Kurvenscharen

Hallo!

Folgende Kurvenschar sei gegeben: f_a(x) = 2x² - 4ax + a² +4

Nun komme ich jedoch nicht bei der Aufgabe weiter, wo man zeigen soll, dass h(x) = 4 - 2x² jede Scharkurve berührt. Mein Ansatz war der, dass ich versucht habe, die beiden Ableitungen f'_a(x) = 4x - 4a und h'(x) = -4x gleichzusetzen, aber dies bringt mich irgendwie nicht weiter, da man auf ein Ergebnis wie a = 2x bzw. x = 0.5a kommt.

Außerdem soll man die Schar noch auf eine etwaige Symmetrie zur x-Achse überprüfen. Der allgemeine Ansatz dafür lautet ja f_a[t]1[/t](x) = - f_a[t]2[/t](x), aber anschließend komme ich nicht weiter.

Vielen Dank für eure Hilfe!

scrub

zum thema "scharkurve berührt kurve": es ist einfach gefragt, ob die von dir bereits aufgestellte gleichung (ableitung von g = ableitung von h) immer lösbar ist. solltest du eigentlich leicht sehen können.

was die symmetrie angeht, mein tip: binomische formel.

scrub schrieb:

zum thema "scharkurve berührt kurve": es ist einfach gefragt, ob die von dir bereits aufgestellte gleichung (ableitung von g = ableitung von h) immer lösbar ist. solltest du eigentlich leicht sehen können.

Außerdem solltest du noch überprüfen, ob an dem berechneten Punkt beide Funktionen den selben Wert haben. (f_a(x)=g(x) für dein berechnetes x und beliebige a)

Außerdem soll man die Schar noch auf eine etwaige Symmetrie zur x-Achse überprüfen. Der allgemeine Ansatz dafür lautet ja f_a1(x) = - f_a2(x), aber anschließend komme ich nicht weiter.

Was genau soll denn das bringen? Symmetrisch zur x-Achse ist nur eine einzige Funktion: f(x)=0 - Symmetrie zur y-Achse testest du mit f(x)=f(-x).

(und da alle deine Funktionen nach oben geöffnete Parabeln sind, wirst du auch keine finden, für die f_a(x)=-f_b(x) gilt)

wenn sie sich nur berühren sollen und nicht schneiden, sollte man doch auch noch schauen, ob die erste ableitung bei ihrem gemeinsamen punkt gleich sind, oder?

CStoll

Ja, deshalb sagte ich ja "an dem berechneten Punkt" Wenn nur die Ableitungen übereinstimmen, könnten die Tangenten auch zufällig parallel zueinander liegen.

Deshalb nochmal langsam:

bestimme x mit f_a'(x) = g'(x) (in Abhängigkeit von a)
prüfe für dieses x, ob f_a(x) = g(x) gilt
(wenn 2 JA ergibt, berühren sich die Funktionen)