Ein Beweis

Hallo!

Ich soll beweisen, dass (M \ N) u (N \ M) das selbe ist wie (M u N) \ (M n N).
Aber wie mach ich das? Mir fehlen irgendwie die Ideen oder die nötige Fantasie...
Gebt mir mal ein (oder zwei) Schubs(e) is die richtige Richtung.

Danke im Voraus
japse

Jester

Wie zeigt man die Gleichheit von zwei Mengen?
Man zeigt, daß die eine in der anderen enthalten ist und umgekehrt.

Wie zeigt man enthaltensein? Man nimmt sich ein beliebiges Element aus der einen Menge und zeigt, daß es in der anderen drin ist.

Tipp für links nach rechts:

Das Element ist in M\N oder in N\M. Du kannst ohne Einschränkung annehmen, daß es in M\N ist.

Generell hilft bei sowas: sich genau aufschreiben, wann etwas wo drin ist. Schöne aussagenlogische Formeln draus machen und die dann in Ruhe umstellen. Außerdem ein paar nette Diagramm malen und sich anschaulich überlegen, warum das wohl so ist. Danach kann man sich dann überlegen, wie man diese Anschauung formaiisieren kann.

bluecode

hi,

ehrlich gesagt wüsste ich nicht wie man da einen Beweis durch Rechnung machen könnte, da es da irgendwie keine Zwischenschritte machen könnte, oder? Ich würd halt mit Worten erklären was (M\N)u(N\M) is und das des äquivalent zu (MuN)\(MnN) ist.

[edit: Da war einer um 30sekunden schneller. Die Idee mit den Diagrammen ist sehr gut ]

Anschaulich (Mengendiagramme) ist es dir ja klar?

Bei Mengengleichheit kannst du bei solchen Aufgaben einfach die Definitionen einsetzen und umformen oder zeigen, dass die eine Teilmenge der anderen und umgekehrt ist ("Sei a \in A beliebig, dann ... ==> a \in B.").

Ich würde da so rangehen:

Definiere
M(x) := x Element M
N(x) := x Element N

so und nun auf logische Ausdrücke zurückführen (Wahrheitstafel)

Also so:

M(x) | N(x) | M(x) / N(x)  | N(x) / M(x) | (M(x) \ N(x)) u (N(x) \ M(x)) |  
  0  |   0  |   0          |   0         |        0                      |  
  0  |   1  |   0          |   1         |        1                      |
  1  |   0  |   1          |   0         |        1                      |
  1  |   1  |   0          |   0         |        0                      |

M(x) U N(x)  |  M(x) n N(x) |    (M(x) u N(x)) \ (M(x) n N(x))
      0      |       0      |                  0
      1      |       0      |                  1
      1      |       0      |                  1
      1      |       1      |                  0

Dies ist aber mit Vorsicht zu genießen, da ich erst im ersten Semester an der UNI bin (Informatik)

ps. es fehlt noch:

(M(x) \ N(x)) u (N(x) \ M(x)) <=> (M(x) u N(x)) \ (M(x) n N(x))
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Jester

Jo, das ist auch ein netter Ansatz. Wenn auch nicht allzu mathematisch

@bluecode: oh doch, da kann man Zwischenschritte machen, ich zeig mal eine Richtung, von links nach rechts. Ohne Einschränkung nehme ich an:

x \in M \setminus N \Rightarrow x \in M, x \not\in N \Rightarrow x \in M \cup N, \x \not\in M \cap N \Rightarrow x \in (M \cup N)\setminus(M \cap N)

volkard

(M \ N) u (N \ M)
== //sollte in der definition des operator\ stehen
{ x | x€M und !(x€N)) u { x | x€N und !(x€M))
== //sollte in der definition des operatoru stehen
{ x | ( x€M und !(x€N) ) oder ( x€N und !(x€M) ) }
== de Morgan
{ x | ( !(x€M) oder x€N ) und ( !(x€N) oder x€M ) }
==...un wieder zusammenfassen

eventuell vorhandene fehler dienen zur übung des lesers.

Warum ist das zurückführen auf logische Ausdrücke nicht alzu mathematisch?
Ist logik denn nicht ein Teil der Mathematik?

volkard

MisterX schrieb:

Warum ist das zurückführen auf logische Ausdrücke nicht alzu mathematisch?
Ist logik denn nicht ein Teil der Mathematik?

es ist korrekt. damit mathematisch im engeren sinne.
aber untypisch fpr mathematiker. zu einfach.

bluecode

Jester schrieb:

@bluecode: oh doch, da kann man Zwischenschritte machen, ich zeig mal eine Richtung, von links nach rechts. Ohne Einschränkung nehme ich an:

x \in M \setminus N \Rightarrow x \in M, x \not\in N \Rightarrow x \in M \cup N, \x \not\in M \cap N \Rightarrow x \in (M \cup N)\setminus(M \cap N)

stimmt
Ich dachte bei Zwischenschritten eher an eine Äquivalenzumformung, nicht an eine aneinanderreihung von Aussagen (welche natürlich auch zum Ergebnis führt)

volkard schrieb:

MisterX schrieb:

Warum ist das zurückführen auf logische Ausdrücke nicht alzu mathematisch?
Ist logik denn nicht ein Teil der Mathematik?

es ist korrekt. damit mathematisch im engeren sinne.
aber untypisch fpr mathematiker. zu einfach.

lol

Darum studiere ich auch Informatik, weil ich die einfachen und effizienten Lösungen suchen möchte

Jester

Was ist ann einer vollständigen Auflistung aller Kombinationen effizient?

volkard

Jester schrieb:

Was ist ann einer vollständigen Auflistung aller Kombinationen effizient?

effizient isses wohl nicht, wenn du bedeutung/zeichen meinst. und nu?