Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[Cyriz]

Ne du hast mich falsch verstanden:

Ein Junge ist ja schließlich gegeben

naja, und da finde ich kommt es auf die Formulierung an...
erfragt man nun die bedingte P oder nur P?

Und ich finde eben in dem Beispiel wird die normale P(Kind-Geschlecht) erfragt.
Da tut dies nix zu Sache ob vorher schon was erwähnt wurde oder nicht.
Also Junge oder Mädchen.
Das hat ja nichts damit zu tun was schon war
wenn der Wortlaut ist:

[...]dass das andere Kind ein Mädchen ist?

anders natürlich wenn man die bedingte P() erfragt
P(Familie-mit-unteschiedlich-Geschlecht-der-Kinder)
dann muss man den Fall Mädchen/Mädchen ausschließen da bereits ein Junge vorhanden ist.
Dann wäre diese P wohl 2/3 und die P(gleich-geschlechtliche-Kinder), in Betracht das es bereits ein Jungen gibt, 1/3.

Kommt drauf an wie man die Frage interpretiert, und ich sehe es eben als eine Frage nach P.

Aber darüber lässt sich auch wieder streiten, wie es nun gemeint ist.

Das meinte ich.

[TGGC]

Juhu, die Erklaerung auf der Seite ist so genial! http://stabi.hs-bremerhaven.de/mathezirkel/lsg_feb07.html

Ich lach mich nur noch weg. Ich muss den Leuten da erstmal eine Mail schreiben... f'`8k

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

[jl klkj ölkj ölkj ölkj lk]

TGGC schrieb:

Juhu, die Erklaerung auf der Seite ist so genial! http://stabi.hs-bremerhaven.de/mathezirkel/lsg_feb07.html

Ich lach mich nur noch weg. Ich muss den Leuten da erstmal eine Mail schreiben... f'`8k

die mail würden wir gerne sehen.

p.s.: du threadschänder

[TGGC]

jl klkj ölkj ölkj ölkj lk schrieb:

die mail würden wir gerne sehen.

Ja klar, ich werds posten, wenn sie Antworten. Vielleicht sind es bloss Grundschullehrer und blicken es selber nicht.

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

[sag mal]

TGGC schrieb:

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

Schreibst du das immer wieder neu oder kopierst du es von irgendwo her?

Ist doch klar, dass die Chancen sinken, wenn der Junge zuerst geboren wurde.

[LinkeT]

also die antwort im buch ist falsch ... jedesmal wenn ein paar ein kind zeugt is die wahrscheinlichkeit 50% unabähnig vom ersten kind ...

das es die wahrscheinlichkeiten J,M und M,J gibt ist statisischer blödsinn , da J,M = M,J ist ... also gibt es nur J,J J,M M,M [wenn man das alter weglässt]
wenn aber ein junge schon gegeben ist interresieren nurdie ersten beiden ergebnise [j,j j,m] 2 möglichkeiten und 1 lösung ... also 50%

mit dem alter:
j,j j,m(mädchen ist älter), m,j (mädchen ist junger)
was aber doch blödsin ist, ausser der junge ist etwas älter als sie und seine schwester soll halt junger sein da wäre dann die wahrscheinlichkeit 1/3

was aber wiederum nicht im ersten post stand xD entweder weggelassen oder sonst wie ...

aber die wahrscheinlichkeit kann nicht über 50%sein! [wenn das alter egal ist, ist dies nicht zuberücksichtigen]
PS
@tggc tolle games haste da auf der seite also meine sind auch wunderbar [........]

[Jester]

LinkeT schrieb:

also die antwort im buch ist falsch ... jedesmal wenn ein paar ein kind zeugt is die wahrscheinlichkeit 50% unabähnig vom ersten kind ...

das es die wahrscheinlichkeiten J,M und M,J gibt ist statisischer blödsinn , da J,M = M,J ist ... also gibt es nur J,J J,M M,M [wenn man das alter weglässt]
wenn aber ein junge schon gegeben ist interresieren nurdie ersten beiden ergebnise [j,j j,m] 2 möglichkeiten und 1 lösung ... also 50%

mit dem alter:
j,j j,m(mädchen ist älter), m,j (mädchen ist junger)
was aber doch blödsin ist, ausser der junge ist etwas älter als sie und seine schwester soll halt junger sein da wäre dann die wahrscheinlichkeit 1/3

was aber wiederum nicht im ersten post stand xD entweder weggelassen oder sonst wie ...

aber die wahrscheinlichkeit kann nicht über 50%sein! [wenn das alter egal ist, ist dies nicht zuberücksichtigen]
PS
@tggc tolle games haste da auf der seite also meine sind auch wunderbar [........]

[TGGC]

Also mittlerweile glaube ich ja auch, das die 2/3 Antwort ueberhaupt nur verbreitet werden konnte, weil es immer wieder _solche_ Argumentationen fuer die richtige Loesung gab... f'`8k

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

[TGGC]

Naja, ich schreibe es einfach mal kommentarlos hier her.

Sehr geehrter Herr Rösch,
ich gehe nach wie vor davon aus, dass die Lösung im Netz korrekt ist.
Ich werde in Ihrer Mail auf die Stellen eingehen, wo ich anderer
Meinung bin.

Am 06.05.2007 um 19:43 schrieb Christian Rösch:

> Sehr geehrter Herr Begoihn,

> ich bin auf folgendes Raetsel inklusive Loesung gestossen:
> http://stabi.hs-bremerhaven.de/mathezirkel/lsg_feb07.html

> Dem Loesungsweg muss ich widersprechen. Durchaus korrekt ist die
> Aussage:
> "Sobald Dorothea weiß, dass eines der Kinder ein Junge ist, beträgt
> die
> Wahrscheinlichkeit, dass das andere ein Mächen ist, 0,667 (zwei
> Drittel).".
> Oder um es mathematisch praeziser zu formulieren: "Sobald Dorothea
> weiß,
> dass mindestens eines der Kinder...". Unter diesen Voraussetzungen
> waere die
> Rechnung korrekt.
Hier sehe ich nicht, wo der Unterschied der Voraussetzung "Sobald
Dorothea weiß, dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist,
beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist,
0,667" zu der im Aufgabentext umrissenen Voraussetzung besteht. Indem
Dorothea nur sieht, dass es sich beim Kind am Fenster um einen Jungen
handelt, weiß Dorothea nämlich nur, dass mindestens eines der Kinder
ein Junge ist. Sie weiß nämlich nicht, ob es sich bei diesem Kind um
das ältere oder das jüngere handelt.

> Nun entspricht das allerdings nicht ganz der Aufgabenstellung.
> Dorothea
> kennt naemlich das Geschlecht eines bestimmten Kindes ("das Kind am
> Fenster") und es muesste dann der Loesungsweg aus dem dritten Teil der
> Aufgabe angewendet werden. Der Unterschied ist lediglich, das die
> Notation
> nicht in der Reihenfolge (aelteres Kind;juengeres Kind) erfolgt,
> sondern
> (Kind am Fenster; anderes Kind). Somit erhaelt man die korrekte
> Loesung von
> 0,5.
Der Unterschied in der Notation ist wesentlich, was man daran
erkennt, dass ein Wechsel der Notation zu anderen Ergebnissen führt.

> Der konkrete Fehler des benuzten Rechenwegs liegt in der Annahme,
> das die 3
> Faelle in {(J;J), (J;M), (M;J)} gleich wahrscheinlich waeren. (J;J)
> ist
> besitzt tatsaechlich die doppelt Wahrscheinlichkeit, wie die beiden
> anderen
> Faelle fuer sich. Man muss davon ausgehen, das ein zufaellig
> gewaehltes Kind
> am Fenster steht und darum wird dies bei Familien mit zwei Jungen
> hauefiger
> zu beobachten sein, als in denen, wo lediglich das aeltere Kind ein
> Junge
> ist.
Die den Elementen zugeschriebene Wahrscheinlichkeit geht von der
Frage aus, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Familie mit zwei
Kindern zwei Jungen hat. Es ist sozusagen eine
bevölkerungsstatistische Aussage, die völlig unabhängig von
irgendwelchen Erscheinungen an irgendwelchen Fenstern ist. Um an
dieser Stelle schon die 6000 Familien ins Spiel zu bringen: Bei 1500
von ihnen sind beide Kinder Jungen, bei 1500 beide Mädchen, bei 1500
ist das ältere Kind ein Mädchen, das jüngere ein Junge, bei den
restlichen 1500 ist es umgekehrt. Indem man weiß, dass mindestens ein
Junge dabei ist, müssen die 1500 Familien mit zwei Mädchen aus der
Betrachtung genommen werden. Die übrigen Gruppen bleiben aber genauso
groß (immer 1500 Familien), sind also auch gleich wahrscheinlich. Die
Gesamtheit hat aber um die Familien mit zwei Mädchen abgenommen, so
dass man die 3000 (Zahl der Familien mit einem Mädchen) durch 4500
(Zahl der Familien mit mindestens einem Jungen) teilen muss, um zur
richtigen relativen Häufigkeit zu kommen.

> Man sollte eigentlich bereits stutzig werden, wenn allein aus der
> fuer das
> Geschlecht nutzlosen Information ueber das Alter der Geschwister
> ploetzlich
> eine scheinbar andere Aussage ueber die Wahrscheinlichkeit gemacht
> werden
> kann.
Das war in unseren Augen ein Reiz der Aufgabe, dass das Ergebnis für
viele unerwartet ist.
Die Statistik mit den 6000 Familien ist da aber ganz eindeutig. 1500
Familien scheiden aus, wenn das ältere Kind der Junge ist, übrigens
auch bei der neuen Gesamtheit, so dass hier die relative Häufigkeit
mit 1500 durch 3000 bestimmt werden muss.
> Noch kurioser ist, das die gegenteilige Aussage, der Junge waere das
> juengere Kind, zu genau der gleichen Wahrscheinlichkeit von 0,5
> fuehrt.
Das ist nicht kurioser als das andere. Die Besonderheit liegt darin,
dass eine Festlegung getroffen wird. Ohne diese Festlegung sieht die
jeweilige statistische Gesamtheit bei den 6000 Familien verschieden aus.
> Wir muessen zwingend davon ausgehen, das Ralph entweder juenger
> oder aelter ist,
> genau einer der Faelle muss zutreffen. Jeweils ist die
> Wahrscheinlichkeit
> 0,5, wenn wir eine der Aussagen annehmen.
Das ist unbestritten. Nur ändert sich mit der jeweiligen Annahme das
Problem.
> Den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung zufolge ist daher
> grundsaetzlich die
> Wahrscheinlichkeit fuer ein Maedchen 0,5 und unabhaengig vom Alter der
> Geschwister.

> Ein etwas anderer Zugang
> Beobachte die genannten 6000 Familien bis eines der Kinder an das
> Fenster
> kommt. In 3000 Familien kommt ein Junge ans Fenster (nicht etwa
> 4500) und in
> 3000 Familien wird ein Maedchen an das Fenster kommen. Von
> erstgenannten
> Familien haben 1500 Familien einen weiteren Jungen. Auch das
> empirische
> Experiment fuehrt damit zur Loesung 0,5.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
gefragt. Das wird als Fakt gesetzt und gefragt, wie sich die
Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen eines Mädchens dadurch ändert.

> mit freundlichem Gruessen,
> Christian Roesch

Mit freundlichen Grüßen
Werner Begoihn

f'`8k

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

[LinkeT]

jetzt mal mit einfachen mittel ... wo man nich 9 monate immer warten muss oder so lange bis ne familie einzeiht xD

nehmt 2 münzen ... eine 10 cent für das jünger kind zB und eine 20 cent münze für das ältere.

jetzt werft eine münze ... kopf ist junge zahl is mädchen ...
so nun hab ihr geschwisterteil nummer 1 und jetzt werft ihr noch mal wie hoch wird wohl die wahrscheinlichkeit von kopf oder zahl sein ? 66% das es was anderes ist weil da schon das eine liegt ?

noch fragen xD

[jucks]

LinkeT schrieb:

jetzt werft eine münze ... kopf ist junge zahl is mädchen ...
so nun hab ihr geschwisterteil nummer 1 und jetzt werft ihr noch mal wie hoch wird wohl die wahrscheinlichkeit von kopf oder zahl sein ? 66% das es was anderes ist weil da schon das eine liegt ?

deine analogie ist richtig zum DRITTEN teil in TGGCs link - da wo man weiß, dass der junge zuerst rausgekommen ist. sie ist FALSCH für den zweiten teil, wo man nur weiß, dass es einen jungen GIBT. wenn du den versuch RICHTIG machst, kommt auch 66% raus.

RICHTIG wäre:
wirf ZWEI münzen, und decke EINE auf. wenn es ZAHL ist, schreibe auf, was die andere münze zeigt. wenn es KOPF ist, mache gar nichts(!). wiederhole.

[TGGC]

jucks schrieb:

RICHTIG wäre:
wirf ZWEI münzen, und decke EINE auf. wenn es ZAHL ist, schreibe auf, was die andere münze zeigt. wenn es KOPF ist, mache gar nichts(!). wiederhole.

Geanu das macht er. Genau das ist analog zu Teil 2 und Teil 3 der Frage. Genau dann kommt 50% raus.

Etwas anderes waere es, wenn ich 2 Muenzen verdeckt werfe, mir _beide_ anschaue, und dir dann sage, wenn mindestens einmal Kopf dabei ist dir eine Muenze mit Kopf zeige. Dann ist die Chance bei der anderen 2/3 auf Zahl. Wichtig ist, das ich ganz bewusst beide Muenzen anschaue und nach dem Kopf suche, und nicht einfach eine beliebige aufdecke, denn dann koennte ich Zahl aufdecken und den Kopf bei der anderen Muenze uebersehen. Dann faellt der Wurf naemlich weg, da nicht zuerst Kopf aufgedeckt wurde. Darum gibt es beim bewusste Wahlen mehr Kopf/Zahl als beim zufaelligen Waehlen der ersten Muenze. Aber wenn schon der Veranstalter eines Mathezirkel diesen Unterschied nicht kapiert... f'`8k

Autocogito

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

[Shinja]

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
gefragt. Das wird als Fakt gesetzt und gefragt, wie sich die
Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen eines Mädchens dadurch ändert.

Da hängts meiner Meinung nach. Man setzt etwas, das die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, als Fakt. Kann man das wirklich so machen?

Mir erscheint das, was der Schreiber in TGGCs Quote geschrieben hat, bei weitem schlüssiger: sind 2 Jungen da, ist die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen als ersten am Fenster zu sehen, 100%. Ist es ein Mädchen und ein Junge sinkt die Wahrscheinlichkeit, den Jungen als Erstes zu sehen, auf 50%, also die Hälfte. Das kann man doch nicht einfach so auszer Acht lassen, das hört sich für mich an nach: Alles, was unser Resultat verändern könnte, wird auszer Acht gelassen.

[borg]

Shinja schrieb:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
gefragt. Das wird als Fakt gesetzt und gefragt, wie sich die
Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen eines Mädchens dadurch ändert.

Da hängts meiner Meinung nach. Man setzt etwas, das die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, als Fakt. Kann man das wirklich so machen?

Ja, das tut man in der Mathematik ständig. "Angenommen X gilt, dann gilt auch Y". An der stelle wo TGGC mit seinem empirischen Argument anfängt ist seine Argumentation wirklich kaputt.

TGGC schrieb:

Etwas anderes waere es, wenn ich 2 Muenzen verdeckt werfe, mir _beide_ anschaue, und dir dann sage, wenn mindestens einmal Kopf dabei ist dir eine Muenze mit Kopf zeige. Dann ist die Chance bei der anderen 2/3 auf Zahl. Wichtig ist, das ich ganz bewusst beide Muenzen anschaue und nach dem Kopf suche, und nicht einfach eine beliebige aufdecke, denn dann koennte ich Zahl aufdecken und den Kopf bei der anderen Muenze uebersehen. Dann faellt der Wurf naemlich weg, da nicht zuerst Kopf aufgedeckt wurde. Darum gibt es beim bewusste Wahlen mehr Kopf/Zahl als beim zufaelligen Waehlen der ersten Muenze.

[Statistiker]

Schauen wir alle Eltern mit 2 Kinder an, wobei eins davon ein Junge sein muss.
Glaubt ihr tatsächlich, dass es nun mehr Eltern gibt, die noch ein Mädchen haben als Eltern, die noch ein Junge haben?

[borg]

Statistiker schrieb:

Schauen wir alle Eltern mit 2 Kinder an, wobei eins davon ein Junge sein muss.
Glaubt ihr tatsächlich, dass es nun mehr Eltern gibt, die noch ein Mädchen haben als Eltern, die noch ein Junge haben?

ja!

[TGGC]

Das Dumme ist nur, das ist nicht die Frage. Es geht ja nur um die Familien, wo man den Jungen am Fenster sieht. f'`8k

Autocogito

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

[TGGC]

Sehr geehrter Herrn Begoihn,

> Hier sehe ich nicht, wo der Unterschied der Voraussetzung "Sobald
> Dorothea weiß, dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist,
> beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist,
> 0,667" zu der im Aufgabentext umrissenen Voraussetzung besteht.
Der Unterschied ist, das einmal das Geschlecht eines zufaelligen Kindes
erfaehrt oder jemand absichtlich einen Jungen waehlt und sein Geschlecht
bekannt gibt. Von Letzterem kann man aber nicht ausgehen, wenn man ein Kind
am Fenster sieht. Dieser wichtige Unterschied ist zum Beispiel auch im Monty
Hall Problem zu beobachten. Jemand mit Hintergrundwissen oeffnet absichtlich
genau die Tuer mit einer Ziege dahinter. Wuerde die Ziege nur zufaellig
gezeigt, sind die Wahrscheinlichkeiten anders verteilt. Eine eingehendere
Betrachtung dazu findet sich hier:
http://www.mathpages.com/home/kmath036.htm

> Der Unterschied in der Notation ist wesentlich, was man daran
> erkennt, dass ein Wechsel der Notation zu anderen Ergebnissen führt.
Eine Notation beeinflusst nie das Ergebnis, das Ergebnis ist unter allen
Notationen
gleich. Es ist lediglich unter einigen Notationen evtl. leichter zu
berechnen. Auch die benuzte Notation fuehrt zum Ergebnis von 1/2 wenn man
beachtet, das die Wahrscheinlichkeit von (J;J) 0,5 und die von (J;M) und
(M;J) jeweils 0,25 ist.

> Die den Elementen zugeschriebene Wahrscheinlichkeit geht von der
> Frage aus, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Familie mit zwei
> Kindern zwei Jungen hat.
Dies ist aber falsch. Die Wahrscheinichkeit muss von der beschriebenen
Situation ausgehen. Beschrieben ist, das ein Junge am Fenster steht, daher
ist die Wahrscheinlichkeit fuer (J;J) hoeher. In solchen Familien stehen
oefter Jungen am
Fenster. Eine andere Moeglichkeit ist, in den Elementen auch noch anzugeben,
wer denn nun am Fenster steht. Nehmen wir beispielsweise an (J;M;2) steht
fuer Junge Maedchen und 2. Kind (also Maedchen) am Fenster. Es ergeben sich
dann die 8 moeglichen Ereignisse:
(J;J;1); (J;J;2); (M;J;1); (M;J;2); (J;M;1); (J;M;2); (M;M;1); (M;M;2)

Wissen wir nun, das ein Junge am Fenster steht, bleiben folgende, diesmal
wirklich gleich wahrscheinliche Moeglichkeiten:
(J;J;1); (J;J;2); (M;J;2); (J;M;1)

Eine weitere Notation, das Ergebnis ist wiederum 0,5.

> Es ist sozusagen eine bevölkerungsstatistische Aussage, die völlig
unabhängig von
> irgendwelchen Erscheinungen an irgendwelchen Fenstern ist.
Wer die Aufgabenstellung ignoriert, kann natuerlich leicht zu falschen
Ergebnissen kommen.

> Das war in unseren Augen ein Reiz der Aufgabe, dass das Ergebnis für
> viele unerwartet ist.
Unerwartet oder lediglich falsch? Ich kann ihre Argumentation nachvollziehen
aber nicht teilen.

> Noch kurioser ist, das die gegenteilige Aussage, der Junge waere das
> juengere Kind, zu genau der gleichen Wahrscheinlichkeit von 0,5
> fuehrt.
> Das ist nicht kurioser als das andere.
Nein, es ist tatsaechlich nicht kurioser, wenn man weiss, das die Loesung
0,5 ist. Dies wiederspricht nur der Annahme, die Loesung koennte 2/3 sein.
Man bedenke, wenn die Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorbedingung B
gleich der Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorbedingung nicht B ist, so
entspricht sie der Wahrscheinlichkeit von A und A ist von B unabhaengig.
Wenn also die Wahrscheinichkeit fuer ein Maedchen unter der Bedingung, der
Junge ist das aeltere Kind 0,5 ist und die Wahrscheinlichkeit fuer ein
Maedchen unter der Bedingung, der Junge ist das juengere - und eben nicht
das aeltere - Kind ebenfalls 0,5 ist, so ist die Wahrscheinlichkeit stets
0,5 unabhaengig vom Alter.

> Wir muessen zwingend davon ausgehen, das Ralph entweder juenger
> oder aelter ist,
> genau einer der Faelle muss zutreffen. Jeweils ist die
> Wahrscheinlichkeit
> 0,5, wenn wir eine der Aussagen annehmen.
> Das ist unbestritten. Nur ändert sich mit der jeweiligen Annahme das
> Problem.
Moeglicherweise aendert sich das Problem. In der Mathematik darf aber nie
die Loesung eines Problemes im Widerspruch zur Loesung eines anderen
Problemes
stehen.

> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
> gefragt. Das wird als Fakt gesetzt [...]
Die Wahrscheinlichkeit wird nicht als Fakt gesetzt. Sie ist ueberhaupt nicht
gegeben. Das Ereignis selbst wird als Fakt gesetzt, aber nicht seine
Wahrscheinlichkeit. Wenn ich eine 6 wuerfele, so ist die Wahrscheinlichkeit
davon immer noch 1/6. Wenn im Lotto die 13 gezogen wird, so ist die
Wahrscheinlichkeit davon immer noch 1/49. Wenn ein Kind am Fenster steht, so
ist sein Geschlecht immer noch mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 maennlich.
Nach der Regel des unzureichenden Grundes muessen wir von dieser
Wahrscheinlichkeit ausgehen, so lange die Aufgabenstellung nicht explizit
etwas Anderes vorgibt.

Sehr geehrter Herr Rösch,
Sie schrieben in Ihrer ersten Mail:
> Nun entspricht das allerdings nicht ganz der Aufgabenstellung.
> Dorothea
> kennt naemlich das Geschlecht eines bestimmten Kindes ("das Kind am
> Fenster") und es muesste dann der Loesungsweg aus dem dritten Teil der
> Aufgabe angewendet werden.
Das Problem liegt im Sinn des Wortes "bestimmt". Die Aufgabenstellung
lässt zwei Bestimmungen zu, die nach Geschlecht und Alter. "Das Kind
am Fenster" ist nach dem Geschlecht bestimmt, nicht aber nach dem
Alter, da Dorothea nicht weiß, ob es das jüngere oder das ältere ist.

> Hier sehe ich nicht, wo der Unterschied der Voraussetzung "Sobald
> Dorothea weiß, dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist,
> beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist,
> 0,667" zu der im Aufgabentext umrissenen Voraussetzung besteht.
> Der Unterschied ist, das einmal das Geschlecht eines zufaelligen
> Kindes
> erfaehrt oder jemand absichtlich einen Jungen waehlt und sein
> Geschlecht
> bekannt gibt. Von Letzterem kann man aber nicht ausgehen, wenn man
> ein Kind
> am Fenster sieht.
Heißt das, dass wir gemeinsam davon ausgehen, dass Dorothea nur weiß,
dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist?

> Der Unterschied in der Notation ist wesentlich, was man daran
> erkennt, dass ein Wechsel der Notation zu anderen Ergebnissen führt.
> Eine Notation beeinflusst nie das Ergebnis, das Ergebnis ist unter
> allen
> Notationen gleich.
Das setzt die Angemessenheit der Notation voraus. Wenn man mit zwei
Notationen zu verschiedenen Ergebnissen kommt, ist mindestens eine
dem Problem nicht angemessen.
> Es ist lediglich unter einigen Notationen evtl. leichter zu
> berechnen. Auch die benuzte Notation fuehrt zum Ergebnis von 1/2
> wenn man
> beachtet, das die Wahrscheinlichkeit von (J;J) 0,5 und die von
> (J;M) und
> (M;J) jeweils 0,25 ist.
Über diese Wahrscheinlichkeiten sind wir verschiedener Meinung. Ohne
Vorwissen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit zwei
Kindern zwei Jungen hat 0,25; die Wahrscheinlichkeit für ein
gemischtes Geschwisterpaar 0,5 und für zwei Mädchen 0,25. Deswegen
ist die Antwort auf die erste Frage zwischen uns ja auch unstrittig
(jedenfalls nehme ich das an, weil Sie das bisher noch nicht in die
Auseinandersetzung eingeführt haben). Durch das Vorwissen ändern sich
die Wahrscheinlichkeiten mit dem Faktor 1/0,75 für die jetzt noch
möglichen Fälle (0,75 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge
dabei ist.)

> Die den Elementen zugeschriebene Wahrscheinlichkeit geht von der
> Frage aus, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Familie mit zwei
> Kindern zwei Jungen hat.
> Dies ist aber falsch. Die Wahrscheinichkeit muss von der beschriebenen
> Situation ausgehen. Beschrieben ist, das ein Junge am Fenster
> steht, daher
> ist die Wahrscheinlichkeit fuer (J;J) hoeher. In solchen Familien
> stehen
> oefter Jungen am
> Fenster.
Hier widersprechen Sie dem, was Sie am Ende schreiben.
> Eine andere Moeglichkeit ist, in den Elementen auch noch anzugeben,
> wer denn nun am Fenster steht. Nehmen wir beispielsweise an (J;M;2)
> steht
> fuer Junge Maedchen und 2. Kind (also Maedchen) am Fenster. Es
> ergeben sich
> dann die 8 moeglichen Ereignisse:
> (J;J;1); (J;J;2); (M;J;1); (M;J;2); (J;M;1); (J;M;2); (M;M;1); (M;M;2)

> Wissen wir nun, das ein Junge am Fenster steht, bleiben folgende,
> diesmal
> wirklich gleich wahrscheinliche Moeglichkeiten:
> (J;J;1); (J;J;2); (M;J;2); (J;M;1)
Diese Aufteilung passt zur Fragestellung:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei einer Familie mit
zwei Kindern, über deren Geschlecht man nichts weiß, ein Junge am
Fenster zeigt? (vier zutreffende Fälle von acht möglichen.)
Gefragt ist aber nach der Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen dabei
ist, wenn sich schon ein Junge gezeigt hat.
Gehen wir wieder von unseren 6000 Familien aus, dann hat sich bei den
1500 Familien mit zwei Jungen einmal der jüngere (davon gibt es 1500)
und einmal der ältere (davon gibt es auch 1500) am Fenster gezeigt.
Das ändert aber nichts daran, dass es 1500 Familien mit zwei Jungen
sind. Ebenso gibt es 1500 Familien mit einem älteren Mädchen und
einem jüngeren Jungen und 1500 Familien mit einem jüngeren Jungen und
einem älteren Mädchen. Wir zählen also 4500 Familien. In 3000 davon
ist ein Kind ein Mädchen. Wähle ich also eine Familie aus den 4500,
so erhalte ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 eine, in der ein
Mädchen vorkommt.
Würde ich abweichend von der Fragestellung in unserem Aufgabenblatt
nach der Wahrscheinlichkeit fragen, dass sich bei den 4500 Familien
mit mindestens einem Jungen zufällig ein Junge am Fenster zeigt, so
wären von den 9000 Kinder in diesen Familien 6000 Jungen, es wäre
also mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 ein Junge.

> Eine weitere Notation, das Ergebnis ist wiederum 0,5. (Wofür? - wb)

> Noch kurioser ist, das die gegenteilige Aussage, der Junge waere das
> juengere Kind, zu genau der gleichen Wahrscheinlichkeit von 0,5
> fuehrt.
> Das ist nicht kurioser als das andere.
> Nein, es ist tatsaechlich nicht kurioser, wenn man weiss, das die
> Loesung
> 0,5 ist. Dies wiederspricht nur der Annahme, die Loesung koennte
> 2/3 sein.
> Man bedenke, wenn die Wahrscheinlichkeit von A unter der
> Vorbedingung B
> gleich der Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorbedingung nicht B
> ist, so
> entspricht sie der Wahrscheinlichkeit von A und A ist von B
> unabhaengig.
Hier hilft es, die Vorbedingung einmal ausdrücklich auszusprechen:
B: Das Kind am Fenster ist das ältere und es ist ein Junge. Nicht B
hieße dann:
Das Kind am Fenster ist das jüngere oder es ist ein Mädchen. (De
Morgansche Regel der Negation.)
Fasst man B unter Zugrundelegen meiner Notation als Menge, so enthält
es die Elemente (J;J) und (J;M).
Nicht B enthält dann die Elemente (M;J) und (M;M)
> Wenn also die Wahrscheinichkeit fuer ein Maedchen unter der
> Bedingung, der
> Junge ist das aeltere Kind 0,5 ist und die Wahrscheinlichkeit fuer ein
> Maedchen unter der Bedingung, der Junge ist das juengere - und eben
> nicht
> das aeltere - Kind ebenfalls 0,5 ist, so ist die Wahrscheinlichkeit
> stets
> 0,5 unabhaengig vom Alter.
Das gilt eben genau deshalb nicht, weil "nicht B" eben nicht heißt,
dass das jüngere Kind ein Junge ist.

> Wir muessen zwingend davon ausgehen, das Ralph entweder juenger
> oder aelter ist,
> genau einer der Faelle muss zutreffen. Jeweils ist die
> Wahrscheinlichkeit
> 0,5, wenn wir eine der Aussagen annehmen.
> Das ist unbestritten. Nur ändert sich mit der jeweiligen Annahme das
> Problem.
> Moeglicherweise aendert sich das Problem. In der Mathematik darf
> aber nie
> die Loesung eines Problemes im Widerspruch zur Loesung eines anderen
> Problemes
> stehen.
Der Widerspruch besteht nur in der inkorrekten Bildung der
Komplementärmenge "nicht B".

> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
> gefragt. Das wird als Fakt gesetzt [...]
Das war offenbar zu kurz formuliert: Es wird als Fakt gesetzt, dass
ein Junge ans Fenster geht.
> Die Wahrscheinlichkeit wird nicht als Fakt gesetzt. Sie ist
> ueberhaupt nicht
> gegeben. Das Ereignis selbst wird als Fakt gesetzt, aber nicht seine
> Wahrscheinlichkeit. Wenn ich eine 6 wuerfele, so ist die
> Wahrscheinlichkeit
> davon immer noch 1/6. Wenn im Lotto die 13 gezogen wird, so ist die
> Wahrscheinlichkeit davon immer noch 1/49.
Wenn beim Lotto bereits die 13 gezogen wurde, dann ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sie bei der gleichen Ziehung noch einmal
auftaucht 0, weil es nur eine 13 gibt. Wenn schon eine andere Kugel
gezogen wurde, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 13 als
zweite Kugel gezogen wird 1/48. Es ist also möglich, dass Fakten die
Wahrscheinlichkeiten ändern, um das zu beschreiben, ist der Begriff
der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt worden.
> Wenn ein Kind am Fenster steht, so
> ist sein Geschlecht immer noch mit der Wahrscheinlichkeit 1/2
> maennlich.
> Nach der Regel des unzureichenden Grundes muessen wir von dieser
> Wahrscheinlichkeit ausgehen, so lange die Aufgabenstellung nicht
> explizit
> etwas Anderes vorgibt.
Die Aufgabenstellung geht davon aus, dass das am Fenster stehende
Kind erkennbar ein Junge ist.

Diesmal doch noch einige kurze Anmerkungen, die ich mir nicht verkneifen kann:

Die Aufgabenstellung lässt zwei Bestimmungen zu, die nach Geschlecht und Alter.

Falsch, die Aufagenstellung kann ueberhaupt keine Bestimmung verbieten. Ich darf eine beliebige verwenden. Wenn ich nach z.b. Groesse oder Gewicht unterscheiden, wenn ich moechte. Ausserdem ist gerade nach meiner Unterscheidung am Fenster/nicht am Fenster an ein Unterscheidung an Hand der Aufgabenstellung gegeben.

Heißt das, dass wir gemeinsam davon ausgehen, dass Dorothea nur weiß,
dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist?

Falsch.

Das setzt die Angemessenheit der Notation voraus. Wenn man mit zwei
Notationen zu verschiedenen Ergebnissen kommt, ist mindestens eine
dem Problem nicht angemessen.

Falsch. JEDE Notation fuehrt per Definition zum selben Ergebnis. Wenn etwas falsch ist, dann der Rechenweg.

Durch das Vorwissen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten mit dem Faktor 1/0,75 für die jetzt noch möglichen Fälle (0,75 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge dabei ist.)

Falsch.

Hier widersprechen Sie dem, was Sie am Ende schreiben.

Falsch.

Würde ich abweichend von der Fragestellung in unserem Aufgabenblatt
nach der Wahrscheinlichkeit fragen, dass sich bei den 4500 Familien
mit mindestens einem Jungen zufällig ein Junge am Fenster zeigt, so
wären von den 9000 Kinder in diesen Familien 6000 Jungen, es wäre
also mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 ein Junge.

ACHTUNG: KORREKT(Selbst wenn der Rechenweg nicht astrein ist.)! Und damit waere gezeigt, das nicht in allen diese 4500 Familien der Junge am Fenster steht! Er steht nur bei 3000 Familien am Fenster, was uns zu derr korrekten Loesung 0,5 fuehrt! (LOL)

Hier hilft es, die Vorbedingung einmal ausdrücklich auszusprechen:
B: Das Kind am Fenster ist das ältere und es ist ein Junge. Nicht B
hieße dann:
Das Kind am Fenster ist das jüngere oder es ist ein Mädchen. (De
Morgansche Regel der Negation.)

Und da die Aufagebstellung sagt, das Kind am Fenster ist ein Junge, wird diese Bedingung nur von einem juengeren Jungen erfuellt. f'`8k

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

[Shinja]

Jetzt mal im Ernst: Ist es nicht annehmbar, wenn soviele Leute 87 Seiten lang über das Thema streiten können, dass dann schlicht und ergreifend die Aufgabenstellung unzureichend ist.

Und ja, das ist sie. Sie lässt 2 Interpretationen zu:
a) die Familie hat den Jungen ans Fenster geschickt, damit er als erster gesehen wird. (66%)
b) von 2 Kindern steht eins zufällig am Fenster und wir betrachten nur die Fälle, in denen das ein Junge war. (50%)

Mehrdeutige Aufgabenstellungen sind ja keine Seltenheit (wir hatten regelmäszig welche in der Schule) und besonders in Wahrscheinlichkeitsrechnungen nervig. Es muss einfach besser präzisiert werden, was gemeint ist.

[asmodis]

Meiner Meinung nach ist die Aufgabenstellung einsdeutig. Sie sagt: es steht ein Junge am Fenster. Das ist nicht zufällig, sondern eine Voraussetzung.
Gesucht ist die W'keit
P["die Fam. hat einen Jungen und ein Mädchen" | "die Fam. hat mindestens einen Jungen] = P[(M,J),(J,M)] / P[(M,J), (J,M), (J,J)] = (1/2) / (3/4) = 2/3

wobei der Grundraum gleich {(M,M),(J,M),(M,J),(J,J)} ist und man die uniforme Verteilung darauf betrachtet.
War jetzt zu faul um hier alle 80 seiten durchzulesen und weiss daher nicht wieoft diese Lösung schon kam und von anderen verworfen wurde...