Integrieren von Wurzelfunktionen

Walli

Desert Storm schrieb:

Ich hab also jetzt die Funktion umgeformt in:
f(x)= x*(a - x²⁾0,5

Ja, das ist doch exakt das, was ich vorgeschlagen habe. Jetzt kann man entweder eine Integraltabelle nehmen oder lustig substituieren, umformen und partiell integrieren, was allerdings ein ziemlicher Aufwand ist.

Btw: Maple sagt zu "int(x*sqrt(a - x^2),x);" folgendes:
$-1/3\, \left( a-{x}^{2} \right) ^{3/2}$

Also kommt meine Lösung von oben hin.

Kannst du mir denn mal bitte Zeigen wie ich das mit Substitution mache?? Weil wir sollen das alles schriftlich per Hand machen.
THX

Walli

Ich würde mir erstmal ein $b=\sqrt{a}$ definieren. Dann kann man aus dem Ausdruck folgendes machen:
$x\,\sqrt{(b-x)\cdot(b+x)}$

Daraus kann man dann dies hier machen:
x\,\sqrt{b-x}\cdot{\sqrt{b+x}

Dann würde ich da mal partiell integrieren und schauen wie weit ich komme. Ist aber nur ne 1. Idee. So komische Integrale habe ich seit 3-4 Semestern nicht mehr von Hand geknackt . Sieht ziemlich nach ner Fleißarbeit aus.

Daniel E.

Desert Storm schrieb:

Kannst du mir denn mal bitte Zeigen wie ich das mit Substitution mache?? Weil wir sollen das alles schriftlich per Hand machen.

Schlampig:

u = (a-x²)^1/2 =>
du/dx = - x/u => dx = -du/x u =>
∫ x u dx = - ∫ u^2 du = - 1/3 u^3

Das kannst Du jetzt resubstituieren und kriegst

-1/3 (a-x²)^3/2

Walli

Stimmt, durch das x vor der Wurzel ist es einfacher als ich bis eben dachte. Wäre da kein x müsste man wahrscheinlich irgendwie x=b*sin(t) substituieren und ein paar Identitäten ausnutzen.

Ich versteh den letzten Schritt von Daniel noch nicht.
Wie kommt er von du/dx = -x/u. Das versteh ich noch. Aber wie kommt er dann nach dx = -du/x u ??
Wo kommt das u und das x denn her??
Ich versteh das net so ganz. Hab glaub ich gerade n Brett vorm Kopf.

Walli

Einfach umgeformt: du/dx = - x/u <=> du = -x/u dx <=> dx = -u/x du

Aso. Ich hab da was falsches draus gelesen.
Aber wieso ist denn eigentlich du/dx = -x/u??
Kann man das einfach so festlegen?

Und noch ein Problem. Wenn ich das Integral von meinem Taschenrechner berechnen lasse von 0 bis zur ersten Nullstelle, kommt halt immer was raus und wenn ich die Nullstelle so einsetze in der Stammfunktion die jetzt hier im Forum steht, kommt 0 raus!!??

Jan

Desert Storm schrieb:

Aber wieso ist denn eigentlich du/dx = -x/u??
Kann man das einfach so festlegen?

Nein. Das erhältst du einfach dadurch, dass du auf beiden Seiten nach x ableitest.
Also:
u = (a-x²)^1/2 | d/dx

du/dx = d/dx (a-x²)^1/2 = -2x * 1/2 * (a-x²)^-1/2 = -x * u^-1 = -x/u