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Mr.Fister

Die Sache ist die: Die Funktion $f:\mathbb{R^+}\times\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ die durch f(x,y) = x^y definiert ist, kann bei (0,0) nicht stetig fortgesetzt werden. Deshalb ist eine einheitliche Definition für 0^0 nicht sinnvoll. Im Rahmen von Potenzreihen ist jedoch 0^0 meist als 1 definiert, man müsste sonst immer lästige Fallunterscheidungen vornehmen (vgl. exp(0)).

*D*

Danke für die Antworten!!!

Alles Quark!

0^0 = 1 PUNKT!

Taurin

Ich antworte erstmal mit möglichst wenig Formalismus (den man in der 8ten Klasse eh noch nicht kennen kann): 0^0 lässt sich so schlecht definieren, weil wir eigentlich gerne zwei Potenzgestzen genügen wollen. 1) x^0 = 1 und 2) 0^x = 0.
Im Falle von 0^0 müssen wir eines von beiden verletzen, und eigentlich wollen wir das nicht. Deswegen ist ein erster Ansatz (der auch oft gewählt wird), den Fall 0^0 grundsätzlich zu verbieten und damit nicht zu definieren.

(Das ist im Wesentlichen das selbe, was Mr. Fister meint, wenn er sagt, x^y ist im Punkt für x=y=0 unstetig)

Manchmal ist es aber sehr hilfreich, wenn man definiert, dass 0^0 := 1 ist. Dazu fallen mir zwei Gründe ein. Einmal ist es praktisch, weil sich viele Sätze und Regeln einfacher aufschreiben lassen. Ausserdem ist strebt der Grenzwert $\lim_{x \rightarrow 0} x^x$ gegen 1. Das bedeutet, wenn ich mir die Funktion f(x) = x^x anschaue, und x immer kleiner mache und gegen Null laufen lasse, dann wird das Ergebnis immer dichter an die 1 heran kommen. Das geht aber nur, wenn man Exponent und Basis beide gleichmäßig gegen die Null laufen lässt.
Das kann z.B. ausprobieren, indem man mal (0.00001)^(0.00001) in den Taschenrechner eingibt.

*D*

Danke! Das mit 0^x habe ich ganz vergessen!

Bitte ein Bit

Alternativ kann man auch die Grenzwerte von f(x) = x^(2x) und f(x) = x^x berechnen. Beide Funktionen streben gegen den Term 0^0 an, die Grenzwerte beider Funktionen sind aber unterschiedlich.

XFame

Nein, die sind beide 1.

Bitte ein Bit

Ups, Entschuldigung

Das kommt davon wenn man schnell eine Funktion mit einem bestimmten Grenzwert finden will.

Ich habe mir auch mal die Frage gestellt und deswegen zwei Funktionen (wohl eher Reihen) gebastelt die gegen gegen den Term 0^0 streben und dabei unterschiedliche Grenzwerte haben.

Bitte ein Bit

So jetzt habe ich hoffentlich eine Funktion die für x gegen 0, gegen den Term 0^0 geht und einen Grenzwert != 1 hat.

f(x) = (8/(exp(1/x))^x

Ich habe das Ganze vorsichthalber mal noch mit Gnuplot geprüft. Der Grenzwert dürfte so um die 0.37 liegen.

Mr.Fister

Gutes Beispiel. Auch bei exp(-1/x⁴⁾(x^2) geht für x gegen 0 gegen 0, obwohl sowohl Basis als auch Exponent beide gegen 0 gehen.

Bashar

Bitte ein Bit schrieb:

So jetzt habe ich hoffentlich eine Funktion die für x gegen 0, gegen den Term 0^0 geht und einen Grenzwert != 1 hat.

f(x) = (8/(exp(1/x))^x

Ich habe das Ganze vorsichthalber mal noch mit Gnuplot geprüft. Der Grenzwert dürfte so um die 0.37 liegen.

$\left ( \frac{8}{\exp{\frac{1}{x}}} \right )^x = \frac{8^x}{e} \rightarrow \frac{1}{e}$ für $x\rightarrow 0$ .

D-U-D-E

@Mr. Fister: Bei deinem Beispiel ist es aber so, daß du da eine (doppelte) Nullstelle wegkürzen kannst, womit der Zähler konstant ist und der Nenner in die Ewigkeit geht

Mr.Fister

Ja und? Schau dir das andere Beispiel an, Bashar zeigt dass man es auch weiter vereinfachen kann. Ist aber auch egal.

D-U-D-E

Naja, ist dann irgendwie kein "echtes" 0^0 mehr

Mr.Fister

Definiere "echt"...

Heinzelotto

D schrieb:

Und da z.b. 1^0 1 ergibt, müsste doch 0^0 auch 1 sein

Das ist ja wie wenn du sagen würdest: weil 2^2 4 ergibt, muss 1000^2 auch vier ergeben

0^0 = 0^(m-m) = 0^m/0m = 0/0 -> Division durch 0.

Ausserdem schrieb:

0^0 = 0^(m-m) = 0^m/0m = 0/0 -> Division durch 0.

Warum? Wenn ich $\frac{0^m}{0^m}$ mit $0^m$ kürze, hab ich doch $\frac{1}{1}$

(Wenn man mal außer acht lässt, was $0^m$ ist )

Er kürzt aber nicht, Du hast es nur nicht geblickt.

Beispiel m=1:

0^0 = 0^(1-1) = 0^1 / 0^1 = 0 / 0 = boom

Oder streitest Du ab, dass 0^1 0 ergibt?

izgiutitgitg schrieb:

Er kürzt aber nicht, Du hast es nur nicht geblickt.

Beispiel m=1:

0^0 = 0^(1-1) = 0^1 / 0^1 = 0 / 0 = boom

Oder streitest Du ab, dass 0^1 0 ergibt?

Das war doch der Witz an der Sache :p