4. 0,9 Periode kleiner gleich 1?

0,9 Periode kleiner gleich 1?

  • J

    Mathematikker schrieb:

    btw. man findet gewöhnlich ein Gegenbeispiel um eine Aussage zu widerlegen 🙂

    aber nur bei allquantifizierten aussagen, also sowas wie "es gilt immer, dass..." oder "für alle x gilt ...". Hier handelt es sich um eine einfache Aussage, die wahr oder falsch ist.

    0
  • D

    Spielt das denn eine Rolle? Ich könnte ja auch die Behauptung aufstellen, daß x+y=2x ist. Um zu zeigen, daß diese Aussage im Allgemeinen nicht gültig ist, braucht man ja auch lediglich ein Gegenbeispiel zu finden (was hier nicht so schwer sein dürfte 😉 ).

    0
  • B

    Das ist eine Allaussage. x und y sind implizit allquantifiziert.

    0
  • J

    Btw, wenn man's immer mit nem Gegenbeispiel erledigen könnte, würde man dann nicht einfach immer nur ein Gegenbeispiel für die Negation einer Aussage angeben?

    Aussagen wie "ich bin 25 jahre alt" oder "es gibt x,y in R so dass x2+y2 < 0" lassen sich eben nicht durch angabe eines gegenbeispiels widerlegen.

    0
  • D

    Das ist mir eigentlich klar. Hab eben nur nicht dran gedacht, daß bei einer Behauptung wie x+y=2x x und y auch allquantifiziert sind.

    0
  • ?

    Heinzelotto schrieb:

    MasterCounter schrieb:

    Hat wer nen Link zu nem verständlichen Beweis?

    Es gilt:

    13=0.333333333...\frac13 = 0.333333333...

    ferner gilt:

    3∗0.333333333...=0.999999999...3 * 0.333333333... = 0.999999999...

    da 0.333333333...0.333333333... ja gleich 13\frac13 ist und da 3∗13=13 * \frac13 = 1 ist, ist 1=0.999999999...1 = 0.999999999...

    \qed

    Ich habe darüber nochmals nachgedacht und eigentlich ist das kein echter Beweis. Du zeigst, dass 0,999...=1 ist, wenn 1/3=0,333... ist. Das ist soweit ok (eine Aussage auf eine andere zurückzuführen/umzuformen), aber du müsstest jetzt noch den Beweis erbringen, dass 1/3=0,333... ist.

    0
  • M

    Mathematikker schrieb:

    Ich habe darüber nochmals nachgedacht und eigentlich ist das kein echter Beweis. Du zeigst, dass 0,999...=1 ist, wenn 1/3=0,333... ist. Das ist soweit ok (eine Aussage auf eine andere zurückzuführen/umzuformen), aber du müsstest jetzt noch den Beweis erbringen, dass 1/3=0,333... ist.

    0.333...:=∑i=1∞310i=3×∑i=1∞0.1i=3×(∑i=0∞0.1i−1)=3×(11−0.1−1)0.333... := \sum_{i=1}^{\infty} {\frac{3}{10^i}} = 3 \times \sum_{i=1}^{\infty} {0.1 ^ i} = 3 \times (\sum_{i=0}^{\infty} {0.1 ^ i} - 1) = 3 \times (\frac {1} {1 - 0.1} - 1)

    http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Konvergenz_der_unendlichen_Reihe

    ...=3×(109−1)=3×19=13... = 3 \times (\frac {10} {9} - 1) = 3 \times \frac {1} {9} = \frac {1} {3}

    qed 🙂

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  • J

    sehr schön. das gleiche mit ner 9 statt der 3 gibt auch einen sehr sauberen Beweis für 0.99... = 1. 🙂

    0
  • ?

    🙂

    0
  • ?

    Formal gesehen richtig, allerdings sieht auch jeder der schriftlich teilen kann nach ein paar hundert Stellen ein, dass 13=0.3333...{1 \over 3} = 0.3333...

    0
  • M

    Optimizer schrieb:

    Formal gesehen richtig, allerdings sieht auch jeder der schriftlich teilen kann nach ein paar hundert Stellen ein, dass 13=0.3333...{1 \over 3} = 0.3333...

    Das bitte als Beweis. 🙂

    0
  • Z

    Mr. N schrieb:

    Optimizer schrieb:

    Formal gesehen richtig, allerdings sieht auch jeder der schriftlich teilen kann nach ein paar hundert Stellen ein, dass 13=0.3333...{1 \over 3} = 0.3333...

    Das bitte als Beweis. 🙂

    1 : 3 = 0,333333...
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10
 9
--
 10
- 9
 --
  10
 - 9
  --
   10
  - 9
   --
    10
   - 9
    --
     10
    - 9
     --
      10
     - 9
      --
       10
      - 9
       --
        .
        .
        .

    weitere Ausführung spar ich mir ^^

    0
  • M

    zwutz schrieb:

    weitere Ausführung spar ich mir ^^

    Ist das ein Beweis?

    0
  • L

    Mr. N schrieb:

    zwutz schrieb:

    weitere Ausführung spar ich mir ^^

    Ist das ein Beweis?

    Ist das ne rhetorische Frage? 😃

    0
  • T

    Mr. N schrieb:

    zwutz schrieb:

    weitere Ausführung spar ich mir ^^

    Ist das ein Beweis?

    Wend halt Induktion drauf an, meine Güte.

    0
  • B

    Theston schrieb:

    Mr. N schrieb:

    zwutz schrieb:

    weitere Ausführung spar ich mir ^^

    Ist das ein Beweis?

    Wend halt Induktion drauf an, meine Güte.

    Ja mach mal. *popcorn*

    0
  • T

    Behauptung: n-te Nachkommastelle von 1/3 ist 3.
    Anfang: 1. ist 3.
    Annahme: Alle Nachkommastellen bis n sind 3.
    Rückmultiplikation ergibt 1-3*0.3..3 (n Nachkommstellen). Rest also 0.0..1 / 3 (n Nachkommastellen) = 10^-n * 1/3.
    n+1-te Nachkommstelle ist also (0+3) nach IA.

    edit: Man sollte noch einfügen, dass der Induktionsschritt alle vorherigen Nachkommastellen unangetastet lässt.

    0
  • D

    Weiss nicht, ob es schon genannt wurde, oder, ob es überhaupt als Beweis gilt. Aber in der Schule haben wir das üblicherweise so gemacht:

    I:  0,99... = x   | * 10
II: 9,99... = 10x

II - I: 
9,99... - 0,99... = 10x - x
                9 = 9x
                1 = x

    Gruß
    Don06

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  • M

    Theston schrieb:

    Behauptung: n-te Nachkommastelle von 1/3 ist 3.
    Anfang: 1. ist 3.
    Annahme: Alle Nachkommastellen bis n sind 3.
    Rückmultiplikation ergibt 1-3*0.3..3 (n Nachkommstellen). Rest also 0.0..1 / 3 (n Nachkommastellen) = 10^-n * 1/3.
    n+1-te Nachkommstelle ist also (0+3) nach IA.

    edit: Man sollte noch einfügen, dass der Induktionsschritt alle vorherigen Nachkommastellen unangetastet lässt.

    So wird doch ein Schuh draus. 🙂

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  • T

    Was ich bei diesem Beweis über 9/9 aber auch generell für weitaus weniger trivial halte, ist die Behauptung 9*0,111..=0,999..

    0
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