0,9 Periode kleiner gleich 1?

D-U-D-E

matheb00n schrieb:

...ein beweis für die merkwürdigkeit der mathematik

Vielleicht eher für die "Unvollkommenheit" der Dezimalbrüche

MasterCounter

Hat wer nen Link zu nem verständlichen Beweis?

Heinzelotto

MasterCounter schrieb:

Hat wer nen Link zu nem verständlichen Beweis?

Es gilt:

$\frac13 = 0.333333333...$

ferner gilt:

$3 * 0.333333333... = 0.999999999...$

da $0.333333333...$ ja gleich $\frac13$ ist und da $3 * \frac13 = 1$ ist, ist $1 = 0.999999999...$

\qed

zwutz

MasterCounter schrieb:

Hat wer nen Link zu nem verständlichen Beweis?

es gibt keinen Gegenbeweis

Heinzelotto

zwutz schrieb:

es gibt keinen Gegenbeweis

woher willst du wissen, dass es keinen gibt?
vielleicht wurde bloß noch keiner gefunden
oder hast du einen beweis, dass es keinen gegenbeweis gibt?

Es wurde bewiesen, dass es so ist. Das impliziert, dass auch bewiesen ist, dass kein Gegenbeweis existiert. Eigentlich vollkommen klar.

Optimizer schrieb:

Es wurde bewiesen, dass es so ist. Das impliziert, dass auch bewiesen ist, dass kein Gegenbeweis existiert.

Wenn das Axiomensystem widerspruchsfrei ist!

matheb00n schrieb:

Michael E. schrieb:

Die ganzen Zahlen sind diskret.

Die Tatsache das ganze Zahlen diskret sind erklärt das aber nur wenn man das Problem von außerhalb der Zahlen betrachtet und fassen möchte. Die Mengenleere der Zahlen ist doch aber nichts Zahl-immanentes oder etwa doch? Für mich wirkt das wie eine außen herum aufgebautes Konstrukt.

Mathematikker schrieb:

Ich wollte hier nie zeigen, dass die beiden Zahlen gleich sind, denn das kann jeder für sich in einem Analysis1 Buch nachlesen.

darum gings hier doch aber eigentlich oder nicht? soll jetzt nicht provokant gemeint sein vllt hab ich einfach irgendwo den faden verloren, aber genau nach dieser erklärung ist hier gefragt und ich habe kein analysis1-buch zu hause.

Optimizer schrieb:

Ich weiß nicht wie es euch geht, aber der einsichtigste Beweis ist für mich immer noch
$3 \cdot {1 \over 3} = 3 \cdot 0.3333... = 0.9999... = 1$

das stellt die behauptung das 0,999... = 1 ist zumindest am anschaulichsten dar. viel mehr aber ist es ein beweis für die merkwürdigkeit der mathematik

Für einen echten Beweis sind einige Vorkenntnisse erforderlich und da kommt man um ein Analysis1 Buch nicht herum.
Für einen sauberen Beweis muss zuerst einmal die Dezimaldarstellung sauber eingeführt werden und dann kann erst der Beweis kommen.

btw. man findet gewöhnlich ein Gegenbeispiel um eine Aussage zu widerlegen

Heinzelotto

Optimizer schrieb:

Es wurde bewiesen, dass es so ist. Das impliziert, dass auch bewiesen ist, dass kein Gegenbeweis existiert. Eigentlich vollkommen klar.

naja, er ist ja davon ausgegangen, dass ein beweis noch nicht bekannt ist.

Heinzelotto schrieb:

Optimizer schrieb:

Es wurde bewiesen, dass es so ist. Das impliziert, dass auch bewiesen ist, dass kein Gegenbeweis existiert. Eigentlich vollkommen klar.

naja, er ist ja davon ausgegangen, dass ein beweis noch nicht bekannt ist.

Wie soll das möglich sein? Wenn ich zum Beispiel beweise, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer 180° ist, kann keiner kommen und behaupten "es gibt vielleicht ein Gegenbeispiel, hat nur noch keiner gefunden". Es gibt kein Gegenbeispiel, das ist ja der Witz daran, eine Aussage zu beweisen. Und einen "Gegenbeweis" gibt's dann erst recht nicht.

Heinzelotto

Optimizer schrieb:

Wie soll das möglich sein? Wenn ich zum Beispiel beweise, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer 180° ist, kann keiner kommen und behaupten "es gibt vielleicht ein Gegenbeispiel, hat nur noch keiner gefunden". Es gibt kein Gegenbeispiel, das ist ja der Witz daran, eine Aussage zu beweisen. Und einen "Gegenbeweis" gibt's dann erst recht nicht.

Mensch, jetzt steiger dich doch nicht rein

Drücken wirs halt so aus:
Es war ein Gedankenspiel und er hat angenommen, es gäbe noch keinen Beweis....

Jester

Mathematikker schrieb:

btw. man findet gewöhnlich ein Gegenbeispiel um eine Aussage zu widerlegen

aber nur bei allquantifizierten aussagen, also sowas wie "es gilt immer, dass..." oder "für alle x gilt ...". Hier handelt es sich um eine einfache Aussage, die wahr oder falsch ist.

D-U-D-E

Spielt das denn eine Rolle? Ich könnte ja auch die Behauptung aufstellen, daß x+y=2x ist. Um zu zeigen, daß diese Aussage im Allgemeinen nicht gültig ist, braucht man ja auch lediglich ein Gegenbeispiel zu finden (was hier nicht so schwer sein dürfte ).

Bashar

Das ist eine Allaussage. x und y sind implizit allquantifiziert.

Jester

Btw, wenn man's immer mit nem Gegenbeispiel erledigen könnte, würde man dann nicht einfach immer nur ein Gegenbeispiel für die Negation einer Aussage angeben?

Aussagen wie "ich bin 25 jahre alt" oder "es gibt x,y in R so dass x^2+y2 < 0" lassen sich eben nicht durch angabe eines gegenbeispiels widerlegen.

D-U-D-E

Das ist mir eigentlich klar. Hab eben nur nicht dran gedacht, daß bei einer Behauptung wie x+y=2x x und y auch allquantifiziert sind.

Heinzelotto schrieb:

MasterCounter schrieb:

Hat wer nen Link zu nem verständlichen Beweis?

Es gilt:

$\frac13 = 0.333333333...$

ferner gilt:

$3 * 0.333333333... = 0.999999999...$

da $0.333333333...$ ja gleich $\frac13$ ist und da $3 * \frac13 = 1$ ist, ist $1 = 0.999999999...$

\qed

Ich habe darüber nochmals nachgedacht und eigentlich ist das kein echter Beweis. Du zeigst, dass 0,999...=1 ist, wenn 1/3=0,333... ist. Das ist soweit ok (eine Aussage auf eine andere zurückzuführen/umzuformen), aber du müsstest jetzt noch den Beweis erbringen, dass 1/3=0,333... ist.

Mr. N

Mathematikker schrieb:

Ich habe darüber nochmals nachgedacht und eigentlich ist das kein echter Beweis. Du zeigst, dass 0,999...=1 ist, wenn 1/3=0,333... ist. Das ist soweit ok (eine Aussage auf eine andere zurückzuführen/umzuformen), aber du müsstest jetzt noch den Beweis erbringen, dass 1/3=0,333... ist.

$0.333... := \sum_{i=1}^{\infty} {\frac{3}{10^i}} = 3 \times \sum_{i=1}^{\infty} {0.1 ^ i} = 3 \times (\sum_{i=0}^{\infty} {0.1 ^ i} - 1) = 3 \times (\frac {1} {1 - 0.1} - 1)$

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Konvergenz_der_unendlichen_Reihe

$... = 3 \times (\frac {10} {9} - 1) = 3 \times \frac {1} {9} = \frac {1} {3}$

qed

Jester

sehr schön. das gleiche mit ner 9 statt der 3 gibt auch einen sehr sauberen Beweis für 0.99... = 1.