Knifflige Abschätzung

camper

sieht irgendwie wie die Dreiecksungleichung aus...
ich substituiere mal:
d = |a-c|
e = |a-b|
f = |b-c|

also
d/(1+d) ≤ e/(1+e) + f/(1+f)

d(1+e)(1+f) ≤ (1+d)(e(1+f)+f(1+e))
d(1+e+f+ef) ≤ (1+d)(e+2ef+f)
d+de+df+def ≤ e+2ef+f+de+2def+df
d ≤ e+2ef+f+def
jetzt gibt es nur 3 Fälle:
1. d = e + f => e+f ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2ef+def
2. d = e - f => e-f ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2ef+2f+def
3. d = f - e => f-e ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2e+2ef+def

da d,e,f nicht negativ sind, sind diese Ungleichungen offensichtlich wahr

Grossmeister

Ok, danke...
Wie ich sehe, komme ich da um viel Schreibarbeit nicht herum. Hab' gehofft, daß jemand irgendwo irgendeinen Trick auf Lager hat...

1. Kannst du ohne Einschränkungen annehmen, dass a <= c ist. Falls a > c, vertausche in der Ungleichung einfach die Rollen von a und c, und es passt wieder.

2. Einfache Implikationen reichen nicht aus, du darfst nur Äquivalenzen ausführen. -1 >= 1 ist falsch. Durch beidseitiges Quadrieren erhälst du -1 >= 1 => 1 >= 1. Du hast also aus einer falschen Aussage eine wahre gefolgert.

3. Camper, wie kommst du auf deine drei Fälle?

camper

Taurin unterwges schrieb:

3. Camper, wie kommst du auf deine drei Fälle?

Einfache Reduktion von volkards 6 Fällen in Verbindung mit der Substitution. Oder einfacher (bildlich): a,b,c sind irgendwelche Punkte auf der Zahlengeraden, dann sind d,e,f nichts weiter als die Strecken zwischen diesen Punkten; und die größte Strecke wird einfach durch den mittleren Punkt geteilt - folglich ist die Summe der Längen der kürzeren Strecken gleich der Länge der längsten Strecke. Die drei Fälle korrespondieren dann einfach damit, welches jeweils die längste Strecke ist.

Ben04

Könntest auch mit:
d = 1+|a-c|
e = 1+|a-b|
f = 1+|b-c|
probieren da d,e,f >= 1 kannst du auch fleißig damit multiplizieren da die nicht 0 sein können oder die Richtung der Ungleichung umdrehen können. Desweiteren weißt du dass ein Produkt immer größer ist als die einzeln Faktoren.

camper schrieb:

d ≤ e+2ef+f+def
jetzt gibt es nur 3 Fälle:
1. d = e + f => e+f ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2ef+def
2. d = e - f => e-f ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2ef+2f+def
3. d = f - e => f-e ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2e+2ef+def

da d,e,f nicht negativ sind, sind diese Ungleichungen offensichtlich wahr

imho besser:
es gilt:
|u-v| ≤ |u-w|+|w-v| (1)
es folgt
d = |a - c| ≤ |a-b| + |b-c| = e+f ≤ e+2ef+f+de+2def+df, da d,e,f nicht negativ. das verschiebt die fallunterscheidungen auf den beweis von (1), der meistens schon erfolgt ist.

CStoll

Ben04 schrieb:

Desweiteren weißt du dass ein Produkt immer größer ist als die einzeln Faktoren.

Echt? Das bedeutet also, daß 0.25 größer als 0.5 ist, oder wie? *scnr*

Jester

CStoll schrieb:

Ben04 schrieb:

Desweiteren weißt du dass ein Produkt immer größer ist als die einzeln Faktoren.

Echt? Das bedeutet also, daß 0.25 größer als 0.5 ist, oder wie? *scnr*

ich wiederhole nochmal den dafür relevanten Teil aus Ben04s Posting:

d = 1 + |...|
e = 1 + |...|
f = 1 + |...|

Zeig Deine Darstellung der 0.5 und 0.25. Dann lachen wir zusammen weiter.

camper

Im Übrigen geht es mit jucks Substitution sogar ohne ausmultiplizieren:
(d-1)/d ≤ (e-1)/e + (f-1)/f

0 ≤ 1 + 1/e + 1/f - 1/d

was trivialerweise wahr ist, da 1/d nie größer als 1 ist

volkard

camper schrieb:

Im Übrigen geht es mit jucks Substitution sogar ohne ausmultiplizieren:
(d-1)/d ≤ (e-1)/e + (f-1)/f

0 ≤ 1 + 1/e + 1/f - 1/d
was trivialerweise wahr ist, da 1/d nie größer als 1 ist

verstehe den schritt zwischen deinen beiden zeilen nicht.

aus
(d-1)/d ≤ (e-1)/e + (f-1)/f
komme ich nur auf
0 <= 1 +1/d -1/e -1/f

camper

volkard schrieb:

camper schrieb:

Im Übrigen geht es mit jucks Substitution sogar ohne ausmultiplizieren:
(d-1)/d ≤ (e-1)/e + (f-1)/f

0 ≤ 1 + 1/e + 1/f - 1/d
was trivialerweise wahr ist, da 1/d nie größer als 1 ist

verstehe den schritt zwischen deinen beiden zeilen nicht.

ich auch nicht. muss am wetter liegen... bei der hitze trocknet das hirn aus...