Beweis von 3 teilt b, dann 9 teilt b mit Kontraposition
-
Hallo,
ich versuche mich gerade an einfachen mathematischen Beweisen und hänge bei folgendem schon fest:
Wenn 3 kein Teiler von b ist, dann ist 9 kein Teiler von b.Beweis mittels Kontraposition ist dann:
Wenn 9 ein Teiler von b ist, dann ist 3 ein Teiler von b9 teilt b impliziert doch, dass 3 b teilt. Ja und 3*3 = 9, aber irgendwie weiß ich jetzt nicht, wie ich weitermachen muss.
Vielen Dank schonmal
-
Gaaannnzzz ausführlich:
(A) Definition der Teilbarkeit: Wenn a ein Teiler von c ist, dann gibt es eine natürliche Zahl b, so dass ab=c
(B) 33=9
(C) Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich *Aus (A) folgt: Wenn 9 ein Teiler von d ist, dann gibt es eine natürliche Zahl e, so dass e*9=d.
Mittels (B) folgt: e*3*3=d
Laut (C) ist e*3=f eine natürliche Zahl. Es gilt f*3=d
Nach (A) gilt daher: 3 ist ein Teiler von d
-
So ausführlich ist es nicht.
Und vor allem benutzt du da die Kommutativität bzg. *, was du nicht sagst, dass es gilt (natürlich gilt es), aber auch gar nicht nötig ist, wenn du den Beweis korrekt führst:Das hier ist schon falsch:
Aus (A) folgt: Wenn 9 ein Teiler von d ist, dann gibt es eine natürliche Zahl e, so dass e*9=d.
eher: 9*e=d sonst weichst du bereits von der Definition ab.
Mittels (B) folgt: e*3*3=d
Wird zu 3*3*e=d
und das zu: 3*f=d
und somit ist 3 ein Teiler von d.
Wie du siehst wird die Kommutativität von * nicht benutzt.
Mag kleinkrämerisch wirken, aber das korrekte anwenden der Definitionen ist essentiell, ansonsten ist der Beweis genau so falsch, wie wenn du sagst "ja, ist doch klar".
/EDIT
@W0lf:
Halte dich immer exakt an die Definitionen. Vor allem dann, wenn dir alles klar erscheint musst du dich komplett auf die Definitionen zurück ziehen und diese benutzen und rein gar nichts einfach mal so als gegeben annehmen. (Wenn man z.B Teilbarkeit für Matrizen definieren will ist der Fehler, der oben gemacht wurde verheerend).
-
drakon hat natürlich vollkommen Recht. Merke: Auch wenn etwas unglaublich einfach aussieht, sollte man trotzdem sorgfältig arbeiten.
-
W0lf schrieb:
Wenn 9 ein Teiler von b ist, dann ist 3 ein Teiler von bAus 3|9 und 9|b folgt 3|b
Beweis: 9 = q*3, b = p*9 --> b = p*(q*3) = (p*q)*3 --> 3|b
-
Auch du benutzt hier Kommutativität, sowie auch Assoziativität. Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.
btw:
Du hättest eher den Doppelpfeil nehmen sollen, weil sonst ist es eher eine Aussage (Implikation), aber ob sie jetzt wahr oder falsch ist steht da jetzt noch nicht.
-
drakon schrieb:
Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.
3*3=9 ist keine Annahme?
drakon schrieb:
Du hättest eher den Doppelpfeil nehmen sollen, weil sonst ist es eher eine Aussage (Implikation), aber ob sie jetzt wahr oder falsch ist steht da jetzt noch nicht.
Sie ist nur dann wahr, wenn 3|9 und 9|b. Fehlt Dir der Beweis für 3|9 ?
-
Dragoner schrieb:
drakon schrieb:
Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.
3*3=9 ist keine Annahme?
Nein. Folgt aus A.
drakon schrieb:
Du hättest eher den Doppelpfeil nehmen sollen, weil sonst ist es eher eine Aussage (Implikation), aber ob sie jetzt wahr oder falsch ist steht da jetzt noch nicht.
Sie ist nur dann wahr, wenn 3|9 und 9|b. Fehlt Dir der Beweis für 3|9 ?
Ich meinte da eher die syntaktische Feinheit. -> steht für Implikation. => steht für eine Implikation, die wahr ist (aka Folgerung). Bsp:
(1) a->b ( := ¬a v b )
(2) a=>b ( := a->b ist wahr )
Bei (1) kann ich nichts über die Wahrheitswerte von a und b sagen. Bei (2) weiss ich, dass wenn a wahr ist auch b wahr sein muss.
-
Danke.
Die Diskussion, die darum jetzt entstanden ist, hilft auch ungemein zum Verständnis
(Nein, keine Ironie)
-
drakon schrieb:
Dragoner schrieb:
drakon schrieb:
Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.
3*3=9 ist keine Annahme?
Nein. Folgt aus A.
Nein, A, die Definition der Teilbarkeit, ist allgemein. Wenn a (≠0, was er vergessen hat) c teilt, dann gibt es eine natürliche Zahl b, so dass a*b=c Das sagt nichts über den konkreten Fall 3|9 aus. Hätte er es sonst hinschreiben müssen? :p
-
Dragoner schrieb:
drakon schrieb:
Dragoner schrieb:
drakon schrieb:
Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.
3*3=9 ist keine Annahme?
Nein. Folgt aus A.
Nein, A, die Definition der Teilbarkeit, ist allgemein. Wenn a (≠0, was er vergessen hat) c teilt, dann gibt es eine natürliche Zahl b, so dass a*b=c Das sagt nichts über den konkreten Fall 3|9 aus. Hätte er es sonst hinschreiben müssen? :p
Ich war unpräzise. Wir dürfen 3*3=9 benutzen, weil * definiert ist. (Sonst können wir ja Teilbarkeit gar nicht definieren). Das 3|9 folgt dann aus A. So meinte ich das. Und das ist keine Annahme.
Ok, genau genommen ist es die Annahme der Assoziativität. Man braucht sie, wenn man die Transitivität allgemein beweisen will (daher ist es besser solche Beweise allgemein zu halten, dann passiert eine solche Subtilität nicht):Behauptung: a|b AND b|c => a|c Beweis: d,e Elemente von Z a|b =>(def.) a*d=b => (a*d)*e=c =>(ass.) a*(d*e)=c =>(def.) a|c q.e.d. b|c =>(def.) b*e=cKommutativität ist aber nicht notwendig.
-
drakon schrieb:
Kommutativität ist aber nicht notwendig.
Benutzten auch weder SeppJ noch Dragoner...
-
life schrieb:
drakon schrieb:
Kommutativität ist aber nicht notwendig.
Benutzten auch weder SeppJ noch Dragoner...
Doch.
-
drakon schrieb:
life schrieb:
drakon schrieb:
Kommutativität ist aber nicht notwendig.
Benutzten auch weder SeppJ noch Dragoner...
Doch.
Wo denn?
-
Sepp:
e*9=d.
Dragoner:
(p*q)*3 --> 3|b
Um nur 2 zu nennen.
-
Beide gehen offensichtlich von einer Definition ala "a teilt b gdw. es ein c \in Z mit c*a=b gibt" aus. Dementsprechend benutzen sie keine Kommutativität, sondern nur eine leicht andere Definition als Du.
-
Sie benutzen aber nicht konseqent die andere Schreibweise. Wenn es nur eine gibt, dann geht es in Ordnung, aber sobald man mischt wirds gefährlich.
-
Ich sehe keine inkonsistente Benutzung der Definition..
-
Meine Güte:
(A) Definition der Teilbarkeit: Wenn a ein Teiler von c ist, dann gibt es eine natürliche Zahl b, so dass a*b=c
Aus (A) folgt: Wenn 9 ein Teiler von d ist, dann gibt es eine natürliche Zahl e, so dass e*9=d.
Nach obiger Definition muss es lauten 9*e=d. Er schreibt aber e*9=d. Er benutzt Kommutativität.
Im übrigen hast du ja selbst gemerkt, dass Wikipedia keine andere Definition verwendet und ich kann nicht sagen, ob es überhaupt erlaubt ist.
-
Seine Definition habe ich mir nicht angeschaut. Verwendet man aber die Definition von Teilbarkeit wie ich sie oben angegeben habe, so benutzen sowohl SeppJ als auch Dragoner _keine_ Kommutativität.
Wikipedia definiert Teilbarkeit wie Du bzw. wie in (A).
-
Ich hatte im Kopf, dass sie gemischt haben, aber machen sie tatsächlich nicht.
Allerdings ändert das nichts an meiner Aussage. Mit der obigen Definition war Kommutativität im Spiel. Einfach eine andere Definition zu nehmen geht nicht. Und ich habe deine Version der Teilbarkeit auch noch nie gesehen.
Man muss sich an die gegebenen Definitionen halten, ansonsten macht das ganze gar keinen Sinn.
