglassen, davon steht in der Aufgabe schließlich nichts.

Wir haben einen Fall, bei dem wir wissen:

(1) Die Familie hat zwei Kinder
(2) Mindestens eines davon ist ein Junge

Wenn wir (was anscheinend Konsens ist), annehmen, daß Mädchen- und Jungen-Geburten gleich wahrscheinlich sind, dann kann man nur auf 2/3 kommen. Wieso auf einmal von irgendwelchen Am-Fenster-steh-Wahrscheinlichkeiten fabuliert wird, kann ich immer noch nicht nachvollziehen.

Neescher

Lies dir noch mal den Beitrag von scrontch durch, und den von mir auf der letzten Seite (mit dem Quellcode/Ausgabe).

In der Aufgabe ist es nicht eindeutig definiert, es kann also 1/2 oder 2/3 rauskommen.

Neescher

Daniel E.

Habe ich gelesen. Ich halte die Interpretation der Aufgabe derart, daß 1/2 rauskommt, für Wortverdreherei und Rabulistik. Warum, habe ich hier mehrfach erklärt: "Man sieht einen Jungen am Fenster" ist eine blumige Formulierung für "Es gibt einen Jungen" und nicht für "In 50% der Fälle steht da ein Mädchen". Ersteres läßt sich rein logisch schliessen, zweiteres ist ganz offensichtlich herdiskutiert.

Was man mit einem Computerprogramm will, ist mir auch ehrlich gesagt absolut unklar. Stochastische Modelle sind immer nur so gut, wie man eben modelliert und wenn ich eine bestimmte Interpretation modelliere, dann kommt eben auch das erwartete Ergebnis raus. Die Mathematik ist aber hier so einfach, daß man da kein Programm für braucht.

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt. Die andere zeigt Zahl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt die andere (noch verdeckte) Kopf?

Bye, TGGC

Daniel E.

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Ok, ich sehe es ein, ihr versteht es wirklich nicht. Dann glaubt halt einfach den Intelligenten, die Euch die Wahrheit sagen, oder bleibt dumm.

Bye, TGGC

Neescher

Daniel E. schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Warum "Nein"?

Neescher

Neescher

Daniel E. schrieb:

Was man mit einem Computerprogramm will, ist mir auch ehrlich gesagt absolut unklar. Stochastische Modelle sind immer nur so gut, wie man eben modelliert und wenn ich eine bestimmte Interpretation modelliere, dann kommt eben auch das erwartete Ergebnis raus. Die Mathematik ist aber hier so einfach, daß man da kein Programm für braucht.

Ok. Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen. Da ist kein Computerprogramm modelliert, keine falsche Interpretation. Genau so ist die Aufgabe.

Neescher

Daniel E.

Neescher schrieb:

Daniel E. schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Warum "Nein"?

Das ist offensichtlich ein anderes Zufallsexperiment, als die Aufgabe es beschreibt. Dort werden, wenn man unbedingt mit Münzen operieren will, bei der Geburt zwei Münzen geworfen (verdeckt), wenn mindestens ein Kopf dabei ist, dann zeigt man dir diese Münze.

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

Daniel E. schrieb:

Neescher schrieb:

Daniel E. schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Warum "Nein"?

Das ist offensichtlich ein anderes Zufallsexperiment, als die Aufgabe es beschreibt. Dort werden, wenn man unbedingt mit Münzen operieren will, bei der Geburt zwei Münzen geworfen (verdeckt), wenn mindestens ein Kopf dabei ist, dann zeigt man dir diese Münze.

Falsch. Lies die Aufgabe.

Daniel E. schrieb:

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

Doch, mit Sicherheit.

Bye, TGGC

Neescher

Daniel E. schrieb:

Neescher schrieb:

Daniel E. schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Warum "Nein"?

Das ist offensichtlich ein anderes Zufallsexperiment, als die Aufgabe es beschreibt. Dort werden, wenn man unbedingt mit Münzen operieren will, bei der Geburt zwei Münzen geworfen (verdeckt), wenn mindestens ein Kopf dabei ist, dann zeigt man dir diese Münze.

Das was du hier schreibst, ist ein anderes Experiment. Wo steht im Aufgabentext etwas von "mindestens ein Junge"?

Wo ist der unterschied zwischen: "Man wirft 2 Muenzen, eine davon verdeckt. Die andere zeigt Zahl" und "Es werden 2 Kinder geboren. Von einem der Kinder kennst du das Geschlecht nicht. Der andere ist ein Junge"? In meinen Augen das selbe (Wenn man von einer idealen Muenze und einer m/w-Verteilung von 50/50 ausgeht)

Daniel E. schrieb:

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

Versuche es

Neescher

Daniel E.

TGGC|_work schrieb:

Daniel E. schrieb:

Neescher schrieb:

Daniel E. schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Warum "Nein"?

Das ist offensichtlich ein anderes Zufallsexperiment, als die Aufgabe es beschreibt. Dort werden, wenn man unbedingt mit Münzen operieren will, bei der Geburt zwei Münzen geworfen (verdeckt), wenn mindestens ein Kopf dabei ist, dann zeigt man dir diese Münze.

Falsch. Lies die Aufgabe.

Wo steht da, daß man immer über das Geschlecht des am Fenster stehenden Kindes informiert würde?

Daniel E. schrieb:

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

Doch, mit Sicherheit.

Können wir uns darauf einigen, daß die Fälle JM, MJ, JJ gleich wahrscheinlich sind (wobei, man muß es ja anscheinend erklären, ich hier eine Tupelschreibe benutze und irgendeine Sortierung, sagen wir mal das Geburtsdatum zugrundelege)?

Daniel E.

Neescher schrieb:

Das ist offensichtlich ein anderes Zufallsexperiment, als die Aufgabe es beschreibt. Dort werden, wenn man unbedingt mit Münzen operieren will, bei der Geburt zwei Münzen geworfen (verdeckt), wenn mindestens ein Kopf dabei ist, dann zeigt man dir diese Münze.

Das was du hier schreibst, ist ein anderes Experiment. Wo steht im Aufgabentext etwas von "mindestens ein Junge"?

Im Aufgabentext steht: Es gibt einen Jungen, und der steht am Fenster.

Wo ist der unterschied zwischen: "Man wirft 2 Muenzen, eine davon verdeckt. Die andere zeigt Zahl" und "Es werden 2 Kinder geboren. Von einem der Kinder kennst du das Geschlecht nicht. Der andere ist ein Junge"? In meinen Augen das selbe (Wenn man von einer idealen Muenze und einer m/w-Verteilung von 50/50 ausgeht)

Wenn man eine Münze, nennen wir sie M1 verdeckt und eine Münze M2 offen wirft, dann weiß ich hinterher den Wert von M2. Wenn man beide verdeckt wird und dann gesagt bekommt: "eine Münze zeigt Kopf", dann weiß ich noch nicht, ob das M1 oder M2 ist.

Daniel E. schrieb:

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

Versuche es

Okay, dann murkse ich halt auch noch ein Computerprogramm hin:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(void) {
    int n = 100000, gesch[2], j = 0, m = 0;

    while (n > 0) {
        /* bekomme zwei kinder [1=junge, 0=maedchen] */
        gesch[0] = rand()&1, gesch[1] = rand()&1;

        if (gesch[0] || gesch[1]) { /* ist eines davon ein junge? */
            --n;

            if (gesch[0] == 0 || gesch[1] == 0) ++m;/*und eines eine maedchen? */
            else ++j;
        }
    }

    printf("m: %d, j: %d, insg: %d\n", m, j, m+j);
}

otze

war meine ausschluss theorie so abwegig?

XFame

Ich wuerde sie auch so interpretieren.
Vereinfacht kann man doch sagen: Eine Familie hat 2 Kinder.
Eines davon ist ein Junge. Bleiben also nur noch die Kombinationen mit einem Jungen. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Geburt des 2. Kindes ein Maedchen rauskommt ist 1/2 . Da eines nun ein Junge ist, kann es nicht 2 Maedchen geben. Alle anderen Ergebnisse (JJ JM MJ) sind dann aber immernoch gleichwahrscheinlich, naemlich 1/3 . Somit ergibt sich, da in der Aufgabenstellung nach der Wahrscheinlichkeit eines Maedchens gefragt wird P(Maedchen) = 1 - P(JJ) = 1 - 1/3 = 2/3 .

Zu den Muenzen:
Man wirft 2 Muenzen, beide verdeckt (Geburt).
Alle moeglichen Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.
Nun zeigt man dir irgendeine (also die erste oder die zweite geworfene Muenze), meinetwegen Kopf (Junge).
Somit kann das Ergebnis Zahl Zahl nicht mehr eingetroffen sein.
Nun gibt es nur noch 3 moegliche Ergebnisse:

-Erste geworfene Muenze war Kopf andere war Zahl (erste gezeigt).
-Erste geworfene Muenze war Zahl andere war Kopf (zweite gezeigt).
-Beide waren Kopf (erste oder zweite gezeigt).

Wieder alle gleichwahrscheinlich (Man kann nicht sagen, dass eine Wahrscheinlichkeit bestand, dass im ersten Fall auch die zweite Muenze haette gezeigt werden koennen oder im zweiten Fall die erste Muenze, da schon feststeht welche Muenze gezeigt ist, deswegen gleichwahrscheinlich).

Somit ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 fuer jedes Ergebnis.
Da die ersten beiden aufs selbe hinauskommen ergibt sich fuer die Wahrscheinlickeit, dass die 2. Muenze Zahl ist die Wahrscheinlichkeit 2/3.

Neescher

Daniel E. schrieb:

Wo ist der unterschied zwischen: "Man wirft 2 Muenzen, eine davon verdeckt. Die andere zeigt Zahl" und "Es werden 2 Kinder geboren. Von einem der Kinder kennst du das Geschlecht nicht. Der andere ist ein Junge"? In meinen Augen das selbe (Wenn man von einer idealen Muenze und einer m/w-Verteilung von 50/50 ausgeht)

Wenn man eine Münze, nennen wir sie M1 verdeckt und eine Münze M2 offen wirft, dann weiß ich hinterher den Wert von M2. Wenn man beide verdeckt wird und dann gesagt bekommt: "eine Münze zeigt Kopf", dann weiß ich noch nicht, ob das M1 oder M2 ist.

Beide Kinder K1 und K2 wurden "verdeckt" geboren. Dir wurde gesagt: Ein Kind ist ein Junge (denn es steht ja einer am Fenster). Du weisst aber noch nicht, ob das das Kind K1 oder K2 ist.
Faellt dir was auf?

Daniel E. schrieb:

Daniel E. schrieb:

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

Versuche es

Okay, dann murkse ich halt auch noch ein Computerprogramm hin:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(void) {
    int n = 100000, gesch[2], j = 0, m = 0;

    while (n > 0) {
        /* bekomme zwei kinder [1=junge, 0=maedchen] */
        gesch[0] = rand()&1, gesch[1] = rand()&1;

        if (gesch[0] || gesch[1]) { /* ist eines davon ein junge? */
            --n;

            if (gesch[0] == 0 || gesch[1] == 0) ++m;/*und eines eine maedchen? */
            else ++j;
        }
    }

    printf("m: %d, j: %d, insg: %d\n", m, j, m+j);
}

Kein Programm, das wolltest du ja nicht. Frage alle deine maennlichen Kollegen oder Mitschueler, frage maennliche Bekannte, oder einfach Maenner/Jungs auf der Strasse.
Du wirst auf 50% kommen

Neescher

Neescher

otze schrieb:

war meine ausschluss theorie so abwegig?

Nein, die stimmt.

Neescher

XFame schrieb:

-Erste geworfene Muenze war Kopf andere war Zahl (erste gezeigt).
-Erste geworfene Muenze war Zahl andere war Kopf (zweite gezeigt).
-Beide waren Kopf (erste oder zweite gezeigt).

Ich mache nochmal für die Münzen die komplette List, wie ich es auch schon für JM tat...

-Erste geworfene Muenze war Kopf andere war Zahl (erste gezeigt).
-Erste geworfene Muenze war Zahl andere war Kopf (zweite gezeigt).
-Beide waren Kopf (erste gezeigt)
-Beide waren Kopf (zweite gezeigt)
-Erste geworfene Muenze war Kopf andere war Zahl (zweite gezeigt).
-Erste geworfene Muenze war Zahl andere war Kopf (erste gezeigt).
-Beide waren Zahl (erste gezeigt)
-Beide waren Zahl (zweite gezeigt)

Alles ist gleichwahrscheinlich. So nun zähle.

Die entscheidente Information die ihr immer vergesst: bekomme ich Junge bzw. Kopf gezeigt, so muss ein Fall vorliegen, bei dem mir Junge/ Kopf gezeigt werden kann. Und bei zwei Jungen/ Köpfen geht das viel "einfacher".

Ich weisse auch nochmal auf die "unterschiedliche Geschlechter in 2/3 aller Fälle" Argumente hin.

Ihr könnt versuchen zu verstehen, das ihr falsch liegt und es akzeptieren, oder ihr bleibt stur. Liegt bei Euch.

Bye, TGGC

XFame

TGGC|_work schrieb:

-Erste geworfene Muenze war Kopf andere war Zahl (zweite gezeigt).
-Erste geworfene Muenze war Zahl andere war Kopf (erste gezeigt).
-Beide waren Zahl (erste gezeigt)
-Beide waren Zahl (zweite gezeigt)

Ich kann nur Wiederholen: Die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse sind gleich 0, weil schon einen Wert kennen.