Teilmengen rückführen auf Logik?

Wie überführt man "Teilmenge" auf die Logik?

Es ist ja so:

a: x€ A und b: x€ B, dann A U B = a oder b
und A (durchschnitt) B = a und b
und A (geschnitten) B = a und b_nicht

wie macht man das mit der Teilmenge? Ich brauchs zum Beweisen von Mengenidentitäten.

A (teilmenge) B = ???

Wie überführt man "Teilmenge" auf die Logik?

Es ist ja so:

a: x€ A und b: x€ B, dann A (durchschnitt) B

A (teilmenge) B = ???
A € B

icarus2

Wenn A Teilmenge von B ist kann man schreiben

x € A ==> x € B

*Edit
A Teilmenge von B != A € B
Hier ein Gegenbeispiel:
A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}
A ist zwar eine Teilmenge von B, da x € A ==> x € B, aber die Menge A ist nicht in B enthalten. B enhält kein Element {1, 2}. Sonst müsste B ungefähr so aussehen:
B = {1, 2, 3, {1,2}}

icarus2 schrieb:

Wenn A Teilmenge von B ist kann man schreiben

x € A ==> x € B

*Edit
A Teilmenge von B != A € B
Hier ein Gegenbeispiel:
A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}
A ist zwar eine Teilmenge von B, da x € A ==> x € B, aber die Menge A ist nicht in B enthalten. B enhält kein Element {1, 2}. Sonst müsste B ungefähr so aussehen:
B = {1, 2, 3, {1,2}}

Hm ne, schau am besten nochmal nach, du verwechselst was.

Grüsse

$A\subseteq B\Longleftrightarrow A\cap B=A$

\Longleftrightarrow\forall x\left[x\in A\Rightarrow x\in B\right] \Longleftrightarrow\forall x\left[x\not\in A\vee x\in B\right]

icarus2

Zundo schrieb:

icarus2 schrieb:

Wenn A Teilmenge von B ist kann man schreiben

x € A ==> x € B

*Edit
A Teilmenge von B != A € B
Hier ein Gegenbeispiel:
A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}
A ist zwar eine Teilmenge von B, da x € A ==> x € B, aber die Menge A ist nicht in B enthalten. B enhält kein Element {1, 2}. Sonst müsste B ungefähr so aussehen:
B = {1, 2, 3, {1,2}}

Hm ne, schau am besten nochmal nach, du verwechselst was.

Grüsse

Was verwechsle ich den genau? Wo siehst du einen Fehler?
Eigentlich ist meine Implikation ja genau das, was !rr!rr in seinem zweiten Post. Und ich denke das müsste richtig sein.

auch nicht, alle beide note 6

icarus2

Testperson7 schrieb:

auch nicht, alle beide note 6

Ja genau. Dann zeig doch zuerst mal wo du den Fehler siehst und schreibe doch selber mal die richtige Lösung hin. Einfach einen Mist hinschreiben kann jeder... vor allem die Unregistrierten können das oftmals erstaunlich gut.

Gemäss Wikipedia - Teilmenge stimmt meine Implikation. Das einzige was fehlt ist "für alle" x. Aber das dürfte ja onehin klar sein.

*Edit
Ein Mathematiker hat gerade meine Aussagen bestätigt

Blaa 1,2 ist element von B...

Schreib mal alle Teilmengen von B auf...

icarus2

Tesptperson7 schrieb:

Blaa 1,2 ist element von B...

Schreib mal alle Teilmengen von B auf...

Das ist Korrekt, 1 und 2 sind Elemente von B. Aber {1, 2} ist nicht ein Element von B. Das ist ein Unterschied.

B = {1,2} und B'={{1,2}}, dann sind B und B' nicht das gleiche.

Sagen wir A = {1,2}

Dann ist A /€ B aber A € B'

(/€ soll heissen nicht Element)

Vielleicht bekommst eher du eine 6

B€B= ?

icarus2

Eine Menge kann sich nicht selber als Element enthalten. Das Problem ist die Reflexivität, die zu Wiedersprüchen führen kann.

Cantor schuf die erste Definition von Mengen, die jedoch Wiedersprüche aufwies. Danach wurde eine strengere Definition von Mengen mittels Axiomen eingeführt.
Siehe Mengenlehre - 19. Jahrhunder und 20. Jahrhundert

Ein Problem der Reflexivität kann anhand eines einfachen Beispiels gezeigt werden (wenn ich mich richtig erinnere kommt das von Russell):
"Der Barbier rassiert jeden, der sich selber nicht rassiert. Rassiert sich der Barbier?"

Wie man hier sieht ist es nicht möglich eine Antwort zu geben. Das Problem ist die Reflexivität. Etwa das gleiche gilt für Cantors Mengentheorie, dass eine Menge sich selber als Element enthalten darf.

*Edit
Falls es dich besoners interessierst kannst du mal den Wikipedia-Artiekl über die Russelsche Antinomie lesen. Es ist noch ganz interessant. Die Entdeckung des Paradoxons hat die Mathematiker damals tief erschüttert weil eigentlich die ganze Mathematik auf der Mengenlehre aufgebaut ist.

*Edit 2
Mein Professor in Diskreter Mathematik meinte sogar, dass sich einige Mathematiker deswegen umgebracht haben. Vielleicht steht darüber ja was im Artikel.

icarus2 schrieb:

Eine Menge kann sich nicht selber als Element enthalten. Das Problem ist die Reflexivität, die zu Wiedersprüchen führen kann.

Cantor schuf die erste Definition von Mengen, die jedoch Wiedersprüche aufwies. Danach wurde eine strengere Definition von Mengen mittels Axiomen eingeführt.
Siehe Mengenlehre - 19. Jahrhunder und 20. Jahrhundert

Ein Problem der Reflexivität kann anhand eines einfachen Beispiels gezeigt werden (wenn ich mich richtig erinnere kommt das von Russell):
"Der Barbier rassiert jeden, der sich selber nicht rassiert. Rassiert sich der Barbier?"

Wie man hier sieht ist es nicht möglich eine Antwort zu geben. Das Problem ist die Reflexivität. Etwa das gleiche gilt für Cantors Mengentheorie, dass eine Menge sich selber als Element enthalten darf.

*Edit
Falls es dich besoners interessierst kannst du mal den Wikipedia-Artiekl über die Russelsche Antinomie lesen. Es ist noch ganz interessant. Die Entdeckung des Paradoxons hat die Mathematiker damals tief erschüttert weil eigentlich die ganze Mathematik auf der Mengenlehre aufgebaut ist.

*Edit 2
Mein Professor in Diskreter Mathematik meinte sogar, dass sich einige Mathematiker deswegen umgebracht haben. Vielleicht steht darüber ja was im Artikel.

wir reden aneinander vorbei.... A€B sagt A ist ein element der Menge aller Teilmengen von B...
nichts weiter.

icarus2

Testperson7 schrieb:

icarus2 schrieb:

Eine Menge kann sich nicht selber als Element enthalten. Das Problem ist die Reflexivität, die zu Wiedersprüchen führen kann.

Cantor schuf die erste Definition von Mengen, die jedoch Wiedersprüche aufwies. Danach wurde eine strengere Definition von Mengen mittels Axiomen eingeführt.
Siehe Mengenlehre - 19. Jahrhunder und 20. Jahrhundert

Ein Problem der Reflexivität kann anhand eines einfachen Beispiels gezeigt werden (wenn ich mich richtig erinnere kommt das von Russell):
"Der Barbier rassiert jeden, der sich selber nicht rassiert. Rassiert sich der Barbier?"

Wie man hier sieht ist es nicht möglich eine Antwort zu geben. Das Problem ist die Reflexivität. Etwa das gleiche gilt für Cantors Mengentheorie, dass eine Menge sich selber als Element enthalten darf.

*Edit
Falls es dich besoners interessierst kannst du mal den Wikipedia-Artiekl über die Russelsche Antinomie lesen. Es ist noch ganz interessant. Die Entdeckung des Paradoxons hat die Mathematiker damals tief erschüttert weil eigentlich die ganze Mathematik auf der Mengenlehre aufgebaut ist.

*Edit 2
Mein Professor in Diskreter Mathematik meinte sogar, dass sich einige Mathematiker deswegen umgebracht haben. Vielleicht steht darüber ja was im Artikel.

wir reden aneinander vorbei.... A€B sagt A ist ein element der Menge aller Teilmengen von B...
nichts weiter.

Aber A Teilmenge von B heisst nicht, dass A € B gilt, denn die Umgekehrung der Implikation deiner Aussage gilt nicht.

Btw:
Du hast oben was von B € B geschrieben. Darum mein Post oben.

lustig

Benutzt doch Latex statt des Euro-Zeichens. Kann es sein, dass ihr mit € zwei verschiedene Dinge meint?

Testperson 7 mit
A € B

$A\subseteq B$

und icarus2

A\in B$$? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ihr total aneinander vorbeiredet :xmas2: .

icarus2

lustig schrieb:

Benutzt doch Latex statt des Euro-Zeichens. Kann es sein, dass ihr mit € zwei verschiedene Dinge meint?

Testperson 7 mit
A € B

$A\subseteq B$

und icarus2
A\in B$$? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ihr total aneinander vorbeiredet :xmas2: .

Ja kann sein. Ich habe das Gefühl, dass er etwas falsch verstanden hat. Naja, egal. Ich glaube es hat keinen Sinn hier noch lange zu streiten ^^

lustig schrieb:

Benutzt doch Latex statt des Euro-Zeichens. Kann es sein, dass ihr mit € zwei verschiedene Dinge meint?

.

Und wie benutzt man Latex, was gibt man ein für die mathe zeichen?

Thx im Voraus, und frohes neues euch

$A\subseteq B$

Nur zum latex testen!!

A\in B$$?$[e]Omega[/e][e]alpha[/e][e]beta[/e][e]sigmaf[/e][e]rho[/e][e]kappa[/e][e]psi[/e][e]zeta[/e][e]fnof[/e][e]cap[/e][e]int[/e][e]asymp[/e][e]ne[/e][e]equiv[/e][e]le[/e][e]ge[/e]$