4. Warum ist 2523^0 = 1?

Warum ist 2523^0 = 1?

  • ?

    2^3 = 2 * 2 * 2 = 8
    2^2 = 2 * 2 = 8
    2^1 = 2
    aber
    2^0 = 1

    Wieso?

    Ausgeschrieben (siehe 2. Term, z.b. 2 * 2 oder 2 * 2 * 2) kommt die 2 ja gar nicht vor, denn sie kommt 0 mal vor, wie kann also etwas, das nicht da ist, Eins ergeben?

    0
  • ?

    Korrektur, kleiner Tippfehler.:
    2^2 = 2 * 2 gibt natürlich 4, nicht 8

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  • Z

    http://www.mathe-online.at/mathint/pot/i.html schrieb:

    Um das zu klären, setzen wir in Regel (2) m = 1 und n = 0 ein und erhalten a^1 = a^1 a^0. Wir wissen aber, dass a^1 = a ist. Wenn also a^0, mit a multipliziert, wieder a ergibt, so muss
    a^0 = 1

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  • B

    Die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation. Also kann man die Potenz als Rekursion definieren:

    $ a^0 = 1\\ a^{n+1} = aa^n $

    Dasselbe findet sich z.B. bei der Fakultät: 0! = 1 und beim Produktzeichen: $$\displaystyle\prod_{i\in\emptyset}a_i = 1$$

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  • M

    Mathedau schrieb:

    wie kann also etwas, das nicht da ist, Eins ergeben?

    Seltsam. Sonst stimmt das immer, zB in 4^0.5, da kommt die 4 ein halbes mal vor.
    🙂

    0
  • M

    20=2(5−5)=2525=12^0=2^{(5-5)}=\frac{2^5}{2^5}=1

    Find ich zumindest noch die "anschaulichste" Erklärung, und dass das für alle Basen und Exponenten gilt, sollte klar sein.

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  • M

    Wobei dabei ein wenig Ursache und Wirkung vertauscht werden. Diese Potenzgesetze gelten gerade deswegen, weil man x^0 = 1 definiert.

    Und da sieht man direkt einen Grund, warum man es so definiert: Weil es so am praktischsten ist. Es gibt kein Naturgesetz, das sagt, dass x^0 = 1 sein muss, aber dieses Ergebnis passt einfach am besten, sodass man nicht bei jedem zweiten Lemma ne Fallunterscheidung machen muss.

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  • I

    Vielleicht wäre noch anzufügen, dass 0^0 nicht definiert ist, also nicht eins ist. Somit gilt: x^0 = 1 | x != 0.

    Btw... der Google-Rechner sagt, dass 0^0 = 1 ist... toll ^^

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  • M

    Naja, es gibt schon viele Fälle, in denen man sich 0^0 = 1 definiert, weils passt.

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  • I

    Hmm... das wusste ich nicht. Ich fange erst im Herbst mit dem Studium an, hatte bis jetzt also nur Gymnasium-Mathematik.

    In welchen Fällen ergibts denn Sinn?

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  • R

    Allgemein f(x) hoch g(x), da ist es meistens 1, z.B.: x^2 hoch x^2. Sonst lies wikipedia

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  • V

    Rhombicosidodecahedron schrieb:

    Allgemein f(x) hoch g(x), da ist es meistens 1, z.B.: x^2 hoch x^2. Sonst lies wikipedia

    0^0 = n.d.
    aber
    (0²)^(0²) = 1

    Hä?

    0
  • R

    volkard schrieb:

    Rhombicosidodecahedron schrieb:

    Allgemein f(x) hoch g(x), da ist es meistens 1, z.B.: x^2 hoch x^2. Sonst lies wikipedia

    0^0 = n.d.
    aber
    (0²)^(0²) = 1

    Hä?

    Fast: [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x2)(x^2)]Wolfram|alpha [/url] viellicht ist das an der Stelle 0 nicht definiert aber man sieht deutlich, dass es dort gegen 1 strebt

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  • V

    Rhombicosidodecahedron schrieb:

    viellicht ist das an der Stelle 0 nicht definiert aber man sieht deutlich, dass es dort gegen 1 strebt

    Was ein Quatsch.
    Umgebungen und Strebungen und das Kreuz mit der Null:
    A) x/x=1 für alle x!=0. Daher ergänzen wir 0/0=1 und schließen die Lücke.
    😎 0/x=0 für alle x!=0. Daher ergänzen wir 0/0=0 und schließen die Lücke.
    C) Wir geben's auf und lassen 0/0 undefiniert.
    D) Wir beobachten, daß oft 0/0=1 praktisch wäre und definieren aus rein praktischen Erwägungen 0/0=1

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  • J

    Die Definition für allgemeine Potenzen (d.h. mit reellem Exponenten) beantwortet die Ausgangsfrage direkt:

    x^a := e^(a ln(x))
    25230=e(0 * ln(2523))= e^0 = 1

    0^a := 0, weil man wegen lim(x->0) x^a = 0 für a > 0, x^a im Nullpunkt stetig fortsetzen kann.

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  • M

    Jockelx schrieb:

    Die Definition für allgemeine Potenzen (d.h. mit reellem Exponenten)

    und positiver Basis.

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  • ?

    volkard schrieb:

    Rhombicosidodecahedron schrieb:

    viellicht ist das an der Stelle 0 nicht definiert aber man sieht deutlich, dass es dort gegen 1 strebt

    Was ein Quatsch.
    Umgebungen und Strebungen und das Kreuz mit der Null:
    A) x/x=1 für alle x!=0. Daher ergänzen wir 0/0=1 und schließen die Lücke.
    😎 0/x=0 für alle x!=0. Daher ergänzen wir 0/0=0 und schließen die Lücke.
    C) Wir geben's auf und lassen 0/0 undefiniert.
    D) Wir beobachten, daß oft 0/0=1 praktisch wäre und definieren aus rein praktischen Erwägungen 0/0=1

    E) ?????
    F) PROFIT

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  • ?

    0^0 = 1 ist das einzig Sinnvolle. Ansonsten müsste man für Polynome in R immer eine Fallunterscheidung durchführen; zB dann, wenn der Graph von f(x) = c = c * x^0 die y-Achse schneidet

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  • M

    0^0 = e ist das einzig Sinnvolle, denn sonst müsste man bei (e(1/x))x bei x = 0 immer ne Fallunterscheidung machen...

    Deine Fallunterscheidung kann man übrigens ganz einfach dadurch vermeiden, indem man nicht x^0 schreibt, sondern nur bei der Konstante bleibt.

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  • I

    Ist schon recht lustig, mein Taschenrechner (Texas Instruments voyage 200) sagt nämlich, dass 0^0 nicht definiert ist. Auch bei f(x) = x^0+3 ist f(0) nicht definiert.

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