4. Rechnen mit unendlichen womöglich divergenten Summen

Rechnen mit unendlichen womöglich divergenten Summen

  • X

    Hi!

    Ich sitz grad an meinen Hausaufgaben und bin mir bei einem Schritt nicht hundert Prozent sicher. Ich soll die (absolute) Konvergenz von

    ∑n=1∞(−1)n⋅nn+1\sum^{\infty}_{n=1} (-1)^n \cdot \frac{n}{n+1}

    zeigen. Absolute Konvergenz liegt nicht vor, aber mit der 'normalen' Konvergenz tu ich mich schwer.

    nn+1\frac {n}{n+1}

    ist kein Nullfolge, also greift das Leibnitzkriterium auch nicht. Ich hab mir nun folgende Umformung gedacht:

    \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^n \cdot \frac{n}{n+1}=-\frac{1}{2}+\sum^{\infty}_{n=2} (-1)^n \cdot \frac{n}{n+1}=-\frac{1}{2}+ \left( \frac{2}{3} -\frac {3}{4}\right)\right + \left( \frac{4}{5}-\frac{5}{6} \right)...

    Nun haben ja alle Klammern die Form

    nn+1−n+1n+2=−1(n+1)(n+2)\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}=-\frac{1}{(n+1)(n+2)}.

    Also hab ich dann eine neue Reihe

    −12+∑n=1∞1(n+1)(n+2)=−12+∑n=2∞1n⋅(n+1)-\frac{1}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(n+1)(n+2)}=-\frac{1}{2}+\sum^{\infty}_{n=2}\frac{1}{n \cdot (n+1)} .

    Meine Frage ist, ob ich das so machen kann. Ich weiß, dass unendliche Summen i.a. nicht kommutativ sind, aber gilt das auch für die Assoziativität? Und muss ich dann beweisen, dass diese neue Summe die ich hergeleitet hab mit der ursprünglichen identisch ist (was den Grenzwert angeht) oder reicht es einfach von ihr den Grenzwert zu bestimmen, und zu sagen, dass er auch für die Ausgangssumme gilt?

    0
  • S

    Xul schrieb:

    Nun haben ja alle Klammern die Form

    nn+1−n+1n+2=−1(n+1)(n+2)\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}=-\frac{1}{(n+1)(n+2)}.

    Also hab ich dann eine neue Reihe

    −12+∑n=1∞1(n+1)(n+2)=−12+∑n=2∞1n⋅(n+1)-\frac{1}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(n+1)(n+2)}=-\frac{1}{2}+\sum^{\infty}_{n=2}\frac{1}{n \cdot (n+1)} .

    Achtung, da Du jeweils zwei Summanden zusammenfasst, musst Du jetzt auch die Summe so umbiegen, dass Du nur gerade n betrachtest!

    Meine Frage ist, ob ich das so machen kann. Ich weiß, dass unendliche Summen i.a. nicht kommutativ sind, aber gilt das auch für die Assoziativität?

    Im allgemeinen leider nicht. Betrachte z.B. (1-1)+(1-1)+(1-1)+... vs. 1+(-1+1)+(-1+1)+... Das eine hat offensichtlich den Grenzwert 0, das andere den Grenzwert 1 - die ungeklammerte Reihe divergiert also. Aber IIRC wars so, dass WENN sie konvergiert, auch das Assoziativgesetz gilt. (Kann das wer bestaetigen?) Du muesstest also die Konvergenz der urspruenglichen Reihe auf anderem Wege zeigen (nur die Konvergenz, nicht den Grenzwert), und koenntest dann den Grenzwert wie von Dir gedacht ausrechnen.

    0
  • S

    Xul schrieb:

    nn+1\frac {n}{n+1}

    ist kein Nullfolge,

    Ganz doofe Frage: Bist Du damit nicht schon fertig? Um die Uhrzeit bin ich eigentlich nicht mehr fuer Analysis zu gebrauchen (haeng gerade ueber der Graphentheorie), aber muessen die Summanden nicht eine Nullfolge bilden, damit die Reihe ueberhaupt konvergieren kann?

    0
  • X

    Argg.. gerade die Konvergenz gilt es nachzuweisen. Trotzdem danke für die Antwort. So tapp ich nicht weiter auf dem Holzweg.

    Gruß
    Xul

    0
  • X

    Hmm.. naja, man sieht ja, dass das ganze gegen 1 konvergiert. Ganz unmathematisch formuliert hieße das: ziehe von 1 etwas weniger als 1 ab, und addiere etwas mehr (aber weniger als 1) dazu usw. Ich denke, das ganze könnte schon konvergieren. Der Wert ist auch irrelevant. Einzig der Konvergenznachweis ist wichtig.

    0
  • V

    SG1 schrieb:

    Xul schrieb:

    nn+1\frac {n}{n+1}
    ist kein Nullfolge,

    Ganz doofe Frage: Bist Du damit nicht schon fertig?

    klingt einleuchtend.
    mal sehen, was wikipedia dazu sagt.
    such, such...
    http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium

    Trivialkriterium (Ist die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge dann divergiert die Reihe)

    jo, wenns einem einleuchtet *und* es in wikipedia steht, wird's wohl wahr sein.

    0
  • B

    Xul schrieb:

    Hmm.. naja, man sieht ja, dass das ganze gegen 1 konvergiert. Ganz unmathematisch formuliert hieße das: ziehe von 1 etwas weniger als 1 ab, und addiere etwas mehr (aber weniger als 1) dazu usw.

    Mal unmathematisch formuliert: Wenn es konvergieren sollte, dürftest du nur in jedem Schritt "etwas mehr als 0" addieren oder subtrahieren. Wenn du immer ungefähr 1 addierst und subtrahierst, hüpft deine Partialsummenfolge zwischen 0 und 1 (nehm ich jetzt mal an aufgrund deiner Aussage, jedenfalls zwischen zwei Zahlen die um 1 auseinander sind) herum.

    0
  • X

    Ich bin auch ne hohle Nuss. Bashar hat Recht. Mathematisch formulierte hieße das: Es existiert keine epsilon-Umgebung. Und dafür hab ich mir jetzt son Kopp gemacht. Naja, danke für eure Antworten. Habt mich vor nem bösen Fehler bewahrt.

    Xul

    0
  • X

    Nur mal so zur allgemeinen Belustigung:
    Derive sagt dazu folgendes:
    ∑n=1∞((−1)nnn+1)=−ln2+sin∞2+12\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^{n} \frac{n}{n+1} \right) = -\ln 2 + \frac{\sin \infty}{2} + \frac{1}{2}

    0
  • S

    XFame schrieb:

    sin∞2\frac{\sin \infty}{2}

    Danke. Wer wischt jetzt den Apfelsaft wieder von der Wand?

    0
  • X

    Also entweder dich interessiert es nicht, oder ich verstehe deinen Satz nicht.

    0
  • S

    Naja, was passiert, wenn man beim Trinken ploetzlich lachen muss?

    0
  • X

    Ah, und das soll man da rauslesen ;)?

    0
  • B

    XFame schrieb:

    Ah, und das soll man da rauslesen ;)?

    Die traditionelle Formulierung lautet eigentlich "Du schuldest mir eine neue Tastatur".

    0
  • ?

    Tipp: Zeige das die Paritalsummen keine Cauchyfolge bilden. Dies erklärt auch das Ergebniss von Derive.

    0
Anmelden zum Antworten