Referat über Differentialgeometrie
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-"Nabla"-Operator wär ein Stichwort; das ist ein umgekehrtes grosses Dreieck.
Machen wir's mal kartesisch:
(polar sieht's deutlich fieser aus)Sei
f: |R^3 -> |R
F: |R^3-> -> |R^3 (Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z))Nabla := (d/dx,d/dy,d/dz)
Nabla f -> (df/dx,df/dy,df/dz) elem |R^3
also die drei partiellen Ableitungen einr Skalarwerigen Funktion über dem |R^3 in einem Vektor.
Nennt sich auch Gradient grad und "macht" z.B. aus Potentialen Vektoren (also Kräfte)
Steht soweit ich das erinnere semkrecht auf Tangentialflächen (!)(Nabla * Nabla) f -> (d2f/dx2,d2f/dx2,d2f/dx2)
also der Vektor mit den zweiten Ableitungen von f nannt sich auch "Laplace Operator" (Ein einfaches grosses Dreieck)Nable * F -> <Nabla,F> -> (dFx/dx,dFy/dy,dFz/dz)
Nennt sich auch Divergenz div.Nabla x F (Kreuzprodukt) nennt sich auch Rotation rot. Kannste ja mal ausmultiplizieren.
(Das sind formale Operationen; einige Mathematiker mögen das nicht; es kommt aber das richtige raus)
- Kettenregel fürs Diffenzieren gilt sinngemäss auch bei Analysis im R^n; siht dann nur ein wenig anders aus z.B.
Ableitungsmatrix * grad
o.ae.
Btw ein echt heftiges Thema für 12II; sowa macht man eigentlich, wenn überhaupt, nach Linearer Algbra, Analysis im R^n und Funktionentheorie (Analysis über |C) kurz vorm Vordiplom oder kurz danach.
Viel Erfolg!
Grüsse
*this
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hallo, danke für die antworten.
aber wie sieht denn nun eine intrinsische darstellung einer riemannschen mannigfaltikeit aus? muss da mit den karten arbeiten? davon, wie man mit denen arbeitet, hab ich nämlich echt kein plan -.- dann werd ich die intrinsische darstellung wohl weglassen müssen, wollte ja eh mehr im bereich der klassischen diffgeo. machen@Gast++: danke für die umfangreiche darstellung, aber, ehrlich gesagt, weiß ich nicht so recht was ich damit anfangen soll bzw. wofür ich nabla überhaupt brauche, nach wikipedia scheint es einfach eine kurzform für alle partiellen ableitungen im IR^n zu sein. mein nichtverständnis liegt sicher auch an meiner unzureichenden mathematichen bildung, sprich analysis im IR^n, partielle ableitungen, kreuzprodukt von vektoren, matrizenrechnung etc. hatten wir (noch) nicht in der schule (einiges werden wir dort natürlich auch nicht behandeln) und habe ich mir bis dato auch nicht so angeeignet, sodass ich praktisch alles mehr oder weniger im crashkurs machen muss, ohne ein tieferes verständnis dafür zu entwickeln (was evtl. von nöten ist). leider muss ich das referat morgen schon halten (ja, habs zu lange schluren lassen, ich dachte die klassische diffgeo. würde reichen, aber das mannigfaltigkeitenzeuch find ich iwie ganz interessant, wenn auch sehr schwierig :/)
Ich würde ganz gerne was von riemanns geometrie reinbringen und nicht *nur* über klassische differentialgeometrie reden, also bin noch für jeden tip/kommentar/... dankbar, werde wohl eh bis morgn früh noch daran arbeiten, sodass ein posting gar nciht zu spät sein kanneine frage noch: was genau bedeutet das zeichen ∂ bei den partiellen ableitungen eigentlich genau?
Gast++ schrieb:
Viel Erfolg!
danke schön!
überhaupt mal ein dickes danke an alle, die mich hier so tatkräftig unterstützen!!!
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Den Nablaoperator kenne ich jetzt eher aus der Vektoranalysis als aus der Diffgeo.
Dieses stilisierte d (man nennt es oft "del") steht für die partielle Ableitung.
del f(x,y) / del x heißt Ableitung von f(x,y) nach x
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hi, danke. hatte mir das schon so in etwa gedacht, aber ich wollte doch ncoh mal auch nummer sicher gehen.
nochmal eine generelle frage: warum rechnet man eigtl. überhaupt mit mannigfaltigkeiten, wenn man das doch auch eigtl. alles mit parametrisierten flächen machen kann?
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Zum einen gibt es noch viel mehr als Flächen, zum anderen: Wer sagt denn, dass man jede Mannigfaltigkeit parametrisieren kann?
Man möchte halt einen allgemeinen Begriff haben, sodass die Sätze eben immer gültig sind. Könnte dann ja sein, dass manche Sätze von der Parametrisierung abhängen (gibt ja immer mehr als eine).
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ok, danke.
ich wollte ja nur nen guten satz haben, um von der klassischen zur modernen diffgeo. überleiten zu können ;).
naja, wird schon schief gehn, danke noch mal an alle, die mir geholfen haben.
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Nun würde ich aber auch gerne die Punktzahl wissen...
Grüsse
*this
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hehe,
ich durftes zum glück nochmal verschieben, weil ich echt probleme mit der riemannschen metrik hab, bzw. wie die notation zu verstehen ist, wie man sie anwendet etc., kanns jetzt noch mal überarbeiten und alles; zum glück ist da mein lehrer echt liberal und locker drauf.werde aber, wenn ichs gehalten habe, posten, wies gelaufen ist
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noch mal ne allgemeine frage: kann ich als altlas einer mannigfaltigkeit einfach die diskrete topologie nehmen, sodass die offenen teilmengen der mfkt. die karten bilden? oder hab ich da nen denkfehler?
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Du musst für einen Atlas immer Kartenabbildungen mitangeben.
In der diskreten Topologie ist jede Menge offen. Damit sind auch Mengen offen, die nur einen Punkt enthalten. Eine Bijektion von einer einpunktigen Menge in den R^n bildet immer wieder auf eine einpunktige Menge ab, die im R^n aber nie offen ist.Von daher dürfte dein Versuch immer scheitern.
Achso, bis auf die Ausnahme der 0-dimensionalen Mannigfaltigkeit (Menge mit nur einem Punkt X={x} - da gibt es nur eine Topologie ({} und X offen) und die einzige offene Menge um x, nämlich X selbst, ist homöomorph zum R^0 = {0}.)