Beweis Kongruenzklassen

shisha schrieb:

( wie geht das schöne kongruent zeichen?)

≡

ja is ja schön und gut aber nochmal zurück zum thema:

ich kenne die regel

a ≡ b mod n ->
a * c ≡ b * c mod n

leider mit der einschränkung c aus Z

kann ich das irgendwie anwenden und sagen

a * r1 + b * s1 = 1
a * r2 + b * s2 = 1 // mod n

a * r1 ≡ a * r2 mod b ->
r1 ≡ r2 mod b

also einfach die regel ind die andere richtung angewandt

Ben04

Fass Z_n\{0} mit der Multiplikation einfach mal als kommutative Halbgruppe auf und zeige es für alle kommutativen Halbgruppe.

Es seinen b und c zwei beliebige Inverse von a und 0 das neutrale Element. D.h.

a+b = 0
a+c = 0

So das muss du nun irgendwie zusammenbauen, dass da

b = c

steht. Damit hast du gezeigt, dass alle Inversen paarweise gleich sind. D.h. es gibt höchstens ein Inverses.

(Achtung: Im Allgemeinen ist diese keine Gruppe.)

sicherlich eine gute antwort, nur befürchte ich dass ich länger brauche um halbgruppen anzuschaun als es anders zu lösen

Jester

Nicht wirklich, nimm mal an, b hätte zwei Inverse, nämlich a und c.
Und nun rechne mal a+b+c auf zwei Arten aus.

ja ziemlich klar aber bei der multiplikation?

ich rede über klasse b welches die inversen a und c hätte

a*b*c = (a*b) * c ist ungleich a*(b*c) wenn a ungleich c

das ist doch kein beweis? oder reicht es zu sagen dass das kommunikativgesetz gilt und somit das ergebnis das selbe sein muss?

Ben04

Wenn man über (Halb-)Gruppen redet dann gibt es nur eine Verknüpfung und die schreibt man multiplikativ (mit wenn sie nicht nicht kommutativ ist und additiv (mit +) sonst. Die Multiplikation der Zahlen ist kommutativ also wird sie additiv geschrieben, wenn man sie als Halbgruppe betrachtet.

Du weißt:
a+b = 0
a+c = 0
x+0 = x für alle x

Du willst zeigen:
b=c

Die Beweisstruktur:
b = ... = a+b+c = ... = c

Glaub mir: Der Ansatz mit den Linear Kombinationen ist viel zu kompliziert.

shisha schrieb:

a*b*c = (a*b) * c ist ungleich a*(b*c) wenn a ungleich c

3 * 4 * 5 = 60
12 * 5 = 60
3 * (20) = 60

hmmmmmmmmmmmmmmm

@hmmsager

du musst ja bedenken dass ich das was ich einklammer immer 1 setze...

also

(a*b) *c = 1*c
a * (b*c) = a *1

a ungleich c war annahme -> abc ungleich abc

Ben04

Das ist ein Widerspruch. Es folgt, dass a=c.

Einfacher ohne Widerspruch: a = a*1 = a*(b*c) = (a*b)*c = 1*c = c

Mehr ist da nicht zu machen.