formelumforumungen
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!rr!rr_. schrieb:
Bashar schrieb:
Wenn 0 ungleich 1 ist, dann *kann* es kein zu 0 inverses Element in einem Körper geben.
in einem Körper ist immer 0 ungleich 1 - schließlich muß die Eins in der mult.Gruppe enthalten sein, und die ist K-{0}
Je nach deiner Definition von Körpern hast du die Bedingung 0 ≠ 1 mehr oder weniger explizit. Eine häufige Definition hats sogar explizit als Axiom.
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nix da. Die multiplikative Einheit muß in der multiplikativen Gruppe K* des Körpers enthalten sein (wär doof sonst), und K* ist K-{0}
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http://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element
Man muss nur seine Definitionen anpassen und vielleicht kann man ja mit der neuen sogar interessante Dinge beweisen...
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was es alles gibt ...
Vielleicht kann man dieses eine Element auch noch weglassen? 
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!rr!rr_. schrieb:
nix da. Die multiplikative Einheit muß in der multiplikativen Gruppe K* des Körpers enthalten sein (wär doof sonst), und K* ist K-{0}
Was denn nix da? Im ersten Semester wurden bei mir Körper definiert, bevor Gruppen bekannt waren. Dabei war 0≠1 eben ein eigenständiges Axiom.
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Ein Körper ist doch gerade `zwei Gruppenstrukturen mit zweiseitigem Distributivgesetz'.
- warum sollte man das bei der Körper-Definition nicht benutzen wollen?
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Siehe letzten Post.
Außerdem: Mathematiker sind dafür berüchtigt, für alles mindestens drei verschiedene Definitionen zu haben. Warum sollte es dann nur eine für Körper geben?
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da steht nur, daß ihr das so gelernt habt. Meine Frage war aber, wieso man daß so machen sollte (Körper def. ohne Gruppe) - mir fällt nämlich kein
Grund ein.
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Erste Woche Analysis 1: Der Körper der reellen Zahlen muss irgendwie eingeführt werden. Gruppen braucht man dagegen nicht.
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ohne (R,+) stelle ich mir eine Analysis aber schwierig vor
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ohne (R,+) stelle ich mir eine Analysis aber schwierig vor
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ohne (R,+) stelle ich mir eine Analysis aber schwierig vor
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ohne (R,+) stelle ich mir eine Analysis aber schwierig vor
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ohne (R,+) stelle ich mir eine Analysis aber schwierig vor
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Weshalb genau brauchst du Anfang des ersten Semesters (R,+), wenn du bereits den Körper R hast?
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Michael E. schrieb:
Weshalb genau brauchst du Anfang des ersten Semesters (R,+), wenn du bereits den Körper R hast?
Um auch mal was beizutragen:
R ist kein Körper sondern eine Menge. Ein Körper ist zumindest mal ein Tripel, aus einer Menge und 2 binären Verknüpfungen (+ weitere Eigenschaften)
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Wenn wir jetzt anfangen zu nitpicken, dann ist auch das Tupel (ja, man sollte hier nicht mit Tripeln arbeiten) $$(\mathbb R,+,\cdot,0,1)$$ eine Menge...
Wenn wir allerdings nicht nitpicken, dann können wir vom Körper R sprechen und uns den Rest denken.
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Ein Tupel ist aber keine Menge. Ein Tupel ist geordnet eine Menge nicht.
In einer Diskussion in der es darum geht ob 2==0 ist, kann man durchaus "nitpicken"
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Natürlich ist ein Tupel eine Menge. Üblicherweise setzt man
(a,b) = \{a, \{a,b\}\}$$ und $$(a\_1,\dots,a\_n) = ((a\_1,\dots,a\_{n-1}),a_n)$$. Das tut genau, was man will. Die Frage ob 2=0 gilt, hängt natürlich davon ab, was man mit 2 meint. Betrachtet man einen Ring R, so hat man immer genau einen Ringhomomorphismus $$\mathbb Z\to R$$ und man kann damit von 2, 3, 4, etc. in R sprechen. Und dann stellt sich heraus, dass dieser Homomorphismus für manche Ringe nicht injektiv ist. Dann gilt dort plötzlich n=0 für irgendeine ganze Zahl n ungleich. Klingt komisch, und ist deswegen auch interessant. Das kleinste nichtnegative solche n heißt überigens die Charakteristik von R. Und weil nicht alle Ringe die gleiche Charakteristik haben, sagt man auch besser: Es gilt 2=0 in Ringen mit Charakteristik 2 und 1 (und sonst in keinen).
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Weshalb genau brauchst du Anfang des ersten Semesters (R,+), wenn du bereits den Körper R hast?
wieso ich? Ich hab' den Körper R nicht - wie kommst Du darauf?
Version 1 - ohne Gruppe: "Def.: Ein Körper ist ein Tupel (R,+,*) mit folgenden Eigenschaften: 1. Für jedes x exist y mit x+y=y+x=0 2. x+(y+z)=(x+y)+z 3. x+0=x 4. Bla 5. Für jedes x exist y mit x*y=y*x=1 6. x*y=y*x 7. Bla 8. x*1=x 9. (x+y)z=xz+yz"Version 2 - mit Gruppe: "Def.: Ein Körper ist ein Tupel (R,+,*) mit: 1. (R,+) ist abelsche Gruppe, 2. (R,*) ist abelsche Gruppe, und es gilt das Distributivgesetz."gut aufpassen bitte, jetzt kommt die Frage:
welche dieser zwei Definitionen ist eleganter?
Ist es a) Version 1, oder doch eher b) Version 2. Knifflig, knifflig - die Zeit läuft
